Задача 1. Найдите точку максимума функции 
Решение: + показать


В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

В точке
возрастание сменяется убыванием, значит
– точка максимума.
Ответ:
Задача 2. Найдите точку минимума функции 
Решение: + показать

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

В точке
убывание сменяется возрастанием, значит
– точка минимума.
Ответ:
Задача 3. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
Решение: + показать

или 
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем интересует только поведение функции на отрезке
:

Наименьшее значение функции в данном случае* (см. замечание внизу стр.) совпадает с минимумом функции в точке
.

Ответ:
Задача 4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке ![Rendered by QuickLaTeX.com [2;6].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d59bed9ed18d9600a1e2a781639ea131_l3.svg)
Решение: + показать

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем нас интересует только поведение функции на отрезке
:

Наибольшее значение функции в данном случае* (см. замечание внизу стр.) совпадает с максимумом функции в точке
.

Ответ:
Задача 5. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке ![Rendered by QuickLaTeX.com [-4;-1].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7bf5de38be8a9cfb38915468b17d1ae3_l3.svg)
Решение: + показать

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем нас интересует только поведение функции на отрезке
:

Наибольшее значение функции в данном случае* (см. замечание внизу стр.) совпадает с максимумом функции в точке
.

Ответ:
Задача 6. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке ![Rendered by QuickLaTeX.com [-1;8].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8e12dc4a1137d7f4258c2d8e0fc0e9e_l3.svg)
Решение: + показать


Наибольшее значение на отрезке
функция принимает в левом конце отрезка, в точке 

Ответ:
Задача 7. Найдите точку максимума функции 
Решение: + показать


В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Тогда точка
– точка максимума функции.
Ответ:
Задача 8. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке ![Rendered by QuickLaTeX.com [1;9].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1791b3f87304c8760f1609cd801d2837_l3.svg)
Решение: + показать

при 

На указанном отрезке функция возрастает, тогда наибольшее значение будет достигнуто в точке 

Ответ:
Задача 9. Найдите точку минимума функции
.
Решение: + показать
Нам предстоит находить производную частного:
.



В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Стало быть,
– точка минимума.
Ответ: 
Задача 10. Найдите наименьшее значение функции
на ![Rendered by QuickLaTeX.com [3;40].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0895761cafa761fe4a9bcdc2b4721860_l3.svg)
Решение: + показать


В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем нас интересует только поведение функции на отрезке
:

Наименьшее значение функции в данном случае* (см. замечание внизу статьи) совпадает с минимумом функции (в точке
).

Ответ: 
Задача 11. Найдите точку максимума функции 
Решение: + показать

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:
Точка максимума – это 
Ответ: 
Задача 12. Найдите точку минимума функции 
Решение: + показать




или 
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Точка минимума –
.
Ответ:
Задача 13. Найдите точку максимума функции 
Решение: + показать




В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Точка максимума:
.
Ответ:
Задача 14. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
Решение: + показать


или 
В соответствии со знаками производной указываем поведение функции. Причем нас интересует только отрезок ![Rendered by QuickLaTeX.com [4;6].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5414549feddde784c92917804d99513_l3.svg)

Наименьшее значение функции на отрезке
совпадает* с минимумом функции в точке
:

Ответ:
Задача 15. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке ![Rendered by QuickLaTeX.com [-3,5;0].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66cd0ad05732147d74adffa423c3eeb5_l3.svg)
Решение: + показать


На отрезке
мы увидим следующие знаки производной, и, соответственно, следующее поведение функции:

Наибольшее значение функции на отрезке
совпадает с максимумом функции в точке
:

Ответ:
Задача 16. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке ![Rendered by QuickLaTeX.com [\frac{1}{12};\frac{5}{12}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5689420acc8a4418a1f3b01ebf377423_l3.svg)
Решение: + показать

На отрезке
мы увидим следующие знаки производной, и, соответственно, следующее поведение функции:

Наименьшее значение функции на отрезке
совпадает с максимумом функции в точке
:

Ответ:
Задача 17. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке ![Rendered by QuickLaTeX.com [\frac{3}{4};\frac{5}{4}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-58d443491effb2c2bb255c77d230a47f_l3.svg)
Решение: + показать

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции. Причем нас интересует только отрезок ![Rendered by QuickLaTeX.com [\frac{3}{4};\frac{5}{4}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-58d443491effb2c2bb255c77d230a47f_l3.svg)

Наименьшее значение функции на отрезке
совпадает с минимумом функции в точке
:

Ответ:
Задача 18. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
Решение: + показать

в случае
, то есть при 
Заметим, 

Очевидно,
– точка минимума. В ней и будет достигаться наименьшее значение функции.

Ответ:
Задача 19. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке ![Rendered by QuickLaTeX.com [0;\frac{\pi}{2}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a64c0b4dfa0d3b7b21ade3e0a49758cb_l3.svg)
Решение: + показать


На отрезке
мы видим следующее распределение знаков производной (для определения знака можно взять, например, значение
из первого образовавшегося промежутка
и проверить знак
):

При переходе через точку экстремума (
) знак производной сменится.
То есть, точка
– точка максимума. В ней и достигается наибольшее значение функции на отрезке.

Ответ:
Задача 20. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке ![Rendered by QuickLaTeX.com [-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d5153120e9470585eb094ff689183996_l3.svg)
Решение: + показать



Замечаем, что функция определена на отрезке
Замечаем также, что в точке
производная функции имеет знак минус, – действительно,
При переходе через точки экстремума (
) знак производной меняется.

Становится видно, что
– точка максимума, точка
– точка минимума.
Для нахождения наименьшего значения функции на указанном отрезке следует взять меньшее из





То есть наименьшее значение функции на указанном отрезке – 
Ответ:
Задача 21. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
.
Решение: + показать

Так как
,
то
.
То есть
при любом
Функция возрастает на
на указанном отрезке в том числе.
То есть наибольшее значение будет достигнуто в точке
(правом конце отрезка).

Ответ:
Задача 22. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке ![Rendered by QuickLaTeX.com [-\frac{2\pi}{3};0].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-624795352adca2127b00509411dc5393_l3.svg)
Решение: + показать
Задача 23. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке ![Rendered by QuickLaTeX.com [0;\frac{\pi}{4}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ed624de3bc57b827f24a09eccfbfc61e_l3.svg)
Решение: + показать

Производная неотрицательна, на указанном отрезке в том числе, заданная функция возрастает на нем, поэтому наименьшее значение достигается функцией в левом конце отрезка, в точке 

Ответ:
Задача 24. Найдите точку минимума функции
принадлежащую промежутку
.
Решение: + показать


На промежутке
производная имеет один ноль – в точке 

Заметим, например,
.
Становится видно, что при переходе через точку
производная меняет знак с
на
. Стало быть,
– точка минимума.
Ответ:
* Замечание. Важно!
Не следует считать (могло сложиться такое мнение при разборе примеров выше), что наименьшее (наибольшее) значение функции на отрезке совпадает с минимумом (максимумом) на отрезке!
Например, на рисунке ниже наименьшее значение функции на отрезке
достигается на конце отрезка
, а именно, в точке
.

То есть, вообще говоря, при нахождении наименьшего значения функции на отрезке
следует выбрать наименьшую из величин:
1)
(их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка ![Rendered by QuickLaTeX.com [a;b]](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cddc5e18a51f30654ad292ef9fe76d2c_l3.svg)
2)
, 
При нахождении наибольшего значения функции на отрезке
следует выбрать большую из величин:
1)
(их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка ![Rendered by QuickLaTeX.com [a;b]](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cddc5e18a51f30654ad292ef9fe76d2c_l3.svg)
2)
, 
Но, если, например, на рассматриваемом отрезке функция имеет только один экстремум – минимум и мы ищем наименьшее значение, то отпадает необходимость находить значения функции на концах отрезка.
Аналогично в случае с нахождением наибольшего значения функции на отрезке, на котором содержится только один экстремум – максимум.
В случае же, когда на отрезке рассматриваемом функция не имеет экстремумов, то для нахождения наибольшего/наименьшего значений требуется лишь сравнить эти самые значения функции на концах отрезка и взять наибольшее/наименьшее из них.

Вы можете пройти тест “Исследование функции при помощи производной”
Здравствуйте,Елена Юрьевна!На одном из сайтов увидела задание:
Найдите точку минимума функции:y=(9-x)e^x+9.После преобразований производная получилась:(8-х)е^x+9.Не могли бы вы объяснить как получилось (8-х).Ведь я считала и получалось (10-х)
Это изменение как-то связано с тем что производная от (9-х)=-1?????
Большое спасибо!С наступающим!
Спасибо! за подборку интересных заданий и разбор решений! Очень полезно!
:)
Нашел ошибку в задании 8.Вы нашли точку минимума, точка максимума равна 0.
Павел, ошибки нет. Я нашла именно точку максимума! Если у вас послезавтра экзамен, то вам срочно следует разобраться в этом вопросе)))
я пошел против часовой стрелки… все ясно
2 задание с ошибкой. Неправильно показано поведение функции. Даже если подставить экстремумы, получим -(((-5)^2+25)/-5)=10, -(((5)^2+25)\5)=-10 -10 5-точка минимума, а не -5 ….Ну если я сам, конечно, не накосячил ).
эм…я сам случайно стер или сайт блочит некоторые символы, имелось в виду -10 меньше 10, где -10-значение функции с аргументом x=5,а 10-значение с х=-5.
Ошибки в моих рассуждениях нет! Косяк – не мой. Ищите у себя ошибку.
Возможно, вы потеряли минус…