Задание №20 (C5) Т/Р №93 А. Ларина

Елена Репина 2014-11-27 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.
Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств

$\begin{cases} x^2+y^2-a^2\leq 6x-4y-13,& &x^2+y^2-4a^2\leq 8y-10x+4a-40;& \end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Решение:

Будем выделять полные квадраты в неравенствах:

$\begin{cases} (x^2-6x+9)-9+(y^2+4y+4)-4\leq a^2-13,& &(x^2+10x+25)-25+(y^2-8y+16)-16\leq 4a^2+4a-40;& \end{cases}$

$\begin{cases} (x-3)^2+(y+2)^2\leq a^2,& &(x+5)^2+(y-4)^2\leq (2a+1)^2;& \end{cases}$

Первая строка системы задает круг с центром в т. $(3;-2)$ радиуса $|a|$ .

Вторая строка системы задает круг с центром в т. $(-5;4)$ радиуса $|2a+1|.$

Единственное решение исходная система будет иметь в случае внешнего касания кругов.

Замечаем, что расстояние между радиусами равно $\sqrt{6^2+8^2}=10.$

Тогда выходим на следующее уравнение:

$|a|+|2a+1|=10$

Если вы не умеете работать с уравнениями/неравенствами с несколькими модулями, то полезно будет заглянуть сюда.

$\left[\begin{gathered} \begin{cases} a<-\frac{1}{2},& &-a-2a-1=10;& \end{cases}& \begin{cases} -\frac{1}{2}\leq a\leq 0,& &-a+2a+1=10;& \end{cases}& \begin{cases} &a>0,& &a+2a+1=10;& \end{cases}& \end{gathered}\right$

$\left[\begin{gathered} \begin{cases} a<-\frac{1}{2},& &a=-\frac{11}{3};& \end{cases}& \begin{cases} -\frac{1}{2}\leq a\leq 0,& &a=9;& \end{cases}& \begin{cases} &a>0,& &a=3;& \end{cases}& \end{gathered}\right$

$\left[\begin{gathered} a=-\frac{11}{3},& a=3; \end{gathered}\right$

Ответ: $-\frac{11}{3};3.$

Автор: egeMax | комментария 2

Печать страницы

комментария 2

Юлия

2015-03-29 в 17:07

Здравствуйте. Объясните, пожалуйста, почему мы не рассматриваем другой случай, когда R-r=d, а берем только R+r=d?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-03-29 в 17:31
  
  В случае внутреннего касания кругов, единственное решение возможно лишь в случае, когда меньший круг вырождается в точку, что в нашем случае невозможно.
  
  [ Ответить ]

Задание №20 (C5) Т/Р №93 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