Список всех задач №16, разобранных на сайте
(список пополняется)
-14. (Реальный ЕГЭ, 2021) Дан параллелограмм с острым углом
. На продолжении стороны
за точку
взята точка
такая, что
, а на продолжении стороны
за точку
взята такая точка
, что
а) Докажите, что .
б) Найдите если
Ответ: Решение
-13. (Реальный ЕГЭ, 2021)
Трапеция с большим основанием
и высотой
вписана в окружность. Прямая
вторично пересекает эту окружность в точке
.
а) Докажите, что прямые и
перпендикулярны.
б) Прямые и
пересекаются в точке
. Найдите
, если радиус окружности равен
,
а площадь четырёхугольника
в
раз больше площади треугольника
.
Ответ: Решение
-12. (Реальный ЕГЭ, 2020) На сторонах и
треугольника
отмечены точки
,
и
соответственно, причём
,
,
.
Отрезки и
пересекаются в точке
.
а) Докажите, что — параллелограмм.
б) Найдите , если отрезки
и
перпендикулярны,
.
Ответ: 17. Видеорешение
-11. (Демо ЕГЭ, 2020) Две окружности касаются внешним образом в точке Прямая
касается первой окружности в точке
, а второй — в точке
. Прямая
пересекает первую окружность в точке
, прямая
пересекает вторую окружность в точке
.
а) Докажите, что прямые и
параллельны.
б) Найдите площадь треугольника , если известно, что радиусы окружностей равны
и
.
Ответ: Видеорешение
-10. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около треугольника описана окружность. Прямая
, где
— центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке
.
а) Докажите, что
б) Найдите расстояние от точки до прямой
, если
а радиус описанной окружности равен
. Ответ:
Решение
-9. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около остроугольного треугольника с различными сторонами описана окружность.
– диаметр. Высота
повторно пересекает окружность в точке
. Угол
равен
, угол
–
a) Докажите, что .
б) Найдите , если радиус окружности равен
. Ответ:
Решение
-8. (Реальный ЕГЭ, 2018) Окружность с центром касается оснований
и
и боковой стороны
трапеции
. Окружность с центром
касается сторон
,
и
.
Известно, что
а) Докажите, что прямая параллельна основаниям трапеции
б) Найдите . Ответ:
Решение
-7. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018) В треугольнике угол
тупой,
— точка пересечения продолжений высот, угол
равен
°.
а) Докажите, что угол равен
°.
б) Найдите , если
Ответ:
Решение
-6. (Досрочный ЕГЭ, 2018) В выпуклом четырёхугольнике известны стороны и диагональ:
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите Ответ:
Решение
-5. (Реальный ЕГЭ, 2017) Основания трапеции равны и
, а её диагонали равны
и
.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции. Ответ: Решение
-4. (Реальный ЕГЭ, 2017) Две окружности с центрами и
пересекаются в точках
и
, причём точки
и
лежат по разные стороны от прямой
. Продолжения диаметра
первой окружности и хорды
этой окружности пересекают вторую окружности в точках
и
соответственно.
а) Докажите, что треугольники и
подобны.
б) Найдите , если
радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и
. Ответ:
Решение
-3. (Реальный ЕГЭ, 2017) Точка – середина боковой стороны
трапеции
На стороне
отмечена точка
так, что
Прямые
пересекаются в точке
а) Докажите, что
б) Найдите отношение оснований трапеции и
если площадь треугольника
составляет
площади трапеции
Ответ:
Решение
-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) В трапецию с основаниями
и
вписана окружность с центром
.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь трапеции, если , а основания равны
и
.
Ответ: Решение
-1. (Резервный ЕГЭ, 2017) Окружность, вписанная в трапецию , касается ее боковых сторон
и
в точках
и
соответственно. Известно, что
и
а) Докажите, что
б) Найдите длину отрезка , если радиус окружности равен
. Ответ:
Решение Читать далее