Задание с параметром из пробного экзамена в МГУ 2013

Елена Репина 2013-07-14 2015-04-12

Рассмотрим задачу с параметром (№7), предлагавшуюся на пробных вступительных экзаменах в МГУ.

Задача хороша для подготовки к ЕГЭ по математике (задание С5).
Также смотрите остальные задания этого же экзамена здесь: №1, №2, №3, №4, №5, №6, №8.

Условие:

Найдите минимальное значение разности $x-4a$ при условии $x^2+4a^2\leq 4$

Решение:

Для удобства обозначим $2a$ за $y$ , а $x-2y$ за $c.$

Тогда переформулируем задачу так:

Найдите наименьшее значение $c$ , при котором система имеет решение:

$\begin{cases} &x^2+y^2\leq 4,& &x-2y=c& \end{cases}$

Первая строка системы задает множество точек круга с центром в точке $(0;0)$ , радиусом 2.

1111

Вторая же строка – семейство параллельных прямых $y=\frac{x}{2}-\frac{c}{2}$ .

222222

Конечно же, нас будут интересовать прямые, которые касаются круга, точнее одна из них.

Когда прямые располагаются в «зеленой зоне» (включая границы), у нас есть решение в системе. В противном случае – нет.

33333

И нас будет интересовать именно прямая, касающаяся круга во II четверти. Именно такому положению прямой будет отвечать наименьшее значение $c$ .

Для того, чтобы найти $c$ , отвечающие касанию «верхней» прямой и круга, проведем радиус в точку касания и рассмотрим образовавшийся прямоугольный треугольник:

4444