Задание №20 Т/Р №120 А. Ларина

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}\sqrt{y^2+y-20|y|-6x-a+113}+\sqrt{y^2+y+12|y|+10x-a+49}=\sqrt{320},\\x^2-2x-y+a+3=0.&\end{cases}$

имее ровно два решения.

Решение:

$\begin{cases}\sqrt{(y^2-20|y|+100)+(y-a)-6x+13}+\sqrt{(y^2+12|y|+36)+(y-a)+10x+13}=\sqrt{320},\\y-a=x^2-2x+3;&\end{cases}$

$\begin{cases}\sqrt{(|y|-10)^2+(x-4)^2}+\sqrt{(|y|+6)^2+(x+4)^2}=\sqrt{320},\\y-a=x^2-2x+3;&\end{cases}$

$\begin{cases}\sqrt{(x-4)^2+(|y|-10)^2}+\sqrt{(x+4)^2+(|y|+6)^2}=\sqrt{320},\\y=(x-1)^2+2+a.&\end{cases}$

Первая строка системы задает объединение отрезков с концами $A(-4;-6),B(4;10)$;  $A(-4;6),C(4;-10).$

Действительно, при $y\geq 0$ первая строка системы приобретает вид:

$\sqrt{(x-4)^2+(y-10)^2}+\sqrt{(x+4)^2+(y+6)^2}=\sqrt{320}$

Левая часть уравнения – есть сумма расстояний от некоторой точки $(x;y)$  до точек $(4;10)$ и  $(-4;-6)$, при этом расстояние между  точками $(4;10)$ и  $(-4;-6)$  равно $\sqrt{(4+4)^2+(10+6)^2}=\sqrt{320}$.  Вспоминаем, что $y\geq 0$, поэтому произвольная точка $(x;y)$ ($y\geq 0$) – точка отрезка с концами $A(-4;-6)$ и  $B(4;10)$.

Аналогичные рассуждения будут и при $y<0.$

Вторая строка системы задает семейство парабол c центром на прямой $x=1.$

Случай 1.

Во-первых, найдем $a$, отвечающее за касание параболы $y=(x-1)^2+2+a$ и  отрезка $AB$ (уравнение отрезка $AB$ можно записать так: $y=2x+2,$  $-1\leq x\leq 4$).

Потребуем, чтобы $D=0$ для $(x-1)^2+2+a=2x+2$ при $-1\leq x\leq 4$.

Так как для  $x^2-4x+1+a=0$   $D/4=3-a$, то $a=3.$

Во-вторых, найдем $a$, отвечающее за прохождение параболы $y=(x-1)^2+2+a$ через точку $B(4;10).$

$10=(4-1)^2+2+a;$

$a=-1.$

Итак, при $a\in [-1;3)$ имеем две точки пересечения параболы $y=(x-1)^2+2+a$ и ломаной $BAC$. То есть при  $a\in [-1;3)$ исходная система имеет два решения, что нас устраивает.

Случай 2.

Найдем $a$, отвечающее за прохождение параболы $y=(x-1)^2+2+a$ через точку $A(-1;0)$.

Поэтому подходящее нам $a$ ищем из уравнения:

$0=(-1-1)^2+2+a;$

$a=-6.$

При найденном значении $a$ система имеет два решения.

 Случай 3.

Найдем $a$, отвечающее за касание параболы $y=(x-1)^2+2+a$ и  отрезка $AC$ (уравнение отрезка $AC$ можно записать так: $y=-2x-2,$  $-1\leq x\leq 4$).

Потребуем, чтобы $D=0$ для $(x-1)^2+2+a=-2x-2$ при $-1\leq x\leq 4$.

Так как для  $x^2+5+a=0$   $D=-5-a$, то $a=-5.$

При найденном значении $a$ парабола имеет две точки с ломаной $BAC$.

Ответ: {$-6;-5$}$\cup [-1;3)$.