24 Дек 2013

Категория: 12 Исследование функции

Задания №12. Исследование функции

Елена Репина 2013-12-24 2016-06-12

Продолжение (начало здесь).

В заданиях №12 ЕГЭ по математике Вам предстоит производить элементарное исследование функции. Вы должны уметь находить точки экстремумов, экстремумы, наибольшие и наименьшие значения функций.

Задание 1.

Найдите наименьшее значение функции $y=x^3-15x^2+19$ на отрезке $[5;15]$ .

Решение: + показать

Задание 2.

Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x^2+25}{x}$ .

Решение: + показать

Задание 3.

Найдите наименьшее значение функции $y=\frac{x^2+900}{x}$ на $[3;40].$

Решение: + показать

Задание 4.

Найдите точку максимума функции $y=6+12x-2x^{\frac{3}{2}}.$

Решение: + показать

Задание 5.

Найдите точку минимума функции $y=(3x^2-15x+15)e^{x-15}.$

Решение: + показать

Задание 6.

Найдите наименьшее значение функции $y=(x-3)^2(x-6)-1$ на отрезке $[4;6]$ .

Решение: + показать

Задание 7.

Найдите наибольшее значение функции $y=ln(x+4)^9-9x$ на отрезке $[-3,5;0].$

Решение: + показать

Задание 8.

Найдите наибольшее значение функции $y=12\sqrt{2}cosx+12x-3\pi+9$ на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}].$

Решение: + показать

Задание 9.

Найдите наименьшее значение функции $y=-4x+2tgx+\pi+16$ на отрезке $[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}].$

Решение: + показать

Задание 10.

Найдите наибольшее значение функции $y=9cosx+15x-4$ на отрезке $[-\frac{3\pi}{2};0]$ .

Решение: + показать

Задание 11.

Найдите точку минимума функции $y=(3-2x)cosx+2sinx+19,$ принадлежащую промежутку $(0;\frac{\pi}{2})$ .

Решение: + показать

Задание 12.

Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-11e^x-1$ на отрезке $[-1;2]$ .

Решение: + показать

* Замечание. Важно!

Не следует считать (могло сложиться такое мнение при разборе примеров выше), что наименьшее (наибольшее) значение функции на отрезке совпадает с минимумом (максимумом) на отрезке!

Например, на рисунке ниже наименьшее значение функции на отрезке $[a;b]$ достигается на конце отрезка $[a;b]$ , а именно, в точке $x=b$ .

То есть, вообще говоря, при нахождении наименьшего значения функции на отрезке $[a;b]$ следует выбрать наименьшую из величин:

1) $y(x_{min})$ (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка $[a;b]$

2) $y(a)$ , $y(b).$

При нахождении наибольшего значения функции на отрезке $[a;b]$ следует выбрать большую из величин:

1) $y(x_{max})$ (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка $[a;b]$

2) $y(a)$ , $y(b).$

Но, если, например, на рассматриваемом отрезке функция имеет только один экстремум – минимум и мы ищем наименьшее значение, то отпадает необходимость находить значения функции на концах отрезка.

Аналогично в случае с нахождением наибольшего значения функции на отрезке, на котором содержится только один экстремум – максимум.

В случае же, когда на отрезке рассматриваемом функция не имеет экстремумов, то для нахождения наибольшего/наименьшего значений требуется лишь сравнить эти самые значения функции на концах отрезка и взять наибольшее/наименьшее из них.

коло

Переменка! Отдохните… + показать

тест

Вы можете пройти тест №2 по Задачам №12.

Автор: egeMax | комментариев 36

Печать страницы

комментариев 36

← Предыдущие комментарии

Новичок

2015-12-30 в 20:29

Здравствуйте,Елена Юрьевна!На одном из сайтов увидела задание:
Найдите точку минимума функции:y=(9-x)e^x+9.После преобразований производная получилась:(8-х)е^x+9.Не могли бы вы объяснить как получилось (8-х).Ведь я считала и получалось (10-х)

[ Ответить ]
- Новичок
  
  2015-12-30 в 20:32
  
  Это изменение как-то связано с тем что производная от (9-х)=-1?????
  
  [ Ответить ]
  - egeMax
    
    2015-12-30 в 20:41
    
    $(9-x)'=9'-x'=0-1=-1.$
    
    [ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-12-30 в 20:37
  
  $((9-x)e^x+9)'=((9-x)e^x)'+9'=$
  $=(9-x)'e^x+(9-x)(e^x)'=-1\cdot e^x+(9-x)e^x=$
  $=e^x(-1+9-x)=(8-x)e^x.$
  
  [ Ответить ]
  - Новичок
    
    2015-12-31 в 11:35
    
    Большое спасибо!С наступающим!
    
    [ Ответить ]
Наталья

2016-03-13 в 16:46

Спасибо! за подборку интересных заданий и разбор решений! Очень полезно!

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-03-13 в 16:53
  
  🙂
  
  [ Ответить ]
Павел

2016-06-04 в 13:24

Нашел ошибку в задании 8.Вы нашли точку минимума, точка максимума равна 0.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-06-04 в 14:25
  
  Павел, ошибки нет. Я нашла именно точку максимума! Если у вас послезавтра экзамен, то вам срочно следует разобраться в этом вопросе)))
  
  [ Ответить ]
  - Павел
    
    2016-06-04 в 14:57
    
    я пошел против часовой стрелки… все ясно
    
    [ Ответить ]
NoName

2016-06-05 в 08:06

2 задание с ошибкой. Неправильно показано поведение функции. Даже если подставить экстремумы, получим -(((-5)^2+25)/-5)=10, -(((5)^2+25)\5)=-10 -10 5-точка минимума, а не -5 ….Ну если я сам, конечно, не накосячил ).

[ Ответить ]
- NoName
  
  2016-06-05 в 08:11
  
  эм…я сам случайно стер или сайт блочит некоторые символы, имелось в виду -10 меньше 10, где -10-значение функции с аргументом x=5,а 10-значение с х=-5.
  
  [ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-06-05 в 10:29
  
  Ошибки в моих рассуждениях нет! Косяк – не мой. Ищите у себя ошибку.
  Возможно, вы потеряли минус…
  
  [ Ответить ]