Архив по категории: 17 Планиметр. задачи

Путеводитель по задачам С4 (№16)

2024-01-01

2024

1.1. (Пробник 2023) В параллелограмие $ABCD$ со сторонами $AD=12, AB=4$ и углом $A,$ равным 30°, проведены биссектрисы всех четырёх углов.

а) Докажите, что четырёхугольник, ограниченный биссектрисами, прямоугольник.

б) Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Решение Ответ: $16.$

1.2. (Пробник 2023) В параллелограмие $ABCD$ со сторонами $AD=15, AB=7$ и углом $A,$ равным 30°, проведены биссектрисы всех четырёх углов.

а) Докажите, что четырёхугольник, ограниченный биссектрисами, прямоугольник.

б) Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Ответ: $16.$



2023

1.1. (ЕГЭ 2023, резерв) В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB=4, AC=5, BC=\sqrt{61}.$  На его стороне $BC$ вне треугольника (точки $A$ и $D$ лежат в разных плоскостях относительно прямой $BC$) построим равносторонний треугольник $BCD.$

а)  Докажите, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

б)  Найдите расстояние от центра этой окружности до точки пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD.$

Решение Ответ: $\frac{\sqrt{427}}{9}.$

1.2. (ЕГЭ 2023, аналог) В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB=3, AC=5, BC=7.$  На его стороне $BC$ вне треугольника (точки $A$ и $D$ лежат в разных плоскостях относительно прямой $BC$) построим равносторонний треугольник $BCD.$

а)  Докажите, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

б)  Найдите расстояние от центра этой окружности до точки пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD.$

Ответ: $\frac{7\sqrt{19}}{8}.$


2.1. (ЕГЭ 2023) Дан ромб $ABCD.$ Прямая, перпендикулярная стороне $AD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ диагональ $BD$  — в точке $N,$ причем $AM : MC  =  1 : 2,$ $BN : ND  =  1 : 3.$

а)  Докажите, что $cosBAD=0,2.$ 

б)  Найдите площадь ромба, если $MN  =  5.$

Решение Ответ: $60\sqrt6.$


2.2. (ЕГЭ 2023) Дан ромб $ABCD.$ Прямая, перпендикулярная стороне $AD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ диагональ $BD$  — в точке $N,$ причем $AM : MC  =  1 : 2,$ $BN : ND  =  1 : 4.$

а)  Докажите, что $cosBAD=\frac{2}{7}.$ 

б)  Найдите площадь ромба, если $MN  =  7.$

Ответ: $105\sqrt5.$


3.1. (ЕГЭ 2023) $ABC$ – равносторонний треугольник. На стороне $AC$ выбрана точка $M.$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$, а сторону $BC$ в точке $K$.

a) Докажите, что угол $AEM$ равен углу $CMK$.

б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK,$ если $AM:CM=4:1.$

Решение Ответ: $\frac{9}{4}.$

3.2. (ЕГЭ 2023) $ABC$ – равносторонний треугольник. На стороне $AC$ выбрана точка $M.$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$, а сторону $BC$ в точке $K$.

a) Докажите, что угол $AEM$ равен углу $CMK$.

б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK,$ если $AM:CM=1:3.$

Ответ: $\frac{25}{49}.$


4.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Точка $B$ лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром $BC$ в точке $M$ и второй раз пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $K$. Продолжение отрезка $MB$ пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $D$.

а)  Докажите, что прямые $AD$ и $MC$ параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника $DBC$, если $AK=7$ и $MK=14.$

Решение Ответ: $\frac{147\sqrt5}{5}.$

4.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Точка $B$ лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром $BC$ в точке $M$ и второй раз пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $K$. Продолжение отрезка $MB$ пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $D$.
а)  Докажите, что прямые $AD$ и $MC$ параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника $DBC$, если $AK=4$ и $MK=12.$
Ответ: $\frac{96}{\sqrt7}.$


5.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке $K,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C.$ Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L.$

а)  Докажите, что $CN:CM=LB:LA.$

б)  Найдите длину хорды $MN,$ если $LB:LA=3:7,$  a радиус меньшей окружности равен $\sqrt{17}.$

Решение Ответ: $\frac{340}{21}.$

5.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке $K,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C.$ Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L.$

а)  Докажите, что $CN:CM=LB:LA.$

б)  Найдите длину хорды $MN,$ если $LB:LA=2:3,$  a радиус меньшей окружности равен $\sqrt{23}.$

Ответ: $\frac{115}{6}.$


6.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке $A,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P.$ Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а)  Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б)  Пусть $L$  — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP.$ Найдите $AL,$ если радиус большей окружности равен $10,$ а $BC  =  16.$

6.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P.$ Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно. 

