Задание №20 (C5) Т/Р №93 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15№16№17№18№19.
Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств

\begin{cases} x^2+y^2-a^2\leq 6x-4y-13,& &x^2+y^2-4a^2\leq 8y-10x+4a-40;& \end{cases}

имеет ровно одно решение.

Решение:

Будем выделять полные квадраты в неравенствах:

\begin{cases} (x^2-6x+9)-9+(y^2+4y+4)-4\leq a^2-13,& &(x^2+10x+25)-25+(y^2-8y+16)-16\leq 4a^2+4a-40;& \end{cases}

\begin{cases} (x-3)^2+(y+2)^2\leq a^2,& &(x+5)^2+(y-4)^2\leq (2a+1)^2;& \end{cases}

Первая строка системы задает круг с центром в т. (3;-2) радиуса |a|.

Вторая строка системы задает круг с центром в т. (-5;4) радиуса |2a+1|.

 

Единственное решение исходная система будет иметь в случае внешнего касания кругов.

Замечаем, что  расстояние между радиусами равно \sqrt{6^2+8^2}=10.

Тогда выходим на следующее уравнение:

|a|+|2a+1|=10

Если вы не умеете работать с уравнениями/неравенствами с несколькими модулями, то полезно будет заглянуть сюда.

\left[\begin{gathered} \begin{cases} a<-\frac{1}{2},& &-a-2a-1=10;& \end{cases}& \begin{cases} -\frac{1}{2}\leq a\leq 0,& &-a+2a+1=10;& \end{cases}& \begin{cases} &a>0,& &a+2a+1=10;& \end{cases}& \end{gathered}\right

\left[\begin{gathered} \begin{cases} a<-\frac{1}{2},& &a=-\frac{11}{3};& \end{cases}& \begin{cases} -\frac{1}{2}\leq a\leq 0,& &a=9;& \end{cases}& \begin{cases} &a>0,& &a=3;& \end{cases}& \end{gathered}\right

\left[\begin{gathered} a=-\frac{11}{3},& a=3; \end{gathered}\right

Ответ: -\frac{11}{3};3.

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Юлия

    Здравствуйте. Объясните, пожалуйста, почему мы не рассматриваем другой случай, когда R-r=d, а берем только R+r=d?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      В случае внутреннего касания кругов, единственное решение возможно лишь в случае, когда меньший круг вырождается в точку, что в нашем случае невозможно.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif