Задание №16 Т/Р №204 А. Ларина

2023-06-15

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №204 А. Ларина.

16. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $BD$ равна стороне $AD$.

а) Докажите, что прямая $CD$ касается окружности ω, описанной около треугольника $ABD$.

б) Пусть прямая $CB$ вторично пересекает ω в точке $K$. Найдите $KD:AC$ при условии, что угол $BDA$ равен $120^{\circ}.$

Решение:

a) Так как треугольник $ABD$ равнобедренный ($AD=BD$), то если $H$ – середина $AB,$ то $DH$ – серединный перпендикуляр к стороне $AB.$ Цент окружности $O,$ описанной около треугольника $ABD,$ лежит на прямой $DH.$

В силу параллельности прямых $AB,DC$  раз $DH\perp AB,$ то и $DH\perp DC.$

Итак, точка $D$ лежит на окружности ω и радиус окружности, проведенный к прямой $CD$, перпендикулярен ей. Откуда следует, что прямая $CD$ касается окружности ω, описанной около треугольника $ABD$.

б) Если $O$ – центр ω, то $OD=OB,$ но при этом $\angle ODB=60^{\circ},$ что означает, что треугольник $ODB$ – равносторонний и так как при этом $\angle CBD=120^{\circ},\angle DBK=60^{\circ},$ то прямая $BC$ проходит через центр $O$ окружности ω.

Пусть $R$ – радиус ω.

Треугольник $BKD$ – прямоугольный ($KB$ –  диаметр). $KD=\sqrt{(2R)^2-R^2}=R\sqrt 3 .$

Длину $AC$ найдем из треугольника $ABC$ по теореме косинусов, принимая во внимание, что $BC=AD=R,AB=R\sqrt3, \angle ABC=150^{\circ}:$

$AC^2=3R^2+R^2-2\sqrt3R^2\cdot (-\frac{\sqrt3}{2});$

$AC^2=7R^2;$

$AC=R\sqrt7.$

Итак, $KD:AC=(R\sqrt3):(R\sqrt7)=\sqrt3:\sqrt7.$

Ответ: б) $\sqrt3:\sqrt7.$

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




двадцать − 17 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif