Задание 19 Пробник 14.12.2023

В кошельке у Коли было $n$ монет достоинством $2, 5$ или $10$ рублей. Коля сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

a) Могли ли покупками быть альбом за $56$ рублей и кисточка за $29$ рублей, если $n=14?$

б) Могли ли покупками быть тетрадь за $10$ рублей, линейка за $15$ рублей и карандаш за $20$ рублей, если $n=19$?

в) Какое наименьшее количество пятирублевых монет могло быть в кошельке, если Коля купил только набор фломастеров за 85 рублей, а $n=24?$

Решение:

а) Да. Например,

$56=5\cdot 10+3\cdot 2$

($5$ монет по $10$ и $3$ монеты по $2$ рубля, итого – $8$ монет)

$29=1\cdot 10+2\cdot 2+3\cdot 5$

($1$ монета по $10$ рублей, $2$ монеты по $2$ рубля и $3$ монеты по $5$ рублей, итого – $6$ монет)

2) Пусть

кол-во 2-х рублевых монет – $m,$

кол-во 5-ти рублевых – $p,$

кол-во 10-ти рублевых – $k.$

Имеем

$2m+5p+10k=45$ при $m+p+k=19.$

Тогда

$2(19-p-k)+5p+10k=45,$

Откуда

$3p+8k=7.$

Если $k\geq 1,$

то

$8k=7-3p\geq 8,$ – противоречие.

Нельзя купить тетрадь за $10$ рублей, линейку за $15$ рублей и карандаш за $20$ рублей, если $n=19.$

3) Имеем

$\begin{cases}m+p+k=24,\\2m+5p+10k=85;&\end{cases}$

$\begin{cases}m+p+k=24,\\2(24-p-k)+5p+10k=85;&\end{cases}$

$\begin{cases}m+p+k=24,\\3p+8k=37;&\end{cases}$

Из $3p+8k=37$ видим: $k\leq 4.$ Найдем наибольшее возможное целое $k,$ ему будет соответствовать наименьшее $p.$

Если $k=4,$ то $3p=5$ – противоречие.

Если $k=3,$ то $3p=13$ – противоречие.

Если $k=2$ то $3p=21,$ откуда $p=7.$

Итак, $7 $ – наименьшее количество пятирублевых монет, которое могло могло быть в кошельке у Коли.

Ответ: а) да; б) нет; в) $7.$