Задание 15 Пробник 14.12.23

Решите неравенство: $\frac{6}{|x-2|}-\frac{2}{|x+6|}\geq 1.$

Решение:

Перейдем к равносильному неравенству:

$6|x+6|-2|x-2|\geq |x-2||x+6|,x\neq 2, x\neq -6;$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>2,\\6(x+6)-2(x-2)\geq (x-2)(x+6);\end{cases}\\\begin{cases}-6<x<2,\\6(x+6)-2(2-x)\geq (2-x)(x+6);\end{cases}\\\begin{cases}x<-6,\\6(-x-6)-2(2-x)\geq (2-x)(-x-6);\end{cases}\\\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>2,\\6x+36-2x+4\geq x^2+4x-12;\end{cases}\\\begin{cases}-6<x<2,\\6x+36-4+2x\geq -x^2-4x+12;\end{cases}\\\begin{cases}x<-6,\\-6x-36-4+2x\geq x^2+4x-12;\end{cases}\\\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>2,\\x^2-52\leq 0;\end{cases}\\\begin{cases}-6<x<2,\\x^2+12x+20\geq 0;\end{cases}\\\begin{cases}x<-6,\\x^2+8x+28\leq 0;\end{cases}\\\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>2,\\(x-2\sqrt{13})(x+2\sqrt{13})\leq 0;\end{cases}\\\begin{cases}-6<x<2,\\(x+10)(x+2)\geq 0;\end{cases}\\\end{array}\right.$

Ответ: $[-2;2)\cup (2; 2\sqrt{13}].$