а)  Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б)  Пусть $L$  — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP.$ Найдите длину отрезка $AL$, если радиус большей окружности равен $34,$ а $BC = 32.$

Ответ: $\sqrt{34}.$


7.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ треугольника $ABC$ переcекает сторону $AC$ в точке $D.$ Окружность с центром $O,$ вписанная в треугольник $ADB,$ касается отрезка $AD$ в точке $P,$ а прямая $OP$ пересекает сторону $AB$ в точке $K.$

а)  Докажите, что около четырёхугольника $BDOK$ можно описать окружность.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $BDOK,$ если $AB=10,BC=\sqrt{19},AC=9.$

Решение Ответ: $\frac{50\sqrt{95}}{171}.$

7.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Окружность с центром $O,$ вписанная в треугольник $ADB,$ касается отрезка $AD$ в точке $P,$ а прямая $OP$ пересекает сторону $AB$ в точке $K.$

a) Докажите, что около четырёхугольника $BDOK$ можно описать окружность.

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $BDOK,$ если $AB=8, BC=\sqrt{15}, AC=7.$

 Ответ: $\frac{64}{7\sqrt{15}}.$


8.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной $D$ в точке $E$ и пересекает вторую сторону в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $B$ и $D$). В окружности проведён диаметр $AC.$

а)  Докажите, что отрезок $BC$ вдвое больше отрезка $DE$.

б)  Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AC,$ если $AD = 4$ и $AB = 5.$

Решение Ответ: $6.$

8.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной $D$ в точке $E$ и пересекает вторую сторону в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $B$ и $D$). В окружности проведён диаметр $AC.$

а)  Докажите, что отрезок $BC$ вдвое больше отрезка $DE$.

б)  Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AC,$ если $AD = 2$ и $AB = 6.$

Ответ: $4.$


9.1. (ЕГЭ 2023, резерв) На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ и  $B_1$ соответственно. Оказалось, что $BC_1=CB_1=BC.$ 

а)  Докажите, что точки  $B,C$ и середины отрезков$BB_1$ и $CC_1$ лежат на одной окружности.

б)  Найдите косинус угла между прямыми $BB_1$ и $CC_1,$ если $BC=5, AB=12,AC=13.$ 

Решение Ответ: $\frac{\sqrt{26}}{26}.$

9.2. (ЕГЭ 2023, резерв) На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ и  $B_1$ соответственно. Оказалось, что $BC_1=CB_1=BC.$ 

а)  Докажите, что точки  $B,C$ и середины отрезков$BB_1$ и $CC_1$ лежат на одной окружности.

б)  Найдите косинус угла между прямыми $BB_1$ и $CC_1,$ если $BC=8, AB=15,AC=17.$ 

Ответ: $\frac{\sqrt{17}}{17}.$


10.1. (ЕГЭ 2023, резерв) К окружности, вписанной в квадрат $ABCD,$ проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и  $N$ соответственно.

а)  Докажите, что периметр треугольника $AMN$ равен стороне квадрата.

б)  Прямая $MN$ пересекает прямую $CD$ в точке $P.$ В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:3$?

Решение Ответ: $1:3.$

10.2. (ЕГЭ 2023, резерв) К окружности, вписанной в квадрат $ABCD,$ проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и  $N$ соответственно.

а)  Докажите, что периметр треугольника $AMN$ равен стороне квадрата.

б)  Прямая $MN$ пересекает прямую $CD$ в точке $P.$ В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:4$?

Ответ: $1:4.$


11.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Стороны $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата. 
а)  Докажите, что эта окружность разбивает диагональ $BD$ на три равных отрезка.

б)  Касательная к окружности, проведённая через точку $B,$ пересекает сторону $CD$ в точке $E.$ Найдите длину отрезка $DE,$ если сторона квадрата равна $18.$

Решение Ответ: $4,5.$

11.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Стороны $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата. 
а)  Докажите, что эта окружность разбивает диагональ $BD$ на три равных отрезка.

