Главная
Справочник
Видеоуроки
Тесты
Статьи
Архив
Карта сайта
Контакты
Разбираем дальше Задачи №8 из открытого банка ЕГЭ для успешной сдачи ЕГЭ по математике.
Сегодня работаем с пирамидой. Мы уже рассматривали Задачи №8 здесь, в которых также фигурирует пирамида.
Смотрим также 1 (куб, параллелепипед), 2 (призма, призма II), 3 (пирамида), 4 (составные многогранники, составные многогранники II), 5 (цилиндр+конус), 6 (цилиндр), 7 (конус), 8 (шар).
Задача 1.
Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 и 6. Ее объем равен 48. Найдите высоту этой пирамиды.
Решение: + показать
Задача 2.
Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?
Решение: + показать
то при увеличении высоты в 2 раза (только высоты) мы получим вдвое больший объем пирамиды.Задача 3.
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 42, боковые ребра равны 75. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Решение: + показать
.
есть 4 площади боковой грани (например, 
).
где 
– высота (и медиана за счет равнобедренности треугольника) к основанию 
.
Задача 4.
Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?
Решение: + показать
. Тогда объем его – 
.
; 
по свойству медиан; 
).
, то 
и 
будет 
, то есть в 125 раз.
).Задача 5.
Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 12. Найдите объем пирамиды.
Решение: + показать
– равные прямоугольные треугольники (общий катет 
).
– 
) равна 
, то есть 
из треугольника 
есть 
Задача 6.
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 12. Найдите объем пирамиды.
Решение: + показать
– также 12.
Задача 7.
От треугольной призмы, объем которой равен 129, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.
Решение: + показать
объем пирамиды есть 
(основания и высоты одинаковы).
объема призмы, а именно 
Задача 8.
Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 8. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
Решение: + показать
и 
имеют одинаковые высоты.
со стороной 
есть 
.
в 6 раз больше, чем 
.Задача 9.
Объем правильной четырехугольной пирамиды 
равен 120. Точка 
— середина ребра 
. Найдите объем треугольной пирамиды 
.
Решение: + показать
.Задача 10.
От треугольной пирамиды, объем которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
Решение: + показать
и 
– 
.
совпадают.
Задача 11.
Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 5 раз?
Решение: + показать
то 
раз.Задача 12.
Ребра тетраэдра равны 16. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.
Решение: + показать
— средние линии равных треугольников 
, 
с общим основанием 
. Значит, отрезки 
, 
— параллельны и равны, следовательно, четырехугольник 
— параллелограмм. Но и 
, 
— параллельны и равны, значит 
, которые перпендикулярны (ведь если проекция наклонной (
) перпендикулярна некоторой прямой плоскости (
. Его площадь равна 
.
Переменка!
Вы можете пройти тест по Задачам №8, пирамида.
Здравствуйте!Помогите разобраться в задаче. “В правильной треугольной пирамиде SABC ребра ВА и ВС разделены точками К и L соответственно в отношении 2:1, считая от вершины B. Найдите угол между плоскостью основания АВС и плоскостью сечения SKL.” Должен выйти прямой угол, а как?
Конечно, прямой угол. Ведь прямая KL проходит через проекцию H вершины S на плоскость основания. Ведь треугольник BKL подобен треугольнику BAC (к=2/3), а еще есть свойство медиан о том, что они делятся в отношении 2:1, считая от вершин. Вот и получается, что H принадлежит KL.
В решении задачи 12 должно быть ACB вместо ACD и MNPQ вместо ABCD (3 раза).
Михаил, спасибо большое! Надо же… Года 4 висит задача)))