11. Исследование функции

$y’=3x^2-108=3(x^2-36)=3(x-6)(x+6).$

$y’=0\;\Leftrightarrow \;x=\pm 6.$

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

В точке $-6$ возрастание сменяется убыванием, значит $-6$ – точка максимума.

Ответ: $-6.$

$y’=42x-3x^2=3x(14-x).$

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

В точке $0$ убывание сменяется возрастанием, значит $0$ – точка минимума.

Ответ: $0.$

$y’=3x^2-30x=3x(x-10).$

$y’=0\;\Leftrightarrow \;x=0$ или $x=10.$

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем интересует только поведение функции на отрезке $[5;15]$:

Наименьшее значение функции в данном случае* (см. замечание внизу стр.) совпадает с минимумом функции в точке $x=10$.

$y(10)=10^3-15\cdot 10^2+19=-481.$

Ответ: $-481.$

$y=9-x^2=(3-x)(3+x).$

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем нас интересует только поведение функции на отрезке $[2;6]$:

Наибольшее значение функции в данном случае* (см. замечание внизу стр.) совпадает с максимумом функции в точке $x=3$.

$y(3)=2+9\cdot 3-\frac{3^3}{3}=20.$

Ответ: $20.$

$y’=15x^4-60x^2=15x^2(x^2-4)=15x^2(x-2)(x+2).$

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем нас интересует только поведение функции на отрезке $[-4;-1]$:

Наибольшее значение функции в данном случае* (см. замечание внизу стр.) совпадает с максимумом функции в точке $x=-2$.

$y(-2)=3\cdot (-32)-20\cdot (-8)-54=10.$

Ответ: $10.$

$y’=-15x^4-18x^2=-3x^2(5x^2+6).$

Наибольшее значение на отрезке $[-1;8]$ функция принимает в левом конце отрезка, в точке $-1.$

$y(-1)=3+6+14=23.$

Ответ: $23.$

$y’=12-2\cdot \frac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}-1}=12-3x^{\frac{1}{2}}=12-3\sqrt x.$

$y’=0\;\Leftrightarrow \;x=16.$

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Тогда точка $x=16$ – точка максимума функции.

Ответ: $16.$

$y’=(-\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}+3x+8)’=-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}+3=3-\sqrt x.$

$y’=0$ при $x=9.$

На указанном отрезке функция возрастает, тогда наибольшее значение будет достигнуто в точке  $x=9.$

$y(9)=-18+27+8=17$

Ответ: $17.$

Нам предстоит находить производную частного:

$\color{red}(\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2}$.

$y’=(-\frac{x^2+25}{x})’=-\frac{(x^2+25)’\cdot x-(x^2+25)\cdot x’}{x^2}=-\frac{2x^2-x^2-25}{x^2}=$

$=-\frac{x^2-25}{x^2}=-\frac{(x-5)(x+5)}{x^2}.$

$y’=0\;\Leftrightarrow \;x=\pm 5.$

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Стало быть, $x=-5$ – точка минимума.

Ответ: $-5.$

$y’=\frac{(x^2+900)’\cdot x-(x^2+900)\cdot x’}{x^2}=\frac{2x^2-x^2-900}{x^2}=\frac{x^2-900}{x^2}=\frac{(x-30)(x+30)}{x^2}.$

$y’=0\;\Leftrightarrow \;x=\pm 30.$

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем нас интересует только поведение функции на отрезке $[3;40]$:

Наименьшее значение функции в данном случае* (см. замечание внизу статьи) совпадает с минимумом функции (в точке $x=30$).

$y(30)=\frac{30^2+900}{30}=60.$

Ответ: $60.$

$y’=-\frac{441}{x^2}+1=\frac{x^2-441}{x^2}=\frac{(x-21)(x+21)}{x^2}.$

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Точка максимума – это $x=-21.$

Ответ: $-21.$

$\color{red}(uv)’=u’v+uv’$

$y’=(3x^2-15x+15)’e^{x-15}+(3x^2-15x+15)(e^{x-15})’=$

$=(6x-15)e^{x-15}+(3x^2-15x+15)e^{x-15}=e^{x-15}(6x-15+3x^2-15x+15)=$

$=e^{x-15}(3x^2-9x)=3e^{x-15}x(x-3).$

$y’=0\;\Leftrightarrow \;x=0$ или $x=3.$

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Точка минимума – $x=3$.

Ответ: $3.$

$\color{red}(uv)’=u’v+uv’$

$y’=((x+11)^2)’\cdot e^{3-x}+(x+11)^2\cdot (e^{3-x})’=$

$=2(x+11)\cdot e^{3-x}+(x+11)^2\cdot e^{3-x}\cdot (-1)=$

$=e^{3-x}(x+11)(2-x-11)=-e^{3-x}(x+11)(x+9).$

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Точка максимума:

$x=-9$.

Ответ: $-9.$

$y’=((x-3)^2)'(x-6)+(x-3)^2(x-6)’=2(x-3)(x-6)+(x-3)^2=$

$=(x-3)(2(x-6)+(x-3))=(x-3)(3x-15).$

$y’=0\;\Leftrightarrow \;x=3$ или $x=5.$

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции. Причем нас интересует только отрезок $[4;6].$

Наименьшее значение функции на отрезке $[4;6]$ совпадает* с минимумом функции в точке $x=5$:

$y(5)=(5-3)^2(5-6)-1=-5.$

Ответ: $-5.$

$y’=(9ln(x+4)-9x)’=\frac{9}{x+4}-9.$

$y’=0\;\Leftrightarrow \;\frac{9}{x+4}-9=0\;\Leftrightarrow \;\frac{9-9x-36}{x+4}=0\;\Leftrightarrow \;x=-3.$

