11. Исследование функции

2023-12-21


Задача 1. Найдите точку максимума функции $y=x^3-108x+11.$

Решение: + показать


Задача 2. Найдите точку минимума функции $y=21x^2-x^3+17.$

Решение: + показать


Задача 3. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции $y=x^3-15x^2+19$ на от­рез­ке $[5;15]$.

Решение: + показать


Задача 4. Найдите наибольшее значение функции  $y=2+9x-\frac{x^3}{3}$ на отрезке $[2;6].$

Решение: + показать


Задача 5. Найдите наибольшее значение функции $y=3x^5-20x^3-54$ на отрезке $[-4;-1].$

Решение: + показать


Задача 6. Найдите наибольшее значение функции $y=-3x^5-6x^3+14$  на отрезке $[-1;8].$

Решение: + показать


Задача 7. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции $y=6+12x-2x^{\frac{3}{2}}.$

Решение: + показать


Задача 8. Найдите наибольшее значение функции $y=-\frac{2}{3}x\sqrt x+3x+8$ на отрезке $[1;9].$

Решение: + показать


Задача 9. Най­ди­те точку минимума функ­ции $y=-\frac{x^2+25}{x}$.

Решение: + показать


Задача 10. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции $y=\frac{x^2+900}{x}$ на $[3;40].$

 Решение: + показать


Задача 11. Найдите точку максимума функции $y=\frac{441}{x}+x+18.$

Решение: + показать


Задача 12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции $y=(3x^2-15x+15)e^{x-15}.$

Решение: + показать


Задача 13. Найдите точку максимума функции $y=(x+11)^2\cdot e^{3-x}.$

Решение: + показать


Задача 14. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции $y=(x-3)^2(x-6)-1$ на  отрезке $[4;6]$.

Решение: + показать


Задача 15. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции $y=ln(x+4)^9-9x$  на от­рез­ке $[-3,5;0].$

Решение: + показать


Задача 16. Найдите наименьшее значение функции $y=6x-ln(6x)+17$  на отрезке $[\frac{1}{12};\frac{5}{12}].$

Решение: + показать


Задача 17.  Найдите наименьшее значение функции $y=2x^2-3x-lnx+13$ на отрезке $[\frac{3}{4};\frac{5}{4}].$

Решение: + показать


Задача 18. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции $y=e^{2x}-11e^x-1$  на от­рез­ке $[-1;2]$.

Решение: + показать


Задача 19. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции $y=12\sqrt{2}cosx+12x-3\pi+9$  на от­рез­ке $[0;\frac{\pi}{2}].$

Решение: + показать


Задача 20. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции $y=-4x+2tgx+\pi+16$ на от­рез­ке $[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}].$

Решение: + показать


Задача 21. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции $y=9cosx+15x-4$  на от­рез­ке $[-\frac{3\pi}{2};0]$ .

Решение: + показать


Задача 22.  Найдите наименьшее значение функции $y=4cosx+\frac{15}{\pi}x+9$  на отрезке $[-\frac{2\pi}{3};0].$

Решение: + показать


Задача 23.  Найдите наименьшее значение функции $y=5tgx-5x+6$  на отрезке $[0;\frac{\pi}{4}].$

Решение: + показать


Задача 24. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции $y=(3-2x)cosx+2sinx+19,$ при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку $(0;\frac{\pi}{2})$.

Решение: + показать


Задача 25. Найдите точку минимума функции $y=(x^3-x^2+x-1)^2.$

Решение: + показать


* Замечание. Важно!  

Не следует считать (могло сложиться такое мнение при разборе примеров выше), что наименьшее (наибольшее) значение функции на отрезке совпадает с минимумом (максимумом) на отрезке!

Например, на рисунке ниже наименьшее значение функции  на отрезке $[a;b]$ достигается на конце отрезка $[a;b]$, а именно, в точке $x=b$.

hj


То есть, вообще говоря, при нахождении наименьшего значения функции на отрезке $[a;b]$ следует выбрать наименьшую из величин:

1) $y(x_{min})$ (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка $[a;b]$

2) $y(a)$,  $y(b).$


При нахождении наибольшего значения функции на отрезке $[a;b]$ следует выбрать большую из величин:

1) $y(x_{max})$ (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка $[a;b]$

2) $y(a)$,  $y(b).$


Но, если, например, на рассматриваемом отрезке функция имеет только один экстремум – минимум и мы ищем наименьшее значение, то отпадает необходимость находить значения функции на концах отрезка.

Аналогично в случае с нахождением наибольшего значения функции на отрезке, на котором содержится только один экстремум – максимум.


В случае же, когда на отрезке рассматриваемом функция не имеет экстремумов, то для нахождения наибольшего/наименьшего значений требуется лишь сравнить эти самые значения функции на концах отрезка и взять наибольшее/наименьшее из них.


тест

Вы можете пройти тест  “Исследование функции при помощи производной”

Печать страницы
комментариев 36
  1. Новичок

    Здравствуйте,Елена Юрьевна!На одном из сайтов увидела задание:
    Найдите точку минимума функции:y=(9-x)e^x+9.После преобразований производная получилась:(8-х)е^x+9.Не могли бы вы объяснить как получилось (8-х).Ведь я считала и получалось (10-х)

    [ Ответить ]
    • Новичок

      Это изменение как-то связано с тем что производная от (9-х)=-1?????

      [ Ответить ]
      • egeMax

        [latexpage]$(9-x)’=9′-x’=0-1=-1.$

        [ Ответить ]
    • egeMax

      [latexpage]$((9-x)e^x+9)’=((9-x)e^x)’+9’=$
      $=(9-x)’e^x+(9-x)(e^x)’=-1\cdot e^x+(9-x)e^x=$
      $=e^x(-1+9-x)=(8-x)e^x.$

      [ Ответить ]
      • Новичок

        Большое спасибо!С наступающим!

        [ Ответить ]
  2. Наталья

    Спасибо! за подборку интересных заданий и разбор решений! Очень полезно!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      :)

      [ Ответить ]
  3. Павел

    Нашел ошибку в задании 8.Вы нашли точку минимума, точка максимума равна 0.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Павел, ошибки нет. Я нашла именно точку максимума! Если у вас послезавтра экзамен, то вам срочно следует разобраться в этом вопросе)))

      [ Ответить ]
      • Павел

        я пошел против часовой стрелки… все ясно

        [ Ответить ]
  4. NoName

    2 задание с ошибкой. Неправильно показано поведение функции. Даже если подставить экстремумы, получим -(((-5)^2+25)/-5)=10, -(((5)^2+25)\5)=-10 -10 5-точка минимума, а не -5 ….Ну если я сам, конечно, не накосячил ).

    [ Ответить ]
    • NoName

      эм…я сам случайно стер или сайт блочит некоторые символы, имелось в виду -10 меньше 10, где -10-значение функции с аргументом x=5,а 10-значение с х=-5.

      [ Ответить ]
    • egeMax

      Ошибки в моих рассуждениях нет! Косяк – не мой. Ищите у себя ошибку.
      Возможно, вы потеряли минус…

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




20 − 16 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif