Рассмотрим задачу с параметром (№7), предлагавшуюся на пробных вступительных экзаменах в МГУ.
Задача хороша для подготовки к ЕГЭ по математике (задание С5).
Также смотрите остальные задания этого же экзамена здесь: №1, №2, №3, №4, №5, №6, №8.
Условие:
Найдите минимальное значение разности при условии
Решение:
Для удобства обозначим за
, а
за
Тогда переформулируем задачу так:
Найдите наименьшее значение , при котором система имеет решение:
Первая строка системы задает множество точек круга с центром в точке , радиусом 2.
Вторая же строка – семейство параллельных прямых .
Конечно же, нас будут интересовать прямые, которые касаются круга, точнее одна из них.
Когда прямые располагаются в «зеленой зоне» (включая границы), у нас есть решение в системе. В противном случае – нет.
И нас будет интересовать именно прямая, касающаяся круга во II четверти. Именно такому положению прямой будет отвечать наименьшее значение .
Для того, чтобы найти , отвечающие касанию «верхней» прямой и круга, проведем радиус в точку касания и рассмотрим образовавшийся прямоугольный треугольник:
Так как , а
, то по теореме Пифагора
Площадь треугольника можно вычислить двумя способами:
1)
2)
Тогда , откуда
Ответ:
Добавить комментарий