Задание С1 (№15). Показательное уравнение

2015-09-04

Разбор задания С1  (в новом формате ЕГЭ по математике – «Задание №13») из тренировочной работы №1 от 14 ноября 2013 г.  для 11 класса.

Разбор части В  этой работы смотрим здесь.

Решите уравнение
а) 7\cdot 9^{x^2-3x+1}+5\cdot 6^{x^2-3x+1}-48\cdot 4^{x^2-3x}=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 2 ].

Решение:

a) Разделим обе части равенства, например, на 9^{x^2-3x}.

Заметим, 9^{x^2-3x}\neq 0.

7\cdot \frac{ 9\cdot 9^{x^2-3x}}{9^{x^2-3x}}+5\cdot \frac{6\cdot 6^{x^2-3x}}{9^{x^2-3x}}-48\cdot \frac{4^{x^2-3x}}{9^{x^2-3x}}=0;

63+30\cdot \frac{(2\cdot 3)^{x^2-3x}}{(3\cdot 3)^{x^2-3x}}-48\cdot \frac{(2\cdot 2)^{x^2-3x}}{(3\cdot 3)^{x^2-3x}}=0;

21+10\cdot \frac{2^{x^2-3x}\;\cdot \; 3^{x^2-3x}}{3^{x^2-3x}\;\cdot \; 3^{x^2-3x}}-16\cdot \frac{(2^{x^2-3x})^2}{(3^{x^2-3x})^2}=0;

21+10\cdot \frac{2^{x^2-3x}}{3^{x^2-3x}}-16\cdot (\frac{2^{x^2-3x}}{3^{x^2-3x}})^2=0;

21+10\cdot (\frac{2}{3})^{x^2-3x}-16\cdot ((\frac{2}{3})^{x^2-3x})^2=0;

21+10\cdot (\frac{2}{3})^{x^2-3x}-16\cdot ((\frac{2}{3})^{x^2-3x})^2=0;

Замена: m=(\frac{2}{3})^{x^2-3x}. Заметим, что m>0.

Тогда

 21+10\cdot m\cdot -16\cdot m^2=0;

16m^2-10m-21=0;

m=\frac{5\pm 19}{16};

m=-\frac{3}{8} (посторонний корень) или m=\frac{3}{2};

Обратная замена:

(\frac{2}{3})^{x^2-3x}=\frac{3}{2};

x^2-3x=-1;

x^2-3x+1=0;

x=\frac{3\pm\sqrt5}{2};

б) Произведем отбор корней уравнения на  отрезке [-1; 2 ].

1) -1<\frac{3-\sqrt5}{2}<2, так как

-3<-\sqrt5<-2;

0<3-\sqrt5<1;

0<\frac{3-\sqrt5}{2}<0,5;

2) Очевидно, что \frac{3+\sqrt5}{2}>2, так как

\sqrt5>2;

 3+\sqrt5>5;

\frac{3+\sqrt5}{2}>2,5.

Ответ: а) \frac{3\pm\sqrt5}{2}; б) \frac{3-\sqrt5}{2}.

Также смотрите С2, С3, С4 тренировочной работы №1 2013 для 11 класса.

 

Для самостоятельной работы (задание из другого варианта Т/Р №1):

Решите уравнение
а) 4^{x^2-2x+1}+4^{x^2-2x}=20;
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 2 ].

Ответ: + показать

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif