Архив по категории: 14 (С2) Стереометр. задачи

Путеводитель по задачам С2 (cтереометрия, часть II)

2018-02-13
 Список всех задач C2, разобранных на сайте

(список пополняется)


Угол между прямой и плоскостью + показать


Угол между прямыми + показать


Угол между плоскостями + показать


Площадь сечения + показать


Объемы многогранников + показать


Расстояние от точки до прямой/плоскости + показать


Расстояние между скрещивающимися прямыми + показать


Тела вращения. Комбинации тел + показать


Другие задачи + показать


 

Задание №14 Т/Р №224 А. Ларина

2018-02-12

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.

14. В основании пирамиды TABCD лежит трапеция ABCD, в которой BC\parallel AD и  AD:BC=2. Через вершину T пирамиды проведена плоскость, параллельная прямой BC и пересекающая отрезок AB в точке M такой, что AM:MB=2. Площадь получившегося сечения равна 10,  а расстояние от ребра BC до плоскости сечения равно 4.

а) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении 7:20.

б) Найдите объем пирамиды.

Читать далее

Задание №14 Т/Р №223 А. Ларина

2018-02-07

Смотрите также №13; №15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

14. На боковых ребрах DB и DC треугольной пирамиды ABCD расположены точки M и N так, что BM=MD и CN:ND=2:3. Через вершину A основания пирамиды и точки M и N проведена плоскость  \alpha, пересекающая медианы боковых граней, проведенных из вершины D, в точках K,R и T.
а) Докажите, что площадь треугольника KTR составляет \frac{5}{22} от площади сечения пирамиды плоскость \alpha.

б) Найти отношение объемов пирамид KRTC и ABCD.

Читать далее

Задание №14 Т/Р №220 А. Ларина

2018-01-17

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

14. В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точка O_1 – центр квадрата ABCD, точка O_2 – центр квадрата CC_1D_1D.
а) Докажите, что прямые A_1O_1 и B_1O_2 – скрещивающиеся.
б) Найдите расстояние между прямыми A_1O_1 и B_1O_2, если ребро куба равно 2.

Читать далее

Задание №14 Т/Р №215 А. Ларина

2017-12-14

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

14. В параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 точка K – середина ребра AB.

а) Докажите, что плоскость CKD_1 делит объем параллелепипеда в отношении 7:17.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости CKD_1, если известно, что ребра AB,AD,AA_1 попарно перпендикулярны и равны соответственно 6, 4 и 6.

Читать далее

Задание №14 Т/Р №213 А. Ларина

2017-12-12

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.

14. В правильной треугольной пирамиде SABC точка K – середина ребра AB. На ребре SC взята точка M так, что SM:CM=1:3.

а) Докажите, что прямая MK пересекает высоту SO пирамиды в её середине.
б) Найдите расстояние между прямыми MK и AC, если известно, что AB=6,SA=4.

Читать далее

Задание №14 Т/Р №212 А. Ларина

2017-11-22

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

14. В правильной пирамиде PABCD на ребрах AB и PD взяты точки M и K соответственно, причем AM:BM=1:3,DK:PK=4:3.

а) Докажите, что прямая BP параллельна плоскости MCK.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MCK, если известно, что все ребра пирамиды равны 4.

Читать далее

Задание №14 Т/Р №210 А. Ларина

2017-11-07

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №210 А. Ларина.

14. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина

стороны которого равна 4\sqrt2. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2.
а) Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB равен 45^{\circ}.

б) Найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми.

Читать далее

Задание №14 Т/Р №209 А. Ларина

2017-11-05

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

14. Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.
а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.
б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно  13.

Читать далее

Задание №14 Т/Р №207 А. Ларина

2017-10-30

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №207 А. Ларина.

14. В основании треугольной пирамиды ABCD лежит правильный треугольник ABC. Боковая грань пирамиды BCD перпендикулярна основанию, BD=DC.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро BC перпендикулярно ребру AD.

б) Найдите объём пирамиды BCPD, где M – точка пересечения ребра AD и плоскости сечения, если сторона основания пирамиды ABCD равна 8\sqrt3 , а боковое ребро AD наклонено к плоскости основания под углом 60^{\circ}.

Читать далее

Задание №14 Т/Р №205 А. Ларина

2017-10-04

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.

14. Дана правильная пирамида PABCD с вершиной в точке P. Через точку B перпендикулярно прямой DP проведена плоскость Ω, которая пересекает DP в точке K.

а) Докажите, что прямые BK и AC перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна 6 и высота пирамиды равна 6.

Читать далее

Задание №14 Т/Р №204 А. Ларина

2017-10-16

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №204 А. Ларина.

14. В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=4,\angle BAC=120^{\circ}. Известно, что боковая грань SBC перпендикулярна

основанию ABC,  SB=SC, а высота пирамиды, проведенная из точки S, равна 2\sqrt{11} . На ребрах SB и SC отмечены соответственно точки K и P так, что BK:SK=CP=SP=1:3.
а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью APK является прямоугольный треугольник.

б) Найдите объем меньшей части пирамиды, на которые её делит плоскость APK.

Читать далее

Задание №14 Т/Р №203 А. Ларина

2017-09-20

Смотрите также №13№15№16; №17№18  Тренировочной работы №203 А. Ларина.

14. Дана прямая призма ABCA_1B_1C_1.

а) Докажите, что линия пересечения плоскостей ABC_1 и A_1B_1C параллельна основаниям призмы.
б) Найдите угол между плоскостями ABC_1 и A_1B_1C, если известно, что AC=1,BC=2,AB=\sqrt5,CC_1=3.

Читать далее

Задание №14 Т/Р №202 А. Ларина

2017-09-14

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 AB=2,AD=1, AA_1=3. Точка K лежит на ребре CC_1 так, что CK:C_1K=5:4.
а) Докажите, что прямые DB_1  и D_1K перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки D_1 до плоскости KA_1D.

Читать далее

Задание №14 Т/Р №197 А. Ларина

2017-05-15

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №197 А. Ларина.

14. В конусе с вершиной в точке P высота равна 1, а образующая равна 2. В основании конуса провели диаметр CD и перпендикулярную ему хорду AB. Известно, что хорда

AB удалена от центра основания на расстояние, равное 1.

а) Докажите, что треугольник PAB прямоугольный.
б) Найдите сумму объемов пирамид CAPB и DAPB.

Читать далее

Задание №14 Т/Р №196 А. Ларина

2017-05-10

Смотрите также №13; №15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №196 А. Ларина.

14. В основании пирамиды PABC лежит равнобедренный треугольник ABC (AC=BC). Все боковые ребра пирамиды попарно равны. Точка K – середина AB. В эту пирамиду вписана сфера.

а) Докажите, что точка касания сферы с гранью APB лежит на прямой PK.

б) Найдите радиус сферы, если известно, что