02. Конус

Объем конуса вычисляется по формуле $V=\frac{\pi R^2H}{3},$ где $R$ – радиус основания, $H$ – высота конуса.

Находим радиус основания $R$ по т. Пифагора (см. на рисунке зеленый прямоугольный треугольник):

$R^2=14^2-12^2=(14-12)(14+12)=52.$

Тогда

$V=\frac{\pi \cdot 52\cdot 12}{3}=208\pi.$

Откуда

$\frac{V}{\pi}=208.$

Ответ: $208.$  

В качестве высоты конуса выступает катет треугольника, равный $6.$ В качестве радиуса основания конуса – второй катет треугольника, равны также $6.$

Поэтому

$V=\frac{\pi R^2H}{3}=\frac{\pi\cdot 6^2\cdot 6}{3}=72\pi.$

Тогда

$\frac{V}{\pi}=72.$

Ответ: $72.$  

Найдем образующую конуса $BC$ из прямоугольного треугольника $BCO$ по т. Пифагора.

При этом заметим, что

$BO=R=\frac{AB}{2}=8;$

$BC=\sqrt{OC^2+OB^2};$

$BC=\sqrt{15^2+8^2}=17.$

Ответ: $17.$  

$V=\frac{\pi R^2\cdot H}{3},$

где $R$ – радиус основания конуса, $H$ – высота

Высота конуса как катет напротив угла в $30^{\circ}$ равен половине гипотенузы длиной $3$, то есть равен $\frac{3}{2}.$

При этом по теореме Пифагора

$R^2=3^2-(\frac{3}{2})^2=\frac{27}{4}.$

Тогда

$V=\frac{\pi\cdot \frac{27}{4}\cdot \frac{3}{2}}{3}=\frac{27}{8}=3,375$

Ответ: $3,375.$  

Площадь боковой поверхности конуса есть

$S_{bok}=\pi RL$,

где $R,\;L$ – радиус основания конуса и образующая конуса.

А поскольку длина окружности основания конуса равна $2\pi R$ и равна $5$ по условию, то

$5=2\pi R;$

$\pi R=2,5.$

Тогда

$S_{bok}=\pi RL=2,5\cdot 8=20.$

Ответ: $20.$  

Площадь боковой поверхности конуса зависит от двух величин – от $R$ и $L$, так как

$S_{bok}=\pi RL$

($R,\;L$ – радиус, образующая конуса)

Радиус не изменяется, а образующая увеличивается в $9$ раз. Значит и площадь боковой поверхности конуса увеличится в $9$ раз.

Ответ: $9.$  

$V=\frac{\pi R^2H}{3}$ – объем конуса.

Если высоту уменьшаем в $6$ раз, то и объем уменьшается в $6$ раз.

Ответ: $6.$  

$V=\frac{\pi R^2H}{3}$ – объем конуса.

Увеличение радиуса основания в $17$ раз повлечет за собой увеличение объема конуса в $17^2,$ то есть в $289$ раз.

Ответ: $289.$  

Согласно условию

$2\pi R^2=\pi RL$

($R,\;L$ – радиус основания конуса, образующая конуса).

Откуда

$R=\frac{L}{2}.$

Прямоугольный треугольник, образованный высотой, образующей и радиусом основания таков, что катет, равный радиусу, вдвое меньше гипотенузы, значит угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $60^{\circ}.$

Ответ: $60.$  

Отсекаемый конус подобен исходному и $k=2$ – коэффициент подобия.

Как известно, объемы подобных тел находятся в отношении $k^3,$ где $k$ – коэффициент  подобия. Тогда объем отсекаемого конуса в $8$ раз  (так как $k^3=8$) меньше объема исходного, то есть равен $\frac{10}{8}=1,25.$

Ответ: $1,25.$  

Малый отсеченный конус подобен исходному с коэффициентом подобия $2.$ Площади поверхностей подобных тел находятся в отношении $k^2,$ где $k$ – коэффициент подобия. Поэтому площади поверхностей будут отличаться в $4$ раза.

Значит, площадь полной поверхности отсеченного конуса есть $\frac{148}{4}=37.$

Ответ: $37.$  

$V=\frac{\pi R^2H}{3}$,

где $H=\frac{11}{2}$ (так как напротив угла 30° лежит катет, вдвое меньший гипотенузы ($L$))

 и

$R^2=11^2-(\frac{11}{2})^2=\frac{3\cdot 11^2}{4}$.

Поэтому

$V=\frac{\pi \cdot \frac{3\cdot 11^2}{4}\cdot \frac{11}{2}}{3}=166,375\pi.$

Откуда

$\frac{V}{\pi}=166,375.$

Ответ: $166,375.$ 

Для того, чтобы найти объем, нам нужно найти  радиус основания $R$ и  высоту конуса $H,$ так как

$V=\frac{\pi R^2H}{3}$

Треугольник $ASB$, образованный диаметром и соответствующими образующими, – прямоугольный и равнобедренный.

Середина $O$ гипотенузы $AB$ является центром описанной окружности около треугольника $ASB$. А значит $SO=AO=BO$. Поэтому, так как диаметр основания равен $66,$ то $R=H=33.$

Наконец,

$V=\frac{\pi 33^2\cdot 33}{3}=11979\pi.$

Откуда

$\frac{V}{\pi}=11979.$

Ответ: $11979.$  

Согласно условию

$\pi r^2=36\pi;$

$r=6.$

Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник с основанием $2r=12$ и высотой $3$, проведенной к этому основанию.

Значит,

$S_{sech}=\frac{12\cdot 3}{2}=18.$

Ответ: $18.$  

Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному и коэффициент подобия $k=\frac{60}{15}=4.$ Площади оснований конусов отличаются тогда в $k^2=16$ раз.

Тогда площадь сечения конуса указанной плоскостью равна $\frac{48}{16}=3.$

Ответ: $3.$  

Часть конуса, изображенная на рисунке – это $\frac{3}{4}$ часть конуса с радиусом основания $9$ и высотой $12.$

Поэтому

$V=\frac{3}{4}\cdot \frac{\pi R^2H}{3}=\frac{3\pi \cdot 9^2\cdot 12}{12}=243\pi.$

Откуда

$\frac{V}{\pi}=243.$

Ответ: $243.$  

Часть конуса, изображенная на рисунке – это $\frac{1}{6}$ часть конуса с радиусом основания $9$ и высотой $13.$

Поэтому $V=\frac{1}{6}\cdot \frac{\pi R^2H}{3}=\frac{\pi \cdot 5 \cdot 9^2\cdot 13}{18}=292,5\pi.$

Откуда $\frac{V}{\pi}=292,5.$

Ответ: $292,5.$  

Отсеченный конус, образовавшийся при пересечении исходного конуса плоскостью параллельной основанию и пересекающей высоту конуса посередине, подобен исходному с коэффициентом подобия $k=2.$

Так как объемы подобных тел находятся в отношении $k^3$, где $k$ – коэффициент подобия, то объем исходного конуса есть $8$ объемов отсеченного конуса ). Стало быть, на усеченный конус приходится $7$ объемов отсеченного (малого) конуса.

То есть объем усеченного конуса  (а значит объем жидкости, что нужно долить) есть $7\cdot 54=378.$

Ответ: $378.$