б)  Касательная к окружности, проведённая через точку $B,$ пересекает сторону $CD$ в точке $E.$ Найдите отношение $DE:CE,$ если сторона квадрата равна $24.$

Ответ: $1:3.$


12.1. (ЕГЭ 2023) Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и  $BC.$ Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O.$ Точки $M$ и $N$ отмечены на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно. Известно, что $AM=MO$ и $CN=NO.$

а)  Докажите, что точки $M,$ $N$ и $O$ лежат на одной прямой. 

6)  Найдите $AM:MB,$ если известно, что $AO=OC$ и $BC:AD=1:7.$

Решение Ответ: $1:2.$

12.2. (ЕГЭ 2023) Дана равнобедренная трапеция   $ABCD$ с основаниями $AD$ и  $BC.$ Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O.$ Через точку $O$ проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и пересекающая ее боковые стороны. 

а)  Докажите, что длина отрезка этой прямой с концами на боковых сторонах трапеции, равна ее боковой стороне.

б)  Найдите отношение длин оснований трапеции, если $AO=OC$ и данная прямая делит $ΑB$ в отношении $AM:ΜB=2:3.$

Ответ: $7:17.$


13.1. (ЕГЭ 2023) Биссектриса $AM$ острого угла  $A$ равнобедренной трапеции$ABCD$ делит боковую сторону $CD$ пополам. Отрезок $DN$ перпендикулярен отрезку $AM$ и делит сторону $AB$ в отношении $AN:NB =7:1.$

а)  Докажите, что прямые $BM$ и $CN$ перпендикулярны

б)  Найдите длину отрезка $MN,$ если площадь трапеции равна $4\sqrt{55}.$

Решение Ответ: $4.$

13.2. (ЕГЭ 2023) Биссектриса $AM$ острого угла  $A$ равнобедренной трапеции$ABCD$ делит боковую сторону $CD$ пополам. Отрезок $DN$ перпендикулярен отрезку $AM$ и делит сторону $AB$ в отношении $AN:NB =5:1.$

а)  Докажите, что прямые $BM$ и $CN$ перпендикулярны.

б)  Найдите длину отрезка $MN,$ если площадь трапеции равна $3\sqrt{2}.$

Ответ: $1,5.$


До 2023 Читать далее

Задание 17 Пробник 14.12.23

2024-01-01

В параллелограмие $ABCD$ со сторонами $AD=12, AB=4$ и углом $A,$ равным 30°, проведены биссектрисы всех четырёх углов.

а) Докажите, что четырёхугольник, ограниченный биссектрисами, прямоугольник.

б) Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Решение:

а) Пусть биссектрисы соседних углов А и В пересекаются в точке Q.

$\angle A+\angle B=180^{\circ};$

$\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B=90^{\circ}.$

Тогда из треугольника $ABQ$

$\angle Q=180^{\circ}-(\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B)=90^{\circ}.$

Аналогично с биссектрисы соседних углов $A$ и $D,$ $B$ и $C,$ $C$ и $D$ образуют при пересечении прямой угол.

Таким образом, четырехугольник $QEPF$, образованный биссектрисами углов, – прямоугольник.

б) Так как биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник, то $AB=BM=4, BM=BA=4, CR=CD=4, DC=DN=4$ (см. рис.). С учетом $AD=12,$ получаем, что и $MR=TN=4$ (см. рис).

Наблюдаем 8 равных треугольников $\Delta ABQ=\Delta MBQ=…=\Delta TAQ$ (см.рис), обозначим их площадь $S.$

$S_{QEPF}=S_{ABCD}-6S+S_{MER}+S_{TFN}=S_{ABCD}-6S+2S=S_{ABCD}-4S.$

$S_{ABCD}=4\cdot 12\cdot sin 30^{\circ}=24;$

$S_{ABT}=2S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot sin 30^{\circ}=4.$

Итак, $S_{QEPF}=24-8=16.$

Ответ: $16.$

Задания 17 ЕГЭ

2023-10-04

2023-08-20

ЕГЭ 2023, резерв

Стороны $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата. 
а)  Докажите, что эта окружность разбивает диагональ $BD$ на три равных отрезка.

б)  Касательная к окружности, проведённая через точку $B,$ пересекает сторону $CD$ в точке $E.$ Найдите длину отрезка $DE,$ если сторона квадрата равна $18.$

Решение:

2023-08-20

ЕГЭ 2023, резерв

К окружности, вписанной в квадрат $ABCD,$ проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и  $N$ соответственно.

а)  Докажите, что периметр треугольника $AMN$ равен стороне квадрата.

