В этой статье работаем с Задачами №3 ЕГЭ по математике, которые связаны с координатной плоскостью.
Смотрите в других статьях разбор Задачи №4, в которых фигурирует:
– треугольник;
– прямоугольник;
– ромб;
– параллелограмм;
– произвольный четырехугольник;
– трапеция;
– многоугольник;
– круг;
– векторы;
Задача 1. Из точки
опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите абсциссу основания перпендикуляра.

Решение: + показать
Ось абсцисс – ось
. Абсцисса основания перпендикуляра совпадает с абсциссой данной точки.

То есть абсциссу основания перпендикуляра равна 4.
Ответ: 4.
Задача 2. Через точку
проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите ординату ее точки пересечения с осью Oy.

Решение: + показать
Ордината пересечения прямой, параллельной оси абсцисс, и проходящей через точку
с осью Oy совпадает с ординатой данной точки, то есть равна 7.
Ответ: 7.
Задача 3. Найдите квадрат расстояние от точки A с координатами (4;7) до начала координат.

Решение: + показать
Расстояние от точки A с координатами до начала координат – длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 4 и 7.

Поэтому квадрат искомого расстояние определяется следующим образом:

Ответ: 65.
Задача 4. Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(4; 7) относительно оси Oy.

Решение: + показать

Так как точка симметрична относительно оси Oy, то ордината равна 7, а абсцисса равна −4.
Ответ: -4.
Задача 5. Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки
и
.

Решение: + показать
Координаты точки
, делящей отрезок с концами
и
пополам, таковы:


Итак, ордината середины отрезка

Ответ: 3,5.
Задача 6. Найдите ординату точки пересечения оси Oy и отрезка, соединяющего точки A (-4;7) и B (4;4).

Решение: + показать
Если мы найдем координаты середины отрезка
, то мы заметим, что середина отрезка
лежит на оси Oy, то есть имеет абсциссу (x), равную нулю.
Действительно, пусть
– середина отрезка
. Тогда

Итак, ордината точки пересечения оси Oy и отрезка
равна 5,5.
Ответ: 5,5.
Задача 7. Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки
и
, с осью абсцисс.

Решение: + показать

Пусть
– угол наклона отрезка
к оси абсцисс.
По т. Пифагора 
Тогда 
Ответ: 0,6.
Задача 8. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (-4;0) и (0;8).

Решение: + показать
Задача 9. Прямая a проходит через точки с координатами (0;8) и (2;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;4) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

Решение: + показать
1) Найдем уравнение прямой проходящей через точки (0;8) и (2;0):
– уравнение прямой в общем виде.
Подставляем точку (0;8):
откуда 
Подставляем точку (2;0):
откуда 
Итак, уравнение прямой, проходящей через точки (0;8) и (2;0): 
2) У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Поэтому уравнение прямой, проходящей через точку c заданными координатами параллельно прямой
выглядит так: 
Найдем свободный член
, подставив координаты точки (0;4) в уравнение 
откуда 
Итак, уравнение прямой 

3) Нам надо найти абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.
Точки, лежащие на оси Ox, имеют ординату (y), равную нулю, поэтому: 

Надо сказать, задачу можно решать далеко не одним способом.
Можно, например, использовать тангенс угла наклона прямой… или подобие треугольников…
Ответ: 1.
Задача 10. Точки O(0; 0), B(6; 2), C(0; 6) и A являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки A.

Решение: + показать
Диагонали параллелограмма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения – 
Найдем координаты середины (точки
) отрезка
():


Пусть координаты точки
–
.
Так как
– середина
, то

Откуда 
Нас интересует только ордината точки
– это 8.
Ответ: 8.
Задача 11. Точки O(0;0), A(-6;8), B(10;4) являются вершинами треугольника. Найдите длину его средней линии CD, параллельной OA.

Решение: + показать
Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
По свойству средней линии 
Длина отрезка с заданными координатами концов
и
вычисляется по формуле

Поэтому 
Тогда 
Ответ: 5.
Задача 12. Найдите угловой коэффициент прямой, заданной уравнением 

Решение: + показать
Уравнение прямой в общем виде задается следующим образом:
где
– и есть угловой коэффициент.
Представим данное нам уравнение
в указанном виде:


Таким образом, угловой коэффициент равен
(коэффициент при
).
Ответ: 2.
Задача 13. Окружность с центром в начале координат проходит через точку A(-6;-8). Найдите ее радиус.

Решение: + показать
Уравнение окружности:

где
– координаты центра окружности,
– радиус окружности.
В нашем случае
так как центр окружности – точка
по условию.
Окружность проходит через точку
, значит, координаты точки
удовлетворяют уравнению окружности.
Поэтому 


Ответ: 10.
Задача 14. Найдите абсциссу центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (8;14), (8;6), (2;6), (2;14).

Решение: + показать

Переменка –>+ показать

Вы можете пройти тест по Задачам №3, координатная плоскость.
В задаче №9 сказано что можно также использовать подобие треугольников, можно поинтересоваться как именно?
Я предполагаю что прямые “a” и “b” можно дорисовать до равнобедренных треугольников. Их высоты будут относиться 1:2, следовательно и основания будут также относиться 1:2.
А так как у большего треугольника основание 4, то у меньшего основание 2…
Не нужно ничего дорисовывать. Налицо подобие прямоугольных треугольников с катетами на осях. Коэффициент подобия – 2.
Задача №11, проще было сразу сказать, что мы использовали теорему Пифагора