04. Теория вероятности. Часть 2

События «Достанется вопрос по теме Вписанные углы» и «Достанется вопрос по теме вписанная окружность» – несовместные. Значит,  вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем равна сумме вероятностей этих событий: $0,35+0,2=0,55.$

Ответ: $0,55.$

По условию вероятность того, что диаметр подшипника будет лежать в пределах от $75,99$ до $76,01$ мм равна $0,983.$ Значит, вероятность противоположного события равна $1-0,983=0,017.$

Ответ: $0,017.$

Вероятность события $A$ «кофе закончится в первом автомате» равна $0,3.$

Вероятность события $B$ «кофе закончится во втором автомате» равна $0,3.$

Вероятность события $A\cdot B$ «кофе закончится в обоих автоматах»  равна $0,16.$

Вероятность суммы двух совместных событий $A+B$, есть сумма их вероятностей  без вероятности события $A\cdot B:$

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A\cdot B);$

$P(A+B)=0,3+0,3-0,16=0,44;$

Нас же интересует вероятность события, противоположного событию $A+B.$ Действительно, всего возможны 4 события, три из них, помеченные желтым цветом, отвечают событию $A+B$:

$P=1-0,44=0,56;$

Ответ: $0,56.$

Оба автомата неисправны с вероятностью $0,12\cdot 0,12=0,0144.$

Хотя бы один автомат исправен (исправен+неисправен, неисправен+исправен, исправен+исправен)– это событие, противоположное событию «оба автомата неисправны», поэтому его вероятность есть $1-0,0144=0,9856.$

Ответ: $0,9856.$

Биатлонист попадает в мишень первый раз и (умножение) второй,  и третий: $0,85\cdot 0,85\cdot 0,85=0,614125$

Так как вероятность попадания в цель – $0,85$, то вероятность противоположного события, промаха, – $1-0,85=0,15.$

Биатлонист промахнулся при четвертом выстреле и при пятом:

$0,15\cdot 0,15=0,0225$

Тогда вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишень, а (и!) последние два промахнулся такова:

$0,614125\cdot 0,0225=0,0138…\approx 0,01.$

Ответ: $0,01.$

Рассмотрим следующие события:

$A$ – «пылесос прослужит больше года, но меньше 2»,

$B$ – «пылесос прослужит больше 2-х лет»,

$C$ – «пылесос прослужит больше года».

Событие $C$ есть сумма совместных событий $A$ и $B$, то есть

$P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).$

Но $P(AB)=0$, так как не может одновременно произойти и $A$, и $B$.

Поэтому $0,92=P(A)+0,84.$

Откуда $P(A)=0,08.$

Ответ: $0,08.$

Пусть событие $A$: «учащийся верно решит 12 задач»,

событие $B$: «учащийся решит больше 12 задач»,

событие $C$: «учащийся решит больше 11 задач».

При этом вероятность события $C$ есть сумма вероятностей событий $A$ и $B$:

$P(C)=P(A)+P(B);$

$0,88=P(A)+0,78;$

$P(A)=0,1$ – это и есть искомая вероятность.

Ответ: $0,1.$

Вероятность перегорания всех трех лампочек в течении года $0,07\cdot 0,07\cdot 0,07=0,000343.$

Тогда вероятность противоположного события – “Хотя бы одна лампа не перегорит” – есть $1-0,000343=0,999657\approx 1.$

Ответ: $0,999657.$

Стекло оказывается с первой фабрики (вероятность события $0,7$) и (умножение) оно бракованное (вероятность события $0,01$):

$0,7\cdot 0,01=0,007.$

Стекло оказывается со второй фабрики (вероятность события $0,3$) и оно бракованное (вероятность события $0,03$):

$0,3\cdot 0,03=0,009.$

Посколько при покупке стекла мы оказываемся в первой или (сумма) в вторй ситуации, то по формуле суммы вероятностей  несовместных событий  получаем:

$0,007+0,009=0,016.$

Ответ: $0,016.$

I способ

Пусть вероятность того, что яйцо  из I хозяйства, есть $p$. Тогда вероятность того, что яйцo  из II хозяйства, есть $1-p$.

Высшую категорию получает яйцо, если оно

из I хозяйства и I категории

или

из II хозяйства и I категории,

то есть

$0,4p+0,9(1-p)=0,6;$

$0,3=0,5p;$

$p=0,6.$

Ответ: $0,6.$

Джон хватает пристрелянный револьвер (вероятность этого $\frac{4}{10}$) и промахивается (вероятность $1-0,9=0,1$). Вероятность этого события $\frac{4}{10}\cdot 0,1=0,04;$

Джон хватает непристрелянный револьвер (вероятность этого $\frac{6}{10}$) и промахивается (вероятность $1-0,3=0,7$). Вероятость этого события $\frac{6}{10}\cdot 0,7=0,42;$

Джон может схватить пристрелянный револьвер и промахнуться или схватить непристрелянный револьвер и промахнуться, поэтому искомая вероятность есть:

$0,04+0,42=0,46;$

Ответ: $0,46.$

Вероятность  события “Ничья” равна $1-0,3-0,3=0,4.$

Устраивают варианты: “Выигрыш+Ничья” или “Выигрыш+Выигрыш” или “Ничья+Выигрыш”.

То есть искомая вероятность есть $0,3\cdot0,4+0,3\cdot 0,3+0,4\cdot 0,3=0,33.$

Ответ: $0,33.$

Вероятность события “Поступления на Лингвистику” есть $0,6\cdot 0,6\cdot 0,6.$

Вероятность события “Поступления на Коммерцию” есть $0,6\cdot 0,6\cdot 0,9.$

События “Поступление на Лингвистику” и “Поступление на Коммерцию” совместные. Поэтому вероятность суммы двух указанных событий есть сумма вероятностей указанных событий без вероятности их одновременного свершения.

Вероятность поступления и на “Лингвистика” и на “Коммерция” есть $0,6\cdot 0,6\cdot 0,6\cdot0,9.$

Итак,

$p=0,6\cdot 0,6\cdot 0,6+0,6\cdot 0,6\cdot 0,9-0,6\cdot 0,6\cdot 0,6\cdot 0,9=$

$=0,6\cdot 0,6(0,6+0,9-0,6\cdot 0,9)=0,3456.$

Ответ: $0,3456.$

Пусть на фабрике $n$ тарелок. Тогда дефективных $0,1n$ штук, хороших $0,9n.$ В продажу поступят $0,9n$ хороших тарелок и $0,1\cdot 0,2\cdot n$ незамеченных дефективных.

Тогда искомая вероятность есть $\frac{0,9n}{0,9n+0,1\cdot 0,2\cdot n}=\frac{0,9}{0,92}=0,978…,$ после округления до сотых – $0,98.$

Ответ: $0,98.$

Двухрублевые монеты лежат в одном кармане, если Петя переложил 122, 212, 221 или 111.

Вероятность события “122” есть $\frac{4}{6}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{15}.$

Вероятность события “212” есть $\frac{2}{6}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{15}.$

Вероятность события “221” есть $\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{4}{4}=\frac{1}{15}.$

Вероятность события “111” есть $\frac{4}{6}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{1}{15}.$

Итак, искомая вероятность есть

$\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{3}{15}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=0,4.$

Ответ: $0,4.$

Возможны следующие события (при условии, что 3 августа хорошая погода):

А) ХХХХ

В) ХОХХ

С) ХХОХ

D) ХХХО

E) ХООХ

F) ХХОО

J) ХООО

H) ХОХО

(Мы отметили за «X» – «хорошая погода», «O» – «отличная погода»)

Интересующие нас события (6 августа – отличная погода): D, F, J, H.

Событие D: XХXO произойдет с вероятностью $0,8\cdot 0,8\cdot 0,2=0,128;$

Событие F: ХХОО произойдет с вероятностью $0,8\cdot 0,2\cdot 0,8=0,128;$

Событие J: ХOОО произойдет с вероятностью $0,2\cdot 0,8\cdot 0,8=0,128;$

Событие H: ХОXО произойдет с вероятностью $0,2\cdot 0,2\cdot 0,2=0,008;$

Тогда вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода есть $3\cdot 0,128+0,008=0,392.$

Ответ: $0,392.$

На своем пути паук встречает четыре развилки. И на каждой развилке паук может выбрать путь, ведущий к выходу D, с вероятностью $0,5$ (ведь на каждой развилке возможны два независимых  равновозможных события: «выбор верного пути» и «выбор неверного пути»). Паук дойдет до выхода D, если выберет «верный путь» на первой развилке и на второй, и на третьей, и на четвертой, то есть к выходу D паук придет с вероятностью, равной $0,5\cdot 0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,0625.$
Ответ: $0,0625.$

Пусть $p$ – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом.

