Задача 1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Решение: + показать

Проведем из точки $B$ перпендикуляр к $OA.$ Катеты образовавшегося треугольника равны $5$ и $1.$
$tg\angle O=\frac{5}{1}=5.$
Ответ: $5$.
Задача 2. Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на $2\sqrt2.$

Решение: + показать
Проведем из точки $B$ перпендикуляр $BH$ к $OA.$ Катеты образовавшегося равнобедренного треугольника равны $3.$
$cos \angle O=\frac{OH}{OB}=\frac{3}{\sqrt{3^2+3^2}}=\frac{1}{\sqrt2}.$
Тогда
$2\sqrt2 cos\angle O=2\sqrt2 \cdot \frac{1}{\sqrt2}=2.$

Ответ: $2$.
Задача 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен угол. Найдите синус этого угла.

Решение: + показать

Опустим перпендикуляр $BH$ к $OA.$
$sin BOH=\frac{BH}{BO}=\frac{4}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{4}{5}=0,8.$
$sin AOB=sin(180^{\circ}-\angle BOH)=sin BOH=0,8.$
Ответ: $0,8.$
Задача 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Решение: + показать
Соединим точки $B$ и $H$ (см. рис.).
Из прямоугольного треугольника $BEH:$ $BH=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$
Из прямоугольного треугольника $OPH:$ $OH=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$
Из прямоугольного треугольника $OFB:$ $OB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.$

Стало быть, раз $OB^2=BH^2+OH^2,$ то $\angle BHO=90^{\circ}.$
Тогда $tg\angle AOB=\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=1.$
Ответ: $1.$
Задача 5. Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на $2\sqrt2.$

Решение: + показать
Выберем точку $H$ как показано на рисунке.
Из прямоугольного треугольника $OPH:$ $PH=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$
Из прямоугольного треугольника $AHF:$ $AH=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$
Из прямоугольного треугольника $AEO:$ $AO=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.$

Стало быть, раз $OA^2=AH^2+OH^2,$ то $\angle AHO=90^{\circ}.$
Тогда $cos AOH=\frac{OH}{OA}=\frac{\sqrt5}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt2}.$
Далее, $cos AOB=cos(180^{\circ}-\angle AOH)=-cos\angle AOH=-\frac{1}{\sqrt2}.$
Наконец, $cosAOB=2\sqrt2cos AOB=2\sqrt2 \cdot (-\frac{1}{\sqrt2})=-2.$
Ответ: $-2$.
Задача 6. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины B.

Решение: + показать

Хорошо видно, что треугольник $KBC$ равнобедренный, значит биссектриса угла $B$ пройдет через середину $KC.$ Очевидно тогда, что длина биссектрисы угла $B$ треугольника $ABC$ равна $3.$
Ответ: $3$.
Задача 7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC . Найдите длину его медианы, проведённой из вершины C.

Решение: + показать
Пусть $K$ – середина $AB.$ Отметим точку $H$ как показано на рисунке. В прямоугольном треугольнике $KCH$ катеты равны $3$ и $4,$ стало быть, $KC=5$ по теореме Пифагора.

Ответ: $5.$
Задача 8. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону BC, если стороны квадратных клеток равны $\sqrt5$

Решение: + показать
Треугольник $ABC$ – равнобедренный, высота $AH$ – медиана, то есть $H$ – середина $BC.$

Отметим точку $E$ как показано на рисунке.
$AH=\sqrt{EH^2+AE^2}=\sqrt{(\sqrt5)^2+(2\sqrt5)^2}=5.$
Ответ: $5.$
Задача 9. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Решение: + показать
Длина средней линии – полусумма длин оснований, то есть $\frac{4+8}{2}=6.$
Ответ: $6.$
Задача 10. Найдите периметр четырехугольника $ABCD$, если стороны квадратных клеток равны $\sqrt5$.

Решение: + показать

$BC=\sqrt{BH^2+CH^2}=\sqrt{(4\sqrt5)^2+(2\sqrt5)^2}=10;$
$CD=\sqrt{CH^2+HD^2}=\sqrt{(2\sqrt5)^2+(\sqrt5)^2}=5;$
$P_{ABCD}=(10+5)\cdot 2=30.$
Ответ: $30.$
Задача 11. Найдите диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$, если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение: + показать
Из прямоугольного треугольника, выделенного зеленым цветом, по теореме Пифагора $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5.$

Ответ: $5.$
Задача 12. Найдите среднюю линию трапеции $ABCD$, если стороны квадратных клеток равны $\sqrt2$.

Решение: + показать

Пусть $l$ – средняя линия трапеции. Тогда $l=\frac{BC+AD}{2};$
Из прямоугольного треугольника, помеченного голубым цветом, по т. Пифагора $BC=\sqrt{(2\sqrt2)^2+(2\sqrt2)^2}=4;$
Аналогично $AD=\sqrt{(5\sqrt2)^2+(5\sqrt2)^2}=10;$
Получаем: $l=\frac{4+10}{2}=7.$
Ответ: $7.$
Задача 13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение: + показать
$R=\frac{BD}{2}=\frac{5}{2}=2,5.$

Ответ: $2,5.$
Задача 14. Найдите радиус $R$ окружности, описанной около треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите $R\sqrt 5.$

Решение: + показать
Радиус описанной окружности – половина гипотенузы.
$BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt5;$
$R=\sqrt5;$
$R\sqrt5=5.$
Ответ: $5.$
Задача 15. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки $A$, $B$ и $C$. Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$.

Решение: + показать
Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Поэтому, искомое расстояние равно $3$.
Ответ: $3.$
Задача 16. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 отмечены две точки A и B. Найдите длину отрезка AB.

Решение: + показать

$AB=\sqrt{5^2+12^2}=13.$
Ответ: $13.$
Задача 17. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см изображен треугольник $ABC$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AB$ (в сантиметрах).

Решение: + показать
Задача 18. На клетчатой бумаге с размером клетки $\sqrt5$x$\sqrt5$ изображён треугольник. Найдите радиус его описанной окружности.

Решение: + показать

$R=\sqrt{(\sqrt5)^2+(2\sqrt5)^2}=5.$
Ответ: $5.$
Задача 19. Найдите радиус окружности, вписанной в изображенный на рисунке треугольник ABC,считая стороны квадратных клеток равными 1.

Решение: + показать
$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1.$
Ответ: $1.$
Вы можете пройти тест «Задачи №3. Многоугольник, вычисление длин и углов»
на рисунку MN паралельний стороні трикутника ABC. Знайдіть BM, якщо, MN=6 см, AC= 9см, AM=4см
Маша, так вы Таня?
да да это я просто я захотела заменить имя
Не понятно условие…
на рисунку MN паралельний стороні трикутника ABC
на малюнку відрізок MN паралельній стороні AC трикутника ABC? так лучше?
Да. [latexpage]$\Delta MBN$ подобен $\Delta ABC$ по двум углам. Значит $MB:AB=MN:AC$, откуда $MB:(AM+MB)=6:9$, то есть $MB:(4+MB)=6:9$. Ну а дальше сами… ;) (пропорцию решаем)
Вам сюда.
Извините пожалуйста, а вот в десятой задачке sin 1/2 ведь может быть и 150 градусов. Так вот, 150 тоже может быть служит ответом или я что-то путаю?
Наруто, в условии задачи сказано, что треугольник остроугольный. Поэтому не может угол быть 150 градусов.
Вот я дурак. Извините. И спасибо вам.
;)