Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге

2016-08-04

 

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Как же быть с тангенсом и котангенсом? Об этом и поговорим сегодня.

 

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов  (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается  вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: -\sqrt3,;\;-1,\;\frac{-\sqrt3}{3},\;0,\;\frac{\sqrt3}{3},\;1,\;\sqrt3. Почему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. :) Можно по-разному  рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha} и ctg\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}.

 

Изучаем картинку:

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если  не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить tg \:300^{\circ}

Решение:

Находим на круге 300^{\circ}. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что tg \:300^{\circ}=-\sqrt3.

Ответ: -\sqrt3.

Пример 2.

Вычислить tg \:90^{\circ}

Решение:

Находим на круге 90^{\circ}. Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

tg \:90^{\circ} не существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить tg\:\frac{11\pi}{4}

Решение:

\frac{11\pi}{4}=\frac{12\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=3\pi-\frac{\pi}{4}.

Находим на круге точку 3\pi (это та же точка, что и \pi) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем \frac{\pi}{4} (45^{\circ}). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как 135^{\circ}.  Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение -1.

Так значит, tg\:\frac{11\pi}{4}=-1.

Ответ: -1.

Пример 4.

Вычислить ctg\:840^{\circ}

Решение:

840^{\circ}=2\cdot 360^{\circ}+120^{\circ}.

Поэтому от точки 0^{\circ}  (именно там будет 2\cdot 360^{\circ}) откладываем против часовой стрелки 120^{\circ}.

Выходим на ось котангенсов, получаем, что ctg\:840^{\circ}=-\frac{\sqrt3}{3}.

Ответ: -\frac{\sqrt3}{3}.

Пример 5.

Вычислить ctg\:270^{\circ}

Решение:

Находим на круге 270^{\circ}. Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что ctg\:270^{\circ}=0.

Ответ:  0.

Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройти тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Печать страницы
Комментариев: 4
  1. Евгений

    В примере 4 вы пишите, что ctg840=-корень из 3/3, но в ответе упустили минус.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Евгений, спасибо большое за замеченную опечатку.

      [ Ответить ]
  2. ZAKRITO

    В примере под номером 2 допущена ошибка в решении: Находим на круге 90^{\circ}. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось –>котангенсов<–. Возможно Вы имели ввиду ось тангенсов?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, конечно, имелась ввиду ось котангенсов. Подправила. Спасибо!

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif