Задание 18 Пробник 14.12.2023

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

$(a+3)cos^2x+2(a^2+3a)cosx+8a^2+8a-48=0$

имеет хотя бы один корень.

Решение:

$(a+3)cos^2x+2(a^2+3a)cosx+8a^2+8a-48=0;$

$(a+3)cos^2x+2a(a+3)cosx+8(a+3)(a-2)=0;$

$(a+3)(cos^2x+2acosx+8a-16)=0.$

Пусть $cosx=m, |m|\leq 1.$

$(a+3)(m^2-16+2a(m+4))=0$ (*)

Если (*) имеет хотя бы один корень при $|m|\leq 1,$ то и исходное также имеет один корень.

$(a+3)((m-4)(m+4)+2a(m+4))=0;$
$(a+3)(m+4)(m-4+2a)=0.$

$a=-3$ или $m=4-2a$ при $|m|\leq 1.$

Работаем в системе координат $(a;m):$

Устраивают следующие значения $a:$

$a\in${$-3$}$\cup[1,5;2,5].$

Ответ: {$-3$}$\cup[1,5;2,5].$