Тогда $1-p$ – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, не болен гепатитом.

Анализ дает положительный результат в случаях

пациент болен и (умножение) анализ положителен

или (сложение)

пациент не болен и анализ ложно положителен

Так как по условию задачи  у $6$% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат,  то

$p\cdot 0,9+(1-p)\cdot 0,01=0,06;$

$0,9p-0,01p=0,05;$

$0,89p=0,05;$

$p=\frac{5}{89};$

$p=0,05617..$

Округляем до тысячных: $p=0,056$.

Ответ: $0,056.$

Пусть доля больных среди сдающих тест – $p.$

Так как в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование, то

$0,86p+(1-p)\cdot 0,06=0,1;$

$0,86p+0,06-0,06p=0,1;$

$0,8p=0,04;$

$p=0,05.$

Тогда вероятность того, что пациент, тест которого оказался положительным, действительно имеет это заболевание есть

$\frac{0,05\cdot 0,86}{0,1}=0,43.$

Ответ: $0,43.$

Переформулируем вопрос задачи:

Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность промаха была бы меньше $0,02$?

При одном  выстреле вероятность промаха  – $0,6$.

При двух выстрелах вероятность промаха – $0,6\cdot 0,4=0,24$ (первый выстрел – промах и второй выстрел – промах).

При трех выстрелах вероятность промаха – $0,6\cdot 0,4\cdot 0,4=0,096.$

При четырех выстрелах вероятность промаха – $0,6\cdot 0,4\cdot 0,4\cdot 0,4=0,0384.$

При пяти выстрелах вероятность промаха – $0,6\cdot 0,4\cdot 0,4\cdot 0,4\cdot 0,4=0,01536.$

Замечаем, что $0,01536<0,02$.

Итак, пяти выстрелов достаточно, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее $0,98.$

Ответ: $5.$

 

К пруду или фонтану Артема выведут пути $SABC,SABD,SAEF,SAEGH.$

Путь $SABC$ или $SABD:$

$0,25\cdot 0,5.$

Путь $SAEF:$

$0,25\cdot 0,5.$

Путь $SAEGH:$

$0,25\cdot 0,5\cdot 0,5.$

Искомая вероятность:

$0,25\cdot 0,5+0,25\cdot 0,5+0,25\cdot 0,5\cdot 0,5=0,25+0,0625=0,3125.$

Ответ: $0,3125.$

Берем кубик. Он обычный (вероятность $\frac{1}{2}$) или необычный (вероятность $\frac{1}{2}$).

На обычном кубике  выпадет $3$ и $5$ с вероятностью $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}.$

На обычном кубике  выпадет $5$ и $3$ с вероятностью $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}.$

На необычном кубике  выпадет $3$ и $5$ с вероятностью $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}.$

На необычном кубике  выпадет $5$ и $3$ с вероятностью $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}.$

В каком-то порядке выпадают $3$ и $5$ очков на первом (обычном) кубике – с вероятностью

$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}.$

В каком-то порядке на каком-то кубике выпадают $3$ и $5$ очков с вероятностью

$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{36}+\frac{1}{9}=\frac{5}{36}.$

Стало быть, вероятность того, что бросали первый кубик, есть

$\frac{\frac{1}{36}}{\frac{5}{36}}=0,2.$

Ответ: $0,2.$

Случай 1 (красный путь на схеме)

Маша в первом яйце встретила старую принцессу, а во втором яйце – новую:

$0,4\cdot 0,6.$

Случай 2 (синий путь на схеме)

Маша в первом яйце встретила старую принцессу, во втором яйце старую, а в третьем – новую:

$0,4\cdot 0,4\cdot 0,6.$

Тогда Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца с вероятностью

$0,4\cdot 0,6+0,4\cdot 0,4\cdot 0,6=0,336.$

Ответ: $0,336.$

Выбираем один синий с вероятностью $\frac{8}{25}$ и один красный с вероятностью $\frac{6}{24}$.

