Задание из пробного экзамена в МГУ 2013г.

2015-04-12

Разберем задание (№4), предлагавшееся абитуриентам, поступающим в МГУ, в 2013 году. Также смотрите остальные задания этого экзамена здесь: №1, №2, №3, №5, №6, №7, №8

Условие: 

Функция f(x) для  всех x удовлетворяет условию f(x+2)=f(x)+3x+2.

Найдите f(2013), если  f(1)=1.

 

Решение:

Распишем f(2013) согласно правилу для f(x):

f(2013)=f(2011)+3\cdot 2011+2.

 

Теперь распишем f(2011) аналогичным образом:

f(2011)=f(2009)+3\cdot 2009+2.

 

Тогда f(2013) будет уже выглядеть так:

f(2013)=(f(2009)+3\cdot 2009+2)+3\cdot 2011+2=

=f(2009)+3(2009+2011)+2\cdot 2.

 

Далее f(2013)=f(2007)+3(2007+2009+2011)+3\cdot 2.

f(2013)=f(2005)+3(2005+2007+2009+2011)+4\cdot 2.

 

Спускаясь и далее так, придем к следующему:

f(2013)=f(1)+3(1+3+5+...+2009+2011)+2\cdot 1006

В скобках, что умножается на 3, мы видим сумму арифметической прогрессии, которую вычисляем по формуле S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n (в нашем случае n=1006)

 

Тогда f(2013)=1+3(\frac{1+2011}{2}\cdot 1006)+2012=3038121.

 

Ответ: 3038121.

 

 

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif