Задания №12. Исследование функции

2016-06-12

 
Продолжение (начало здесь).
 
 
В заданиях №12  ЕГЭ по математике Вам предстоит производить элементарное исследование функции. Вы должны уметь находить точки экстремумов, экстремумы, наибольшие и наименьшие значения функций.
 
 

 Задание 1.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=x^3-15x^2+19 на от­рез­ке [5;15].

Решение: + показать

Задание 2.

Най­ди­те точку минимума функ­ции y=-\frac{x^2+25}{x}.

Решение: + показать

Задание 3.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=\frac{x^2+900}{x} на [3;40].

 Решение: + показать

Задание 4.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции y=6+12x-2x^{\frac{3}{2}}.

Решение: + показать

Задание 5.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции y=(3x^2-15x+15)e^{x-15}.

Решение: + показать

Задание 6.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=(x-3)^2(x-6)-1 на  отрезке [4;6].

Решение: + показать

Задание 7.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y=ln(x+4)^9-9x  на от­рез­ке [-3,5;0].

Решение: + показать

Задание 8.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y=12\sqrt{2}cosx+12x-3\pi+9  на от­рез­ке [0;\frac{\pi}{2}].

Решение: + показать

Задание 9.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=-4x+2tgx+\pi+16 на от­рез­ке [-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}].

Решение: + показать

Задание 10.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y=9cosx+15x-4  на от­рез­ке [-\frac{3\pi}{2};0] .

Решение: + показать

Задание 11.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции y=(3-2x)cosx+2sinx+19, при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку (0;\frac{\pi}{2}).

Решение: + показать

Задание 12.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=e^{2x}-11e^x-1  на от­рез­ке [-1;2].

Решение: + показать

* Замечание. Важно!

Не следует считать (могло сложиться такое мнение при разборе примеров выше), что наименьшее (наибольшее) значение функции на отрезке совпадает с минимумом (максимумом) на отрезке!

Например, на рисунке ниже наименьшее значение функции  на отрезке [a;b] достигается на конце отрезка [a;b], а именно, в точке x=b.

То есть, вообще говоря, при нахождении наименьшего значения функции на отрезке [a;b] следует выбрать наименьшую из величин:

1) y(x_{min}) (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка [a;b]

2) y(a),  y(b).

При нахождении наибольшего значения функции на отрезке [a;b] следует выбрать большую из величин:

1) y(x_{max}) (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка [a;b]

2) y(a),  y(b).

Но, если, например, на рассматриваемом отрезке функция имеет только один экстремум – минимум и мы ищем наименьшее значение, то отпадает необходимость находить значения функции на концах отрезка.

Аналогично в случае с нахождением наибольшего значения функции на отрезке, на котором содержится только один экстремум – максимум.

В случае же, когда на отрезке рассматриваемом функция не имеет экстремумов, то для нахождения наибольшего/наименьшего значений требуется лишь сравнить эти самые значения функции на концах отрезка и взять наибольшее/наименьшее из них.

 

Переменка! Отдохните… + показать

 

Вы можете пройти тест №2 по Задачам №12.

 

Печать страницы
Комментариев: 36
  1. Анатолий Шевелев

    По В15 у тебя 2 статьи, почему бы их не связать как-нибудь? Например ссылку на вторую статью здесь оставить :)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      :!:
      Спасибо

      [ Ответить ]
  2. КАИ

    Отличный сайт для подготовки. Огромное спасибо за Вашу работу.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Удачи!

      [ Ответить ]
  3. Евгений

    нашел ошибку в задании 2. Требуется найти т.максимума в ответе записана точка минимума.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Спасибо, подправила.

      [ Ответить ]
  4. Катя

    Отличная статья, очень просто и понятно! Огромное спасибо))

    [ Ответить ]
  5. Кристина

    Елена Юрьевна, здравствуйте! Просмотрела всю статью, но не смогла найти задания такого типа” Найти наименьшее значение функции у=х^2+сosпх на [-3,5;-2].” Учитывая,что косинус может изменяться в пределах от -1 до 1, то это слагаемое-добавок к квадратичной функции у=х^2. Чтобы получить наименьшее значение функции, необходимо, чтобы добавок был равен -1, тогда в вершине параболы наименьшее значение функции будет равно -1. А на промежутке от -бесконечности до 0 функция убывает, значит, наименьшее значение функции будет достигаться при -2, т. е. надо найти у(-2). Елена Юрьевна, что неверного в моих рассуждениях?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      y'=2x-\pi sin\pi x.
      При -3,5\leq x\leq -2 имеем:
      -7\leq 2x\leq -4, при этом -\pi \leq -\pi sin\pi x\leq \pi.
      Тогда -7-\pi \leq 2x-\pi sin\pi x\leq -4+\pi.
      Видим, что y'<0 на [-3,5;-2], то есть y убывает на [-3,5;-2].
      А значит, наименьшее значение достигается в правом конце отрезка, то есть в точке -2.
      Итак, y_{naimenshee}=y(-2)=4+cos(-2\pi)=5.
      Кристина, спасибо за интересное задание!

      [ Ответить ]
  6. Кристина

    Елена Юрьевна,там знак “+” должен быть, у меня получилось у(-2)=5, а в ответах -1.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да-да…

      [ Ответить ]
  7. Кристина

    Нет “5” в ответе!!!))),куда же я смотрела?(( Елена Юрьевна,спасибо за помощь и поддержку! А задания и правда интересные есть, особенно с нахождением тангенса угла между касательными к графику функции.