Итого

 $\frac{8}{25}\cdot \frac{6}{24}=\frac{2}{25}.$

Или выбираем один красный с вероятностью $\frac{6}{25}$ и один синий с вероятностью $\frac{8}{24}$.

Итого

$\frac{6}{25}\cdot \frac{8}{24}=\frac{2}{25}.$

Искомая вероятность есть $\frac{2}{25}+\frac{2}{25}=\frac{4}{25}=0,16.$

Ответ: $0,16.$

На схеме помечены красным цветом три варианта выпадения в сумме больше трех очков за два броска.

Искомая вероятность есть

$\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}+\frac{1}{6}\cdot 1=\frac{4+5+6}{36}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\approx 0,42.$

Ответ: $0,42.$

Пусть доля пенсионеров среди мужчин – $p.$

Тогда согласно условию

$0,48p+0,52\cdot 0,15=0,126;$

$0,48p=0,048;$

$p=0,1.$

Ответ: $0,1.$

Сообщение доставлено с первой попытки $0,4$ или со второй $0,6\cdot 0,4.$

То есть вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток, есть $0,4+0,6\cdot 0,4=0,64.$

Ответ: $0,64.$

Вероятность поразить мишень  за 1-й выстрел равна

$0,2.$

Вероятность поразить мишень  за 2 выстрела (то есть цель поражена за 1-й или за 2-й выстрел) равна

$0,2+0,8\cdot 0,2=0,36.$

Вероятность поразить мишень  за 3 выстрела (то есть цель поражена за 1-й или за 2-й выстрел или за 3-й выстрел) равна

$0,2+0,8\cdot 0,2+0,8\cdot 0,8\cdot 0,2=0,488.$

Вероятность поразить мишень  за 4 выстрела равна

$0,2+0,8\cdot 0,2+0,8\cdot 0,8\cdot 0,2+0,8\cdot 0,8\cdot 0,8\cdot 0,2=0,5904.$

Вероятность поразить мишень  за 5 выстрелов равна

$0,2+0,8\cdot 0,2+0,8\cdot 0,8\cdot 0,2+0,8\cdot 0,8\cdot 0,8\cdot 0,2+0,8\cdot 0,8\cdot 0,8\cdot 0,8\cdot 0,2=0,67232>0,6.$

Пяти выстрелов достаточно.

Ответ: $5.$

Возьмем, например, вариант «РРРРРООООО» (5 орлов). Вероятность этого события есть

$(\frac{1}{2})^5\cdot (\frac{1}{2})^5,$

то есть

$(\frac{1}{2})^{10}$

(выпадения орла и выпадение решки – равновероятные события).

Но, наряду с указанным вариантом есть ещё много схожих. Например, «ОРРРРРОООО» или «ОРРОРРРООО»…

Рассчитаем количество подобных вариантов по формуле

$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!\cdot m!}$

$C_{10}^5=\frac{10!}{5!\cdot5!}$

Тогда вероятность выпадения пяти орлов есть

$(\frac{1}{2})^{10}\cdot \frac{10!}{5!\cdot5!}$

Теперь рассматриваем варианты с четырьмя орлами.

Вероятность события, например, «ООООРРРРРР» есть

$(\frac{1}{2})^5\cdot (\frac{1}{2})^5$ или $(\frac{1}{2})^{10}$

Рассчитаем количество вариантов с четырьмя орлами:

$C_{10}^4=\frac{10!}{6!\cdot 4!}$

Тогда вероятность выпадения четырех орлов есть

$(\frac{1}{2})^{10}\cdot \frac{10!}{6!\cdot 4!}$

Наконец, искомое отношение есть:

$\frac{(0,5)^{10}\cdot C_{10}^5}{(0,5)^{10}\cdot C _{10}^4}=\frac{C_{10}^5}{C_{10}^4}=\frac{6!\cdot 4!}{5!\cdot 5!}=1,2$

Ответ: $1,2.$