Задание с параметром из пробного экзамена в МГУ 2013

2015-04-12

Рассмотрим задачу с параметром (№7), предлагавшуюся на пробных вступительных экзаменах в МГУ.

Задача хороша для подготовки к ЕГЭ по математике (задание С5).
Также смотрите остальные задания этого же экзамена здесь: №1, №2, №3, №4, №5, №6, №8.

Условие: 

Найдите минимальное значение разности x-4a при условии x^2+4a^2\leq 4

 Решение: 

Для удобства обозначим 2a за y, а x-2y за c.

Тогда переформулируем задачу так:

Найдите наименьшее значение c, при котором система имеет решение:

\begin{cases} &x^2+y^2\leq 4,&  &x-2y=c& \end{cases}

Первая строка системы задает множество точек  круга с центром в точке (0;0), радиусом  2.

Вторая же строка – семейство параллельных прямых y=\frac{x}{2}-\frac{c}{2}.

Конечно же, нас будут интересовать прямые, которые касаются круга, точнее одна из них.

Когда прямые располагаются в «зеленой зоне» (включая границы), у нас есть решение в системе. В противном случае – нет.

И нас будет интересовать именно прямая, касающаяся круга во II четверти. Именно такому положению прямой будет отвечать наименьшее значение c.

Для того, чтобы найти c, отвечающие касанию «верхней» прямой и круга, проведем радиус в точку касания и рассмотрим образовавшийся прямоугольный треугольник:

 

Так как AO=|c|, а BO=-\frac{c}{2}, то по теореме Пифагора AB=\sqrt{c^2+(-\frac{c}{2})^2}=-\frac{c\sqrt5}{2}.

Площадь треугольника ABO можно вычислить двумя способами:

1) S=\frac{1}{2}\cdot |c|\cdot (-\frac{c}{2})=\frac{c^2}{4}

2) S=\frac{1}{2}\cdot OH\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-\frac{c\sqrt5}{2})=-\frac{c\sqrt5}{2}

Тогда \frac{c^2}{4}=-\frac{c\sqrt5}{2}, откуда c=-\sqrt5.

Ответ: -2\sqrt5.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif