Задание С1 (№15). Показательное уравнение

Разбор задания С1 из тренировочной работы №1 от 14 ноября 2013 г.  для 11 класса.

Разбор части В  этой работы смотрим здесь.

Решите уравнение
а) $7\cdot 9^{x^2-3x+1}+5\cdot 6^{x^2-3x+1}-48\cdot 4^{x^2-3x}=0$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 2].

Решение:

a) Разделим обе части равенства, например, на $9^{x^2-3x}$.

Заметим, $9^{x^2-3x}\neq 0$.

$7\cdot \frac{ 9\cdot 9^{x^2-3x}}{9^{x^2-3x}}+5\cdot \frac{6\cdot 6^{x^2-3x}}{9^{x^2-3x}}-48\cdot \frac{4^{x^2-3x}}{9^{x^2-3x}}=0;$

$63+30\cdot \frac{(2\cdot 3)^{x^2-3x}}{(3\cdot 3)^{x^2-3x}}-48\cdot \frac{(2\cdot 2)^{x^2-3x}}{(3\cdot 3)^{x^2-3x}}=0;$

$21+10\cdot \frac{2^{x^2-3x}\;\cdot \; 3^{x^2-3x}}{3^{x^2-3x}\;\cdot \; 3^{x^2-3x}}-16\cdot \frac{(2^{x^2-3x})^2}{(3^{x^2-3x})^2}=0;$

$21+10\cdot \frac{2^{x^2-3x}}{3^{x^2-3x}}-16\cdot (\frac{2^{x^2-3x}}{3^{x^2-3x}})^2=0;$

$21+10\cdot (\frac{2}{3})^{x^2-3x}-16\cdot ((\frac{2}{3})^{x^2-3x})^2=0;$

$21+10\cdot (\frac{2}{3})^{x^2-3x}-16\cdot ((\frac{2}{3})^{x^2-3x})^2=0;$

Замена: $m=(\frac{2}{3})^{x^2-3x}.$ Заметим, что $m>0$.

Тогда

 $21+10\cdot m\cdot -16\cdot m^2=0;$

$16m^2-10m-21=0;$

$m=\frac{5\pm 19}{16};$

$m=-\frac{3}{8}$ (посторонний корень) или $m=\frac{3}{2};$

Обратная замена:

$(\frac{2}{3})^{x^2-3x}=\frac{3}{2};$

$x^2-3x=-1;$

$x^2-3x+1=0;$

$x=\frac{3\pm\sqrt5}{2};$

б) Произведем отбор корней уравнения на  отрезке [-1; 2 ].

1) $-1<\frac{3-\sqrt5}{2}<2$, так как

$-3<-\sqrt5<-2;$

$0<3-\sqrt5<1;$

$0<\frac{3-\sqrt5}{2}<0,5;$

2) Очевидно, что $\frac{3+\sqrt5}{2}>2$, так как

$\sqrt5>2$;

 $3+\sqrt5>5;$

$\frac{3+\sqrt5}{2}>2,5.$

Ответ: а) $\frac{3\pm\sqrt5}{2};$ б) $\frac{3-\sqrt5}{2}.$

Также смотрите С2, С3, С4 тренировочной работы №1 2013 для 11 класса.

Для самостоятельной работы (задание из другого варианта Т/Р №1):

Решите уравнение
а) $4^{x^2-2x+1}+4^{x^2-2x}=20;$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 2].

Ответ: + показать