б)  Прямая $MN$ пересекает прямую $CD$ в точке $P.$ В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:3$?


Решение:

2023-08-20

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ и  $B_1$ соответственно. Оказалось, что $BC_1=CB_1=BC.$ 

а)  Докажите, что точки  $B,C$ и середины отрезков $BB_1$ и $CC_1$ лежат на одной окружности.

б)  Найдите косинус угла между прямыми $BB_1$ и $CC_1,$ если $BC=5, AB=12,AC=13.$ 

Решение:

2023-08-20

ЕГЭ 2023, резерв

В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB=4, AC=5, BC=\sqrt{61}.$  На его стороне $BC$ вне треугольника (точки $A$ и $D$ лежат в разных плоскостях относительно прямой $BC$) построим равносторонний треугольник $BCD.$

а)  Докажите, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

б)  Найдите расстояние от центра этой окружности до точки пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD.$


Решение:

Ответ: $\frac{\sqrt{427}}{9}.$

2023-08-20

ЕГЭ 2023

Биссектриса $AM$ острого угла  $A$ равнобедренной трапеции$ABCD$ делит боковую сторону $CD$ пополам. Отрезок $DN$ перпендикулярен отрезку $AM$ и делит сторону $AB$ в отношении $AN:NB =7:1.$

а)  Докажите, что прямые $BM$ и $CN$ перпендикулярны.

б)  Найдите длину отрезка $MN,$ если площадь трапеции равна $4\sqrt{55}.$

Решение:

Задания 16 ЕГЭ 2023

2023-09-09

Читать далее

Задание №16. Реальный ЕГЭ от 10 июля 2020

2023-06-13

 Условия заданий 1-19,  ответы

16. На сторонах $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ , $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1:C_1B= 8: 3$, $BA_1:A_1C = 1: 2$, $CB_1:B_1A  = 3 ∶ 1$.
Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что $ADA_1B_1$— параллелограмм.
б) Найдите $CD$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC=28, BC = 18$.

Читать далее

№16 Тренировочного варианта 280 А. Ларина

2023-06-13

 Смотрите также №14 Т/Р №280

16. В треугольнике $ABC$ провели высоты $AA_1$ и $BB_1$. Окружность, описанная вокруг треугольника $ANA_1$, где точка $N$ – середина стороны $AB$, пересекла прямую $A_1B_1$ в точке $K$.
а) Докажите, что прямая $AK$ касается окружности, описанной около треугольника $ABC$.
б) Найдите отношение площадей четырехугольника $ABA_1B_1$ и треугольника $CA_1B_1$, если $\angle ABC=45^{\circ}$, $AB_1=BN=1$.

Решение: 

Ответ: $7+4\sqrt3.$

Теорема о длине внешней общей касательной к окружностям

2019-09-08

Данное утверждение  может быть очень полезно при решении задач на внешне касающиеся окружности.

Теорема Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов. Читать далее

Задание №16. Реальный ЕГЭ (Дальний Восток) от 29 мая 2019

2023-06-13

Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15№17№18; №19

16. Около треугольника $ABC$ описана окружность. Прямая $BO$, где $O$ — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке $P$.

а) Докажите, что $OP=AP.$

б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, если $\angle ABC=120^{\circ},$ а радиус описанной окружности равен $18$.

Читать далее

Задание №16. Реальный ЕГЭ 2019 от 29 мая

2023-06-13

Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15№17№18; №19

16. Около треугольника $ABC$ описана окружность. Прямая $BO$, где $O$ – центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке $P$.
a) Докажите, что $AP=OP.$
б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, если угол $ABC$
равен $120^{\circ}$, а радиус описанной окружности равен $18.$

Читать далее

Задание №16. Реальный ЕГЭ 2018 от 1 июня

2023-06-13

Условия заданий 1-19 здесь, ответы здесь,

а также вариант 2 (13-19) и  ответы к нему

Разбор заданий №13; №14; №15№17№18; №19

16. Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$, $CD$ и $AD$.
Известно, что $AB=10,BC=9,CD=30,AD=39.$
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD.$
б) Найдите $O_1O_2$.

Читать далее

Задание №16. Досрочная волна 2018. Резервный день

2023-06-14
Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15№17№18; №19 

14. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны стороны и диагональ:

$AB=3,BC=CD=5,AD=8,AC=7.$

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите $BD.$

Читать далее