Задания 13 ЕГЭ-2023

смотрите также Сборник задач 14 ЕГЭ

1.1. (ЕГЭ 2023) Дана четырехугольная пирамида $SABCD,$ в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $10.$ Известно, что $SA=SC=10\sqrt2,SB=20$ и $AC=10.$

а)  Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $ABCD.$

б)  Найдите расстояние между прямыми $AC$  и $SB.$

Решение Ответ: $2,5\sqrt3.$

1.2. (ЕГЭ 2023, аналог) Дана четырехугольная пирамида $SABCD,$ в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $5.$ Известно, что $SA=SC=5\sqrt2,SB=10$ и $AC=5.$

а)  Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $ABCD.$

б)  Найдите расстояние между прямыми $AC$  и $SB.$

Ответ: $\frac{5\sqrt3}{4}.$

2.1. (ЕГЭ 2023) Дана прямая призма ABCA₁B₁C₁.  ABC  — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP : PB  =  3 : 1. Точка Q делит пополам ребро B₁C₁. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярная PQ.

а)  Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.

б)  Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, если AA₁  =  5, AB  =  12 и $cos ABC=\frac{3}{5}.$ 

Решение Ответ: 16:25.

2.2. (ЕГЭ 2023) Дана прямая призма ABCA₁B₁C₁.  ABC  — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP : PB  =  3 : 1. Точка Q делит пополам ребро B₁C₁. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярная PQ.

а)  Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.

б)  Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, если AA₁  =  10, AB  =  20 и $cos ABC=\frac{5}{13}.$ 

Ответ: 36:25.

3.1. (ЕГЭ 2023) Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная трапеция с основаниями $AD = 5$ и $BC= 4.$ $M$ – точка, которая делит сторону $A_1D_1$ в отношении $1:4,$ считая от $A_1,$ $K$ – середина $DD_1.$

a) Доказать, что $MCK$||$BD.$
б) Найти тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания, если $\angle BAD $= 60°, a $\angle CKM$ = 90°.
Решение Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{2}.$

3.2. (ЕГЭ 2023) Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями $AD = 3$ и $BC= 2.$ $M$ – точка, которая делит сторону $A_1D_1$ в отношении $1:2,$ $K$ – середина $DD_1.$

a) Доказать, что $MCK$||$BD.$
б) Найти тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания, если $\angle BAD $= 60°, a $\angle CKM$ = 90°.
Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{3}.$

4.1. (ЕГЭ 2023) В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=5, BC=3.$ Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=2:3,$ а точка $K$  — середина ребра $DD_1.$

а)  Докажите, что плоскость $MKC$ делит отрезок $BB_1$ пополам.

б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MKC,$ если $\angle MKC=90^{\circ},\angle ADC=60^{\circ}.$

Решение Ответ: $\frac{12\sqrt{21}}{5}.$

4.2. (ЕГЭ 2023) В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3, BC=2.$ Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=1:2,$ а точка $K$  — середина ребра $DD_1.$

а)  Докажите, что плоскость $MKC$ делит отрезок $BB_1$ пополам.

б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MKC,$ если $\angle MKC=90^{\circ},\angle ADC=60^{\circ}.$

Ответ: $\frac{7\sqrt{10}}{6}.$

5.1. (ЕГЭ 2023) Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелограмм. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1,$  и $BC$ отмечены точки $M,K$ и $N$ соответственно, причем $B_1K:KC_1=1:2,$  а $AMKN$  — равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $3.$

a)  Докажите, что $N$  — середина $BC.$

б)  Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объем призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $12,$ а ее высота равна $2.$

Решение Ответ: $\frac{5\sqrt{37}}{6}.$

5.2. (ЕГЭ 2023) Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелограмм. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1,$  и $BC$ отмечены точки $M,K$ и $N$ соответственно, причем $B_1K:KC_1=1:3,$  а $AMKN$  — равнобедренная трапеция с основаниями $3$ и $6.$

a)  Докажите, что $N$  — середина $BC.$

б)  Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объем призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $24,$ а ее высота равна $3.$

Ответ: $\frac{3\sqrt{82}}{2}.$

6.1.  (Досрок 2023) Дан тетраэдр $ABCD,$ на ребрах $AC, AD, BD, BC$ отмечены точки $K, L, M, N$ соответственно так, что $AK:KC=3:7,$ а $KLMN$  — квадрат со стороной $3.$
а)  Докажите, что $BM:MD=3:7.$

б)  Найдите расстояние от точки $C$ до $KLM, $ если известно, что объем тетраэдра $ABCD$ равен $50. $
Решение Ответ: б)  $4,9.$

6.2.  (Досрок 2023) Дан тетраэдр $ABCD.$ На ребре $AC$ выбрана точка $K$ так, что $AK:KC=3:7.$ Также на ребрах $AD, BD, BC$ выбраны точки $L, M ,N$ соответственно так, что $KLMN$  — квадрат со стороной $3.$

а)  Докажите, что ребра $AB $и $CD$ взаимно перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $KLMN,$ если объем тетраэдра $ABCD$ равен $ 100. $
Ответ: б) $4,2.$

а)  Докажите, что плоскость $KML$ содержит точку $B.$

б)  Найдите объём пирамиды $BAKMD,$ если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $18,$ а высота пирамиды $SABCD$ равна $7.$

Решение Ответ: б)  $14.$

а)  Докажите, что высота пирамиды проходит через середину ребра $AD.$
б)  Найдите, в каком отношении плоскость $BMN$ делит высоту пирамиды, считая от вершины $S,$ если точка $M$ — середина ребра $SD,$ а точка $N$ делит ребро $SC$ в отношении $SN:NC=3:1.$