    [ Ответить ]
  8. Наташа

    Огромное спасибо за Вашу работу!) Все очень доступно и понятно!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      ;)

      [ Ответить ]
  9. Кристина

    Елена Юрьевна, здравствуйте! Снова интересное задание, никак не могу с ним справиться((( Надо найти угловой коэффициент прямой, являющейся общей касательной к графикам функций у=х^2 и у=1/х.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть (x_{01};f(x_{01}))  – точка касания прямой=касательной и графика функции f(x)=x^2, и (x_{02};g(x_{02})) – точка касания прямой=касательной и графика функции g(x)=\frac{1}{x}.
      Тогда y_{k}=2x_{01}(x-x_{01})+x_{01}^2 с одной стороны и y_{k}=-\frac{1}{x_{02}^2}(x-x_{02})+\frac{1}{x_{02}} с другой стороны.
      Тогда имеем систему уравнений:
      \begin{cases} 2x_{01}=-\frac{1}{x_{02}^2},& &-x_{01}^2=\frac{2}{x_{02}};& \end{cases}
      Откуда, если не ошибаюсь, x_{01}=-2, тогда искомый коэффициент – это -4.

      [ Ответить ]
      • Кристина

        А почему второе значение х01=0 не берём?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Откуда оно вылезло? В любом случае, оно постороннее..

          [ Ответить ]
  10. Кристина

    Думаю, что из-за 1 условия системы, я права?

    [ Ответить ]
    • Кристина

      При решении 2 уравнения системы получается 2 значения х01: 0 и -2. Елена Юрьевна, спасибо за помощь!!!

      [ Ответить ]
  11. Сергей

    Здравствуйте, Елена Юрьевна! Наверное, мой вопрос очевидный и глупый, но помогите разобраться…с определением значений функций на отрезках понятно все, а вот не на отрезках не очень. Здесь у Вас в Задании 2 точка минимума на прямой равна -5, и она является ответом. А в похожем задании из пособия по подготовке к ЕГЭ, где надо найти наим. значение функции у=корень из х^2 + 10x +106, от критической точки (она там тоже по совпадению -5) находят значение функции. То есть в ответ не записывают -5, а находят у(-5). Теперь я в замешательстве: когда надо, а когда не надо находить зн.функции от критической точки, и когда ее просто писать в ответ. Простите за такой вопрос – я чего-то просто недопонимаю..(

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Сергей, хорошо, что вы задаетесь этими вопросами сейчас! Многие на экзамен идут так и не понимая разницу между «точка минимума», «минимум», «наименьшее значение»…
      Точка минимума – это «x»! Минимум – это «y» (значение функции в точке минимума)! Не путайте! А наименьшее значение функции на отрезке может совпасть с одним из минимумов на отрезке, а может достигаться на одном из концов рассматриваемого отрезка.
      В вашем примере действительно нужно находить y(-5). Если бы вопрос был такой: «найти точку минимума», то в ответе нужно было бы указать -5.
      Посмотрите внимательно на рисунок, приложенный к статье (в конце).
      Уточняйте, если что непонятно.

      [ Ответить ]
      • Сергей

        Елена Юрьевна, огромное спасибо! Все встало на свои места:)

        [ Ответить ]
  12. Новичок

    Здравствуйте,Елена Юрьевна!На одном из сайтов увидела задание:
    Найдите точку минимума функции:y=(9-x)e^x+9.После преобразований производная получилась:(8-х)е^x+9.Не могли бы вы объяснить как получилось (8-х).Ведь я считала и получалось (10-х)

    [ Ответить ]
    • Новичок

      Это изменение как-то связано с тем что производная от (9-х)=-1?????

      [ Ответить ]
      • egeMax

        (9-x)'=9'-x'=0-1=-1.

        [ Ответить ]
    • egeMax

      ((9-x)e^x+9)'=((9-x)e^x)'+9'=
      =(9-x)'e^x+(9-x)(e^x)'=-1\cdot e^x+(9-x)e^x=
      =e^x(-1+9-x)=(8-x)e^x.

      [ Ответить ]
      • Новичок

        Большое спасибо!С наступающим!

        [ Ответить ]
  13. Наталья

    Спасибо! за подборку интересных заданий и разбор решений! Очень полезно!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      :)

      [ Ответить ]
  14. Павел

    Нашел ошибку в задании 8.Вы нашли точку минимума, точка максимума равна 0.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Павел, ошибки нет. Я нашла именно точку максимума! Если у вас послезавтра экзамен, то вам срочно следует разобраться в этом вопросе)))

      [ Ответить ]
      • Павел

        я пошел против часовой стрелки… все ясно

        [ Ответить ]
  15. NoName

    2 задание с ошибкой. Неправильно показано поведение функции. Даже если подставить экстремумы, получим -(((-5)^2+25)/-5)=10, -(((5)^2+25)\5)=-10 -10 5-точка минимума, а не -5 ….Ну если я сам, конечно, не накосячил ).

    [ Ответить ]
    • NoName

      эм…я сам случайно стер или сайт блочит некоторые символы, имелось в виду -10 меньше 10, где -10-значение функции с аргументом x=5,а 10-значение с х=-5.

      [ Ответить ]
    • egeMax

      Ошибки в моих рассуждениях нет! Косяк – не мой. Ищите у себя ошибку.
      Возможно, вы потеряли минус…

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif