Задание №16 Т/Р №204 А. Ларина

2017-09-28

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №204 А. Ларина.

16. В параллелограмме ABCD диагональ BD равна стороне AD.

а) Докажите, что прямая CD касается окружности ω, описанной около треугольника ABD.

б) Пусть прямая CB вторично пересекает ω в точке K. Найдите KD:AC при условии, что угол BDA равен 120^{\circ}.

Решение:

a) Так как треугольник ABD равнобедренный (AD=BD), то если H – середина AB, то DH – серединный перпендикуляр к стороне AB. Цент окружности O, описанной около треугольника ABD, лежит на прямой DH.

В силу параллельности прямых AB,DC  раз DH\perp AB, то и DH\perp DC.

Итак, точка D лежит на окружности ω и радиус окружности, проведенный к прямой CD, перпендикулярен ей. Откуда следует, что прямая CD касается окружности ω, описанной около треугольника ABD.

б) Если O – центр ω, то OD=OB, но при этом \angle ODB=60^{\circ}, что означает, что треугольник ODB – равносторонний и так как при этом \angle CBD=120^{\circ},\angle DBK=60^{\circ}, то прямая BC проходит через центр O окружности ω.

Пусть R – радиус ω.

Треугольник BKD – прямоугольный (KB –  диаметр). KD=\sqrt{(2R)^2-R^2}=R\sqrt 3 .

Длину AC найдем из треугольника ABC по теореме косинусов, принимая во внимание, что BC=AD=R,AB=R\sqrt3, \angle ABC=150^{\circ}:

AC^2=3R^2+R^2-2\sqrt3R^2\cdot (-\frac{\sqrt3}{2});

AC^2=7R^2;

AC=R\sqrt7.

Итак, KD:AC=(R\sqrt3):(R\sqrt7)=\sqrt3:\sqrt7.

Ответ: б) \sqrt3:\sqrt7.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

шестнадцать − пять =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif