Задание №20 Т/Р №120 А. Ларина

2023-07-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}\sqrt{y^2+y-20|y|-6x-a+113}+\sqrt{y^2+y+12|y|+10x-a+49}=\sqrt{320},\\x^2-2x-y+a+3=0.&\end{cases}$

имее ровно два решения.

Решение:

$\begin{cases}\sqrt{(y^2-20|y|+100)+(y-a)-6x+13}+\sqrt{(y^2+12|y|+36)+(y-a)+10x+13}=\sqrt{320},\\y-a=x^2-2x+3;&\end{cases}$

$\begin{cases}\sqrt{(|y|-10)^2+(x-4)^2}+\sqrt{(|y|+6)^2+(x+4)^2}=\sqrt{320},\\y-a=x^2-2x+3;&\end{cases}$

$\begin{cases}\sqrt{(x-4)^2+(|y|-10)^2}+\sqrt{(x+4)^2+(|y|+6)^2}=\sqrt{320},\\y=(x-1)^2+2+a.&\end{cases}$

Первая строка системы задает объединение отрезков с концами $A(-4;-6),B(4;10)$;  $A(-4;6),C(4;-10).$

Действительно, при $y\geq 0$ первая строка системы приобретает вид:

$\sqrt{(x-4)^2+(y-10)^2}+\sqrt{(x+4)^2+(y+6)^2}=\sqrt{320}$

Левая часть уравнения – есть сумма расстояний от некоторой точки $(x;y)$  до точек $(4;10)$ и  $(-4;-6)$, при этом расстояние между  точками $(4;10)$ и  $(-4;-6)$  равно $\sqrt{(4+4)^2+(10+6)^2}=\sqrt{320}$.  Вспоминаем, что $y\geq 0$, поэтому произвольная точка $(x;y)$ ($y\geq 0$) – точка отрезка с концами $A(-4;-6)$ и  $B(4;10)$.

Аналогичные рассуждения будут и при $y<0.$

Вторая строка системы задает семейство парабол c центром на прямой $x=1.$

0ij

Случай 1.

Во-первых, найдем $a$, отвечающее за касание параболы $y=(x-1)^2+2+a$ и  отрезка $AB$ (уравнение отрезка $AB$ можно записать так: $y=2x+2,$  $-1\leq x\leq 4$).

Потребуем, чтобы $D=0$ для $(x-1)^2+2+a=2x+2$ при $-1\leq x\leq 4$.

Так как для  $x^2-4x+1+a=0$   $D/4=3-a$, то $a=3.$

Во-вторых, найдем $a$, отвечающее за прохождение параболы $y=(x-1)^2+2+a$ через точку $B(4;10).$

$10=(4-1)^2+2+a;$

$a=-1.$

Итак, при $a\in [-1;3)$ имеем две точки пересечения параболы $y=(x-1)^2+2+a$ и ломаной $BAC$. То есть при  $a\in [-1;3)$ исходная система имеет два решения, что нас устраивает.

Случай 2.

Найдем $a$, отвечающее за прохождение параболы $y=(x-1)^2+2+a$ через точку $A(-1;0)$.

Поэтому подходящее нам $a$ ищем из уравнения:

$0=(-1-1)^2+2+a;$

$a=-6.$

При найденном значении $a$ система имеет два решения.

 Случай 3.

Найдем $a$, отвечающее за касание параболы $y=(x-1)^2+2+a$ и  отрезка $AC$ (уравнение отрезка $AC$ можно записать так: $y=-2x-2,$  $-1\leq x\leq 4$).

Потребуем, чтобы $D=0$ для $(x-1)^2+2+a=-2x-2$ при $-1\leq x\leq 4$.

Так как для  $x^2+5+a=0$   $D=-5-a$, то $a=-5.$

При найденном значении $a$ парабола имеет две точки с ломаной $BAC$.

8

Ответ: {$-6;-5$}$\cup [-1;3)$.

Печать страницы
комментария 24
  1. Дима

    Или Вы сделали ту же ошибку, что и я, или мы сделали правильно.
    Разве не должен быть угол, а не крестик? То есть Вы рисуете оба отрезка, не ограничивая на положительность/отрицательность координаты У.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Дим, спасибо большое! Спешка… :(
      Исправлено.

      [ Ответить ]
      • Дима

        Да не за что, и сам так ошибся. Самое интересное то, что это не влияет на ответ вообще:)
        А 120+ будет? Очень интересна заадча с мячиками…

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Дима, насчет 120+ не знаю… Не успеваю… Аврал с учениками…

          [ Ответить ]
          • Дима

            Да оно как бы и не очень надо, можете потом 16-ую выложить? Интересно просто)

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Быть может… но не раньше среды…

            [ Ответить ]
        • egeMax

          Дима, №16 Т/Р №120+ готов.

          [ Ответить ]
          • .

            Посоветуйте пожалуйста пособия для подготовки к заданиям с параметров, которые вы использовали

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Можете обратиться, например, к

            Прокофьев А.А. Задачи с параметрами. Москва МИЭТ 2004. или вот

            [ Ответить ]
  2. Алексей

    {-6;-5} то есть а=-6 и а=-5?
    а=-6 получилась. Не могу понять откуда а=-5
    и что это за уравнение в 3 случае “Так как для x^2+5+a=0”?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      а=-5 как раз и выскакивает в третьем случае. Следует потребовать, чтобы дискриминант для x^2+5+a=0 равнялся бы нулю. Откуда a=-5.

      [ Ответить ]
  3. Михаил

    не могу понять ваши преобразования вначале. подскажите пожалуйста

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Из второй строки системы выразили y-a и подставили в первую. Затем выделяем полные квадраты.
      Все равно не ясно?

      [ Ответить ]
  4. Софья

    При виде таких заданий хочется забиться в угол, и плакать, плакать, плакать.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Софья, не самое подходящее время для этого. До экзамена – считанные часы. Не теряйте время и не отчаивайтесь! Удачи!

      [ Ответить ]
  5. Елена

    Елена, спасибо огромное за тренинг.На ЕГЭ вчера были окружности.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Елена, за тренинг?

      [ Ответить ]
    • Pasha

      Скажите, пожалуйста, по каким сборникам вы готовились к егэ?

      [ Ответить ]
      • egeMax

        Полагаю вопрос таков: “по каким сборникам готовиться к егэ”?
        Например, C1, С2, … Загляните на сайт А. Ларина. В правой колонке обратите внимание на цветные квадратики )))

        [ Ответить ]
  6. Максим

    Первая строка системы задает объединение отрезков с концами A(-1;0),B(4;10); A(-1;0),C(4;-10). Почему A(-1;0)?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Максим, исправлено. Спасибо.

      [ Ответить ]
      • Максим

        нет, там вроде правильно было, просто я не понимаю откуда оно взялось?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Вам следует вспомнить, как вычисляется расстояние между точками.
          Если [latexpage]$A(a_1;a_2),B (b_1;b_2)$, то $AB=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}$.
          Так $\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}$, например, есть расстояние между точками $(1;2)$ и $(x;y)$.
          А уже $\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2}$, например, уже есть сумма расстояний… (продолжите сами).
          Так вот точка $(x;y)$ может гулять по отрезку с концами $(1;2)$ и $(3;-2)$, а может быть вне его. Если указанная сумма будет равняться $2$ (а именно длина отрезка с концами $(1;2)$ и $(3;-2)$ и есть $2$), то точка $(x;y)$ гуляет по отрезку с концами $(1;2)$ и $(3;-2)$. То есть $\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2}=4$ задает отрезок с концами $(1;2)$ и $(3;-2)$.
          Понятно ли так?

          [ Ответить ]
        • Лена

          A(-4;-6),B(4;10) при у=<0, значит все что ниже у=0 откидывается

          [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




20 − 13 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif