Главная
Справочник
Видеоуроки
Тесты
Статьи
Архив
Карта сайта
Контакты
Cмотрите также 1 (куб, параллелепипед), 2 (призма, призма II), 3 (пирамида, пирамида II), 4 (составные многогранники, составные многогранники II), 5 (цилиндр+конус), 6 (цилиндр), 8 (шар).
Разбираем стереометрические задачи части В, которые могут встретится на ЕГЭ по математике.
Сегодня в задачах – конус. Находим объем конуса, площадь поверхности.
Задача 1.
Высота конуса равна 12, образующая равна 14. Найдите его объем, деленный на 
.
Решение: + показать
.
по т. Пифагора:
Задача 2.
Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника 
вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на .
Решение: + показать
Задача 3.
Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Решение: + показать
, где 
– радиус основания конуса и образующая конуса.
и равна 5 по условию, то 
Задача 4.
Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 9 раз?
Решение: + показать
, так как Задача 5.
Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
(
Задача 6.
Площадь полной поверхности конуса равна 148. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.
Решение: + показать
Пусть 
– радиус основания и образующая исходного конуса.
. Образовавшиеся прямоугольные треугольники 
и 
– подобны. Коэффициент подобия – 2. То есть 
Задача 7.
Найдите объем 
конуса, образующая которого равна 11 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите 
.
Решение: + показать
(так как напротив угла 30° лежит катет, вдвое меньший гипотенузы (
.
Откуда 
Задача 8.
Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 6 раз?
Решение: + показать
Задача 9.
Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 4,5 раза?
Решение: + показать
раз.Задача 10.
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 45.
Решение: + показать
, а объем конуса с тем же радиусом основания и той же высотой равен 
.Задача 11.
Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .
Решение: + показать
Для того, чтобы найти объем, нам нужно найти радиус основания 
(так как 
, образованный диаметром и соответствующими образующими, – прямоугольный и равнобедренный.
гипотенузы 
является центром описанной окружности около треугольника 
. Поэтому, так как диаметр основания равен 66, то 
Задача 12.
Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 5. Найдите его объем, деленный на .
Решение: + показать
Объем конуса есть 
– радиус основания конуса, высота конуса).
:
где 
Задача 13.
Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?
Решение: + показать
Высоты обоих конусов одинаковы. Поэтому отношение объемов конусов будет зависеть только от отношения радиусов оснований конусов (а точнее, – от отношения квадратов радиусов оснований конусов).
:
, так как диагонали квадрата являются биссектрисами углов) прямоугольного треугольника 
(см. рис): 
Задача 14.
Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение: + показать
часть конуса с радиусом основания 9 и высотой 13.
Задача 15.
Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение: + показать
часть конуса с радиусом основания 18 и высотой 39.
Задача 16.
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 156. Найдите объем конуса.
Решение: + показать
Объем шара
По условию объем шара равен 156, поэтому 
откуда 
есть 
Задача 17.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 
высоты. Объём жидкости равен 54 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Решение: + показать
I способ. Объем жидкости равен объему занимаемой части конуса.
(высота уровня жидкости – 
если высота конуса равна 
– радиус основания конуса, чей объем занимает жидкость, т.к. треугольники 
миллилитров.
объемов отсеченного конуса (объемы подобных тел находятся в отношении 
, где 
– коэффициент подобия). Стало быть, на усеченный конус приходится 
объемов отсеченного (малого) конуса.
Рассмотрено много задач. Пора и передохнуть… А потом – за тест!
Вы можете пройти тест по Задачам №8, конус.
Скажите пожалуйста,почему в 17 задаче вы сосуд рассматриваете как перевёрнутый конус вверх дном,а не наоборот.Если рассуждать логически то сосуд не устоит на высоте конуса и ответ в этой задачи получится совершенно другой
Андрей, расскажите какой ответ у вас получается? Очень интересно…
6,75
К данной задаче как раз-таки прилагается картинка с вершиной вниз.
Андрей, мы не должны заботится в задаче о том, как удерживается сосуд (может его зажим какой держит, – нам-то какое дело…). Мне как раз-таки непонятно, как вы собираетесь наполнять сосуд в виде конуса, если поставите его на основание…
В 5-ой задаче вместо 2пиR^2=пиRL должно быть пиR^2=2пиRL
Михаил, вы ошибаетесь!
Объясните пожалуйста почему в пятой задачке 2пиR^2=пиRL а не 2пиRL=пиR^2, ведь по условию площадь боковой поверхности (пиRL) в два раза больше площади основания (пиR^2)
Наруто, вы сами себе противоречите…
Если вы умножите, и без того бОльшую, площадь боковой поверхности, на 2, то как новое выражение сравняется с меньшим?
подскажите пожалуйста как расчитать угол наклона конуса если известны D=90 и l=60
Рассмотрите прямоугольный треугольник с катетами радиус+высота, гипотенуза – образующая. Косинус угла есть 45:60, то есть 3:4