01. Круг

Длина окружности вычисляется по формуле $\color{red}C=2\pi R$.

Поэтому $22\sqrt{\pi}=2\pi R.$

Откуда $R=\frac{11}{\sqrt{\pi}}.$

Площадь круга вычисляется по формуле $\color{red}S=\pi R^2.$

Тогда $S=\pi\cdot (\frac{11}{\sqrt{\pi}})^2=121.$

Ответ: $121.$

Площадь круга вычисляется по формуле $\color{red}S=\pi R^2.$

Значит, $\frac{441}{\pi}=\pi R^2;$

Откуда $R^2=\frac{441}{\pi^2};$

$R=\frac{21}{\pi};$

Длина окружности вычисляется по формуле $\color{red}C=2\pi R$.

Поэтому $C=2\pi\cdot \frac{21}{\pi}=42.$

Ответ: $42.$

Площадь кольца – есть разность площадей большего и меньшего кругов.

Площадь большего круга: $S_1=\pi R_1^2=\pi\cdot (\frac{51}{\sqrt{\pi}})^2=51^2;$

Площадь меньшего круга: $S_2=\pi R_2^2=\pi\cdot (\frac{47}{\sqrt{\pi}})^2=47^2;$

Тогда площадь кольца: $S=S_1-S_2=51^2-47^2=(51-47)(51+47)=392.$

Ответ: $392.$

Как и в предыдущей задаче искомая площадь фигуры  – есть разность площадей кругов (большого и малого).

Исходя из чертежа, можно сказать, что радиус большого круга вдвое больше радиуса меньшего.

При этом  известно, что площади кругов относятся как квадраты их радиусов.  Значит, площадь большего круга равна $4\cdot 4=16.$

Наконец, искомая площадь: $16-4=12.$

Ответ: $12.$

Радиус  окружности на рисунке составляет 3 единицы. Значит площадь круга  есть $S=\pi R^2=\pi \cdot3^2=9\pi.$

Рассмотрим треугольник $ABO:$

В нем $BO=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5;$

$AO=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5;$

$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10};$

То есть мы замечаем, что треугольник $ABO$  – прямоугольный, так как $AB^2=AO^2+BO^2.$

А значит, закрашенный сектор составляет четверть круга.

Поэтому площадь $S$ сектора есть $\frac{S_{krug}}{4}=\frac{9\pi}{4}.$

В ответе нужно указать $\frac{S}{\pi}$, то есть $\frac{9\pi}{4\pi}=\frac{9}{4}=2,25.$

Ответ: $2,25.$

Пуст $x$– искомая площадь сектора

Ответ: $9.$

Пусть $x$ – длина дуги сектора, которую ищем

Ответ: $10.$

Пусть $x$ – искомый центральный угол сектора, всему кругу сопоставляем центральный угол в $360^{\circ}$:

Ответ: $60.$

Так как сектор занимает $\frac{7}{8}$ площади круга, то площадь  круга соответственно составляет $\frac{8}{7}$ площади сектора, то есть $\frac{8\cdot 56}{7}=64.$

 Ответ: $64.$

Радиус круга, как видно из рисунка, равен $\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.$

Тогда площадь круга  равна $\pi R^2=13\pi.$

Помеченный же сектор занимает $\frac{3}{8}$ часть круга.

Тогда  площадь сектора $S$ равна $13\pi \cdot\frac{3}{8}=4,875\pi.$

Наконец, $\frac{S}{\pi}=\frac{4,875\pi}{\pi}=4,875.$

Ответ: $4,875.$

Хорошо видно, что окружность вписана в квадрат со стороной $7,$ стало быть радиус окружности равен $3,5.$

Ответ: $3,5.$

Градусная мера дуги $BC$ равна градусной мере центрального угла $BOC.$ При этом $\angle BOC=135^{\circ}.$

Ответ: $135.$