На отрезке $[-3,5;0]$ мы увидим  следующие знаки производной, и, соответственно,  следующее поведение функции:

Наибольшее значение функции на отрезке $[-3,5;0]$ совпадает с максимумом функции в точке $x=-3$:

$y(-3)=ln(-3+4)^9-9\cdot (-3)=27.$

Ответ: $27.$

$y’=-12\sqrt{2}sinx+12.$

$y’=0\;\Leftrightarrow \;-12\sqrt{2}sinx+12=0\;\Leftrightarrow \;sinx=\frac{\sqrt2}{2}.$

На отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$ мы видим  следующее распределение знаков производной (для определения знака можно взять, например, значение $x=\frac{\pi}{6}$ из первого образовавшегося промежутка  $[0;\frac{\pi}{4})$ и проверить знак $y'(\frac{\pi}{6})= -12\sqrt{2}sin\frac{\pi}{6}+12=6>0$):

При переходе через точку экстремума ($x=\frac{\pi}{4}$) знак производной сменится.

То есть, точка $\frac{\pi}{4}$ – точка максимума. В ней и достигается наибольшее значение функции на отрезке.

$y(\frac{\pi}{4})=12\sqrt{2}cos\frac{\pi}{4}+12\cdot \frac{\pi}{4}-3\pi+9=12+3\pi-3\pi+9=21.$

Ответ: $21.$

$y’=-4+\frac{2}{cos^2x}.$

$y’=0\;\Leftrightarrow \;\frac{-4cos^2x+2}{cos^2x}=0\;\Leftrightarrow \;\frac{(cosx-\frac{\sqrt2}{2})(cosx+\frac{\sqrt2}{2})}{cos^2x}=0\;\Leftrightarrow \;$

$\;\Leftrightarrow \;cosx=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$

Замечаем, что функция  определена на отрезке $[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}].$ Замечаем также, что в точке $x=0$ производная  функции имеет знак минус,  – действительно, $y'(0)=-4+\frac{2}{cos^20}=-4+\frac{2}{1}=-2<0.$ При переходе через точки экстремума ($x=\pm \frac{\pi}{4}$) знак производной меняется.

Становится видно, что $x=-\frac{\pi}{4}$ – точка максимума, точка $x=\frac{\pi}{4}$ –  точка минимума.

Для нахождения наименьшего значения функции на указанном отрезке следует взять меньшее из

$y(-\frac{\pi}{3}),\;y(\frac{\pi}{4}).$

$y(-\frac{\pi}{4})=-4\cdot \frac{\pi}{4}+2tg\frac{\pi}{4}+\pi+16=18;$

$y(-\frac{\pi}{3})=-4\cdot (-\frac{\pi}{3})+2tg(-\frac{\pi}{3})+\pi+16=\frac{7\pi}{3}+16-2\sqrt3>23-2\sqrt3>18;$

$y(-\frac{\pi}{3})>y(\frac{\pi}{4}).$

То есть наименьшее значение функции на указанном отрезке – $18.$

Ответ: $18.$ 

$y’=-9sinx+15.$

Так как

$-9\leq -9sinx\leq 9$,

то

$6\leq-9sinx+15\leq 24$.

То есть $y’>0$ при любом $x.$  Функция возрастает на $R,$ на указанном отрезке в том числе.

То есть наибольшее значение будет достигнуто в точке $0$ (правом конце отрезка).

$y(0)=9cos0+15\cdot 0-4=5.$

Ответ: $5.$ 

$y’=-4sinx+\frac{15}{\pi}=-4(sinx+\frac{15}{4\pi}).$

Так как $\frac{15}{4\pi}<\frac{15}{4\cdot 3}=\frac{5}{4}>1,$ то $sinx+\frac{15}{4\pi}>0.$ Таким образом, $y'<0$ при любом $x.$

Функция убывает при любом $x,$ в том числе и на отрезке $[-\frac{2\pi}{3};0].$ Стало быть, достигает своего наименьшего значения на указанном отрезке в правом его конце, в точке $0.$

$y(0)=4\cdot 1+0+9=13.$

Ответ: $13.$ 

$y’=\frac{5}{cos^2x}-5=5(\frac{1}{cos^2x}-1)=\frac{5(1-cos^2x)}{cos^2x}=\frac{5sin^2x}{cos^2x}=5tg^2x\geq 0.$

Производная неотрицательна, на указанном отрезке в том числе, заданная функция возрастает на нем, поэтому наименьшее значение достигается функцией в левом конце отрезка, в точке $0.$

$y(0)=6.$

Ответ: $6.$ 

$y’=(3-2x)’cosx+(3-2x)(cosx)’+(2sinx)’=-2cosx+(3-2x)(-sinx)+$

 $+2cosx=(2x-3)sinx.$

На  промежутке $(0;\frac{\pi}{2})$ производная имеет один ноль  – в точке $\frac{3}{2}.$

Заметим, например,

$y'(\frac{\pi}{6})=(2\cdot \frac{\pi}{6}-3)sin\frac{\pi}{6}<0$.

Становится видно, что при переходе через точку $1,5$ производная меняет знак с $-$ на  $+$. Стало быть, $1,5$ – точка минимума.

Ответ: $1,5.$ 

$y’=2(x^3-x^2+x-1)(x^3-x^2+x-1)’=2(x^3-x^2+x-1)(3x^2-2x+1)=$

2(x^2(x-1)+(x-1))(3x^2-2x+1)=2(x-1)(x^2+1)(3x^2-2x+1).$

Последняя скобка произведения всегда положительна. Производная обращается в точке $x=1.$ Это и есть наша точка минимума, как несложно заметить по знакам производной при переходе через нее.

Ответ: $1.$