Задания 13 ЕГЭ-2023

2024-01-20

смотрите также Сборник задач 14 ЕГЭ


1.1. ГЭ 2023) Дана четырехугольная пирамида $SABCD,$ в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $10.$ Известно, что $SA=SC=10\sqrt2,SB=20$ и $AC=10.$

а)  Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $ABCD.$

б)  Найдите расстояние между прямыми $AC$  и $SB.$

Решение Ответ: $2,5\sqrt3.$

1.2. (ЕГЭ 2023, аналог) Дана четырехугольная пирамида $SABCD,$ в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $5.$ Известно, что $SA=SC=5\sqrt2,SB=10$ и $AC=5.$

а)  Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $ABCD.$

б)  Найдите расстояние между прямыми $AC$  и $SB.$

Ответ: $\frac{5\sqrt3}{4}.$


2.1. (ЕГЭ 2023) Дана прямая призма ABCA1B1C1.  ABC  — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP : PB  =  3 : 1. Точка Q делит пополам ребро B1C1. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярная PQ.

а)  Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.

б)  Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, если AA1  =  5, AB  =  12 и $cos ABC=\frac{3}{5}.$ 

Решение Ответ: 16:25.

2.2. (ЕГЭ 2023) Дана прямая призма ABCA1B1C1.  ABC  — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP : PB  =  3 : 1. Точка Q делит пополам ребро B1C1. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярная PQ.

а)  Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.

б)  Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, если AA1  =  10, AB  =  20 и $cos ABC=\frac{5}{13}.$ 

Ответ: 36:25.


3.1. (ЕГЭ 2023) Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная трапеция с основаниями $AD = 5$ и $BC= 4.$ $M$ – точка, которая делит сторону $A_1D_1$ в отношении $1:4,$ считая от $A_1,$ $K$ – середина $DD_1.$

a) Доказать, что $MCK$||$BD.$
б) Найти тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания, если $\angle BAD $= 60°, a $\angle CKM$ = 90°.
Решение Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{2}.$

3.2. (ЕГЭ 2023) Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями $AD = 3$ и $BC= 2.$ $M$ – точка, которая делит сторону $A_1D_1$ в отношении $1:2,$ $K$ – середина $DD_1.$

a) Доказать, что $MCK$||$BD.$
б) Найти тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания, если $\angle BAD $= 60°, a $\angle CKM$ = 90°.
Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{3}.$


4.1. (ЕГЭ 2023) В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=5, BC=3.$ Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=2:3,$ а точка $K$  — середина ребра $DD_1.$

а)  Докажите, что плоскость $MKC$ делит отрезок $BB_1$ пополам.

б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MKC,$ если $\angle MKC=90^{\circ},\angle ADC=60^{\circ}.$

Решение Ответ: $\frac{12\sqrt{21}}{5}.$

4.2. (ЕГЭ 2023) В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3, BC=2.$ Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=1:2,$ а точка $K$  — середина ребра $DD_1.$

а)  Докажите, что плоскость $MKC$ делит отрезок $BB_1$ пополам.

б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MKC,$ если $\angle MKC=90^{\circ},\angle ADC=60^{\circ}.$

Ответ: $\frac{7\sqrt{10}}{6}.$


5.1. (ЕГЭ 2023) Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелограмм. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1,$  и $BC$ отмечены точки $M,K$ и $N$ соответственно, причем $B_1K:KC_1=1:2,$  а $AMKN$  — равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $3.$

a)  Докажите, что $N$  — середина $BC.$

б)  Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объем призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $12,$ а ее высота равна $2.$

Решение Ответ: $\frac{5\sqrt{37}}{6}.$

5.2. (ЕГЭ 2023) Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелограмм. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1,$  и $BC$ отмечены точки $M,K$ и $N$ соответственно, причем $B_1K:KC_1=1:3,$  а $AMKN$  — равнобедренная трапеция с основаниями $3$ и $6.$

a)  Докажите, что $N$  — середина $BC.$

б)  Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объем призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $24,$ а ее высота равна $3.$

Ответ: $\frac{3\sqrt{82}}{2}.$


6.1.  (Досрок 2023) Дан тетраэдр $ABCD,$ на ребрах $AC, AD, BD, BC$ отмечены точки $K, L, M, N$ соответственно так, что $AK:KC=3:7,$ а $KLMN$  — квадрат со стороной $3.$
а)  Докажите, что $BM:MD=3:7.$

б)  Найдите расстояние от точки $C$ до $KLM, $ если известно, что объем тетраэдра $ABCD$ равен $50. $
Решение Ответ: б)  $4,9.$

6.2.  (Досрок 2023) Дан тетраэдр $ABCD.$ На ребре $AC$ выбрана точка $K$ так, что $AK:KC=3:7.$ Также на ребрах $AD, BD, BC$ выбраны точки $L, M ,N$ соответственно так, что $KLMN$  — квадрат со стороной $3.$

а)  Докажите, что ребра $AB $и $CD$ взаимно перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $KLMN,$ если объем тетраэдра $ABCD$ равен $ 100. $
Ответ: б) $4,2.$


7.1.  (ЕГЭ 2023) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка M является серединой ребра BB1, а точка N  — середина ребра A1C1. Плоскость α, параллельная прямым AM и B1N, проходит через середину отрезка B1M.

a)  Докажите, что плоскость α проходит через середину отрезка B1C1.

б)  Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α , если все ребра этой призмы равны 4.

Решение Ответ: $\frac{7\sqrt6}{2}.$

7.2.  (ЕГЭ 2023) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка M является серединой ребра CC1, а точка N  — середина ребра $A_1B_1$ Плоскость α, параллельная прямым AM и C1N, проходит через середину отрезка C1M.

a)  Докажите, что плоскость α проходит через середину отрезка B1C1.

б)  Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α , если все ребра этой призмы равны 12. 

Ответ: $\frac{63\sqrt6}{2}.$


8.1.  (Досрок 2023)  На рёбрах $AC,AD,BD,BC$  тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K,L,M,N$ соответственно, причём $AK : KC  =  2:3. $ Четырёхугольник $KLMN$ – квадрат.
а)  Докажите, что $AB:CD=2:3.$
б)  Найдите объём пирамиды $KNMC,$ если объём тетраэдра $ABCD$ равен $25.$
Решение Ответ: б) $3,6.$
 
8.2.  (Досрок 2023) Дан тетраэдр $ABCD$. Точки $K,L,M,N$ лежат на ребрах  $AC,AD,DB,BC$ соответственно, так, что четырехугольник $KLMN$ — квадрат, и $AK:KC=3:7.$
а)  Докажите, что $AB:CD=3:7.$
б)  Найдите объём пирамиды $CKLMN$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $100.$
Ответ: б) $29,4.$

9.1.  (Досрок 2023)В основании пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. На боковых рёбрах $SA,SC,SD$ отмечены точки $K,L,M$ соответственно так, что $SK:KA=SL:LC=2:1$ и $SM=MD.$

а)  Докажите, что плоскость $KML$ содержит точку $B.$

б)  Найдите объём пирамиды $BAKMD,$ если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $18,$ а высота пирамиды $SABCD$ равна $7.$

Решение Ответ: б)  $14.$

9.2.  (Досрок 2023) В основании пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. На боковых рёбрах $SA,SC,SD$ отмечены точки $K,L,M$ соответственно так, что $SK:KA=SL:LC=2:1$ и $SM=MD.$
а)  Докажите, что плоскость $KML$ содержит точку $B.$
б)  Найдите объём пирамиды $BAKMD,$ если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $21,$ а высота пирамиды $SABCD$ равна $12.$

Ответ: б)  $28.$


10.1.    (Досрок 2023) В четырёхугольной пирамиде $SABCD$  с основанием $ABCD$ длины всех боковых ребер равны длине ребра $AD,$ а длина каждого из рёбер  $AB,BC,CD$A ровно в два раза меньше, чем длина ребра $AD.$

а)  Докажите, что высота пирамиды проходит через середину ребра $AD.$
б)  Найдите, в каком отношении плоскость $BMN$ делит высоту пирамиды, считая от вершины $S,$ если точка $M$ — середина ребра $SD,$ а точка $N$ делит ребро $SC$ в отношении $SN:NC=3:1.$

Ответ: б)  $3 : 2.$

10.2.   (Досрок 2023) В четырёхугольной пирамиде $SABCD$  с основанием $ABCD$ длины всех боковых ребер равны длине ребра $AD,$ а длина каждого из рёбер  $AB,BC,CD$A ровно в два раза меньше, чем длина ребра $AD.$

а)  Докажите, что высота пирамиды проходит через середину ребра $AD.$

б)  Найдите, в каком отношении плоскость $BMN$ делит высоту пирамиды, считая от вершины $S,$ если точка $M$ делит $SD$ в отношении $1:3,$ считая от вершины, а точка $N$ – середина ребра $SC.$

Ответ: б) $1:2.$


11.1. (ЕГЭ 2023, резерв) В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD. На ребрах SA, SB, SC и SD отмечены точки L, K, N и M соответственно так, что четырехугольник KLMN  — трапеция с основанием KL  =  3 и MN  =  2. Известно, что $SK:KB=3:1.$

а)  Докажите, что плоскость KLM пересекает ребра SC и SD в их серединах.

б)  Найдите высоту SH пирамиды, если точка пересечения  диагоналей основания  пирамиды совпадает с точкой H, площадь основания равна 24, а площадь сечения KLMN  =  10.

Решение Ответ: $\sqrt{31}.$
 
11.2.     (ЕГЭ 2023, резерв) В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD. На ребрах SA, SB, SC и SD отмечены точки L, K, N и M соответственно так, что четырехугольник KLMN  — трапеция с основанием KL  =  6 и MN  =  4. Известно, что $SK:SB=3:4.$
а)  Докажите, что плоскость KLM пересекает ребра SC и SD в их серединах.
 
б)  Найдите высоту SH пирамиды, если точка пересечения диагоналей основания пирамиды совпадает с точкой H, площадь основания равна 72, а площадь сечения KLMN  =  30.
Ответ: $\frac{3\sqrt{31}}{2}.$


12.1. (ЕГЭ 2023, резерв) В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD. Плоскость α пересекает ребра SA, SB, SC и SD в точках L, K, N и M соответственно, причем SK : KB  =  3 : 1, а точки L и M  — середины ребер SA и SD.

а)  Докажите, что четырехугольник KLMN является трапецией, длины оснований которой относятся как 2 : 3.

б)  Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостями ABC и α равен 30°, площадь сечения пирамиды плоскостью α равна $10\sqrt2,$ а площадь основания пирамиды равна 32.

Решение Ответ: $8.$

12.2. (ЕГЭ 2023, резерв)  В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD. Плоскость α пересекает ребра SA, SB, SC и SD в точках L, K, N и M соответственно, причем SK : KB  =  2 : 1, а точки L и M  — середины ребер SA и SD.

а)  Докажите, что четырехугольник KLMN является трапецией, длины оснований которой относятся как 3 : 4.

б)  Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостями ABC и α равен 45°, площадь сечения пирамиды плоскостью α равна $14\sqrt3,$ а площадь основания пирамиды равна 54.

Ответ: $24.$


13.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Грани ABD и  ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 10 и перпендикулярны друг другу. На рёбрах ABAD и CD отмечены точки  KL и M соответственно, причём BK  =  2, AL  =  4,  MD  =  3.

а)  Докажите, что плоскость  KLM перпендикулярна ребру CD.

б)  Найдите длину отрезка пересечения грани ABC и плоскости  KLM.

Решение Ответ: $\frac{2\sqrt6}{3}.$

13.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Грани ABD и ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 3 и перпендикулярны друг другу. На рёбрах АВ, AD  и CD отмечены точки KL и M соответственно, причём BK=AL=MD=1. 

а)  Докажите, что плоскость KLM перпендикулярна ребру CD.

б)  Найдите длину отрезка пересечения грани ABC с плоскостью KLM.

Ответ: $\frac{\sqrt6}{3}.$

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




16 + двадцать =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif