Задание №16 Т/Р №204 А. Ларина

Елена Репина 2017-09-28 2017-09-28

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №204 А. Ларина.

16. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $BD$ равна стороне $AD$ .

а) Докажите, что прямая $CD$ касается окружности ω, описанной около треугольника $ABD$ .

б) Пусть прямая $CB$ вторично пересекает ω в точке $K$ . Найдите $KD:AC$ при условии, что угол $BDA$ равен $120^{\circ}.$

Решение:

a) Так как треугольник $ABD$ равнобедренный ( $AD=BD$ ), то если $H$ – середина $AB,$ то $DH$ – серединный перпендикуляр к стороне $AB.$ Цент окружности $O,$ описанной около треугольника $ABD,$ лежит на прямой $DH.$

В силу параллельности прямых $AB,DC$ раз $DH\perp AB,$ то и $DH\perp DC.$

Итак, точка $D$ лежит на окружности ω и радиус окружности, проведенный к прямой $CD$ , перпендикулярен ей. Откуда следует, что прямая $CD$ касается окружности ω, описанной около треугольника $ABD$ .

б) Если $O$ – центр ω, то $OD=OB,$ но при этом $\angle ODB=60^{\circ},$ что означает, что треугольник $ODB$ – равносторонний и так как при этом $\angle CBD=120^{\circ},\angle DBK=60^{\circ},$ то прямая $BC$ проходит через центр $O$ окружности ω.