Разберем задание (№4), предлагавшееся абитуриентам, поступающим в МГУ, в 2013 году. Также смотрите остальные задания этого экзамена здесь: №1, №2, №3, №5, №6, №7, №8
Условие:
Функция $f(x)$ для всех $x$ удовлетворяет условию $f(x+2)=f(x)+3x+2.$
Найдите $f(2013)$, если $f(1)=1.$
Решение:
Распишем $f(2013)$ согласно правилу для $f(x)$:
$f(2013)=f(2011)+3\cdot 2011+2.$
Теперь распишем $f(2011)$ аналогичным образом:
$f(2011)=f(2009)+3\cdot 2009+2.$
Тогда $f(2013)$ будет уже выглядеть так:
$f(2013)=(f(2009)+3\cdot 2009+2)+3\cdot 2011+2=$
$=f(2009)+3(2009+2011)+2\cdot 2.$
Далее $f(2013)=f(2007)+3(2007+2009+2011)+3\cdot 2.$
$f(2013)=f(2005)+3(2005+2007+2009+2011)+4\cdot 2.$
Спускаясь и далее так, придем к следующему:
$f(2013)=f(1)+3(1+3+5+…+2009+2011)+2\cdot 1006$
В скобках, что умножается на 3, мы видим сумму арифметической прогрессии, которую вычисляем по формуле $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ (в нашем случае $n=1006$)
Тогда $f(2013)=1+3(\frac{1+2011}{2}\cdot 1006)+2012=3038121.$
Ответ: $3038121.$
Добавить комментарий