Задание с параметром из пробного экзамена в МГУ 2013

Рассмотрим задачу с параметром (№7), предлагавшуюся на пробных вступительных экзаменах в МГУ.

Задача хороша для подготовки к ЕГЭ по математике (задание С5).
Также смотрите остальные задания этого же экзамена здесь: №1, №2, №3, №4, №5, №6, №8.

Найдите минимальное значение разности $x-4a$ при условии $x^2+4a^2\leq 4.$

 Решение: 

Для удобства обозначим $2a$ за $y$, а $x-2y$ за $c.$

Тогда переформулируем задачу так:

Найдите наименьшее значение $c$, при котором система имеет решение:

$\begin{cases}x^2+y^2\leq 4,\\x-2y=c&\end{cases}$

Первая строка системы задает множество точек  круга с центром в точке $(0;0)$, радиусом  2.

Вторая же строка – семейство параллельных прямых $y=\frac{x}{2}-\frac{c}{2}$.

Конечно же, нас будут интересовать прямые, которые касаются круга, точнее одна из них.

Когда прямые располагаются в «зеленой зоне» (включая границы), у нас есть решение в системе. В противном случае – нет.

И нас будет интересовать именно прямая, касающаяся круга во II четверти. Именно такому положению прямой будет отвечать наименьшее значение $c$.

Для того, чтобы найти $c$, отвечающие касанию «верхней» прямой и круга, проведем радиус в точку касания и рассмотрим образовавшийся прямоугольный треугольник:

Так как $AO=|c|$, а $BO=-\frac{c}{2}$, то по теореме Пифагора $AB=\sqrt{c^2+(-\frac{c}{2})^2}=-\frac{c\sqrt5}{2}.$

Площадь треугольника $ABO$ можно вычислить двумя способами:

1) $S=\frac{1}{2}\cdot |c|\cdot (-\frac{c}{2})=\frac{c^2}{4}$

2) $S=\frac{1}{2}\cdot OH\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-\frac{c\sqrt5}{2})=-\frac{c\sqrt5}{2}$

Тогда $\frac{c^2}{4}=-\frac{c\sqrt5}{2}$, откуда $c=-\sqrt5.$

Ответ: $-2\sqrt5.$