Задания 18 ЕГЭ 2023

1.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.

а)  Можно ли получить из числа 128 число 29?

б)  Можно ли получить из числа 128 число 31?

в)  Какое наименьшее число можно было получить из числа 128?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 2.

1.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Дано натуральное число. На каждом ходе из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, так, что полученное число остается натуральным.

a)  Могло ли из числа 65 получиться число 41?

б)  Могло ли из числа 65 получиться число 43?

в)  Какое наименьшее двузначное число можно получить из 65?

Ответ: а) да; б) нет; в) 11.

2.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Трёхзначное натуральное число, в десятичной записи которого нет нулей, разделили на произведение его цифр.

а)  Может ли получившееся частное быть равным 5?

6)  Может ли получившееся частное быть равным 1?

в)  Какое наименьшее значение может принимать это частное?

Решение Ответ: а)  да; б)  нет; в)  37/27.

2.2. (ЕГЭ 2016) Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 113/27. 
б) Может ли это частное равняться 125/27?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?

 Ответ: а) пример: 339; б) нет; в) 931/27.

3.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Бесконечная геометрическая прогрессия b₁, b₂, …, b_n, … состоит из различных натуральных чисел. Пусть S₁  =  b₁ и S_n  =  b₁ + b₂ + … + b_n при всех натуральных n2.

а)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ которой ровно два числа делятся на 60?

б)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ которой ровно три числа делятся на 60?

в)  Какое наибольшее количество чисел среди S₁, S₂, …, S₁₂ может делиться на 60, если известно, что S₁ на 60 не делится?

Решение Ответ: а)  да; б)  нет; в)  6.

3.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Бесконечная геометрическая прогрессия b₁, b₂, …, b_n, … состоит из различных натуральных чисел. Пусть S₁  =  b₁ и S_n  =  b₁ + b₂ + … + b_n при всех натуральных n2.

а)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ которой ровно два числа делятся на 40?

б)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ которой ровно три числа делятся на 40?

в)  Какое наибольшее количество чисел среди S₁, S₂, …, S₈ может делиться на 40, если известно, что S₁ на 40 не делится?

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  4.

4.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а)  Может ли Егор за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см?

б)  Может ли Егор за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см?

в)  За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в 300 см на части по 1 см?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 9.

4.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а)  Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 32 см на куски длиной 1 см?

б)  Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной в 50 см на куски длиной 1 см?

в)  Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?

Ответ: а) да; б) нет; в) 8.

5.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) У Пети есть монеты номиналом 1, 2, 5 и 10 рублей. Каждого вида монет у него по 100 штук. Цена пирожного в рублях выражается целым числом. Петя хочет купить пирожное без сдачи, но до покупки не знает сколько оно стоит. 

а)  Может ли Петя выбрать дома 16 монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более 100  рублей?

б)  Может ли Петя выбрать дома 5 монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более 25  рублей?

в)  Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если известно, что пирожное стоит не более 100  рублей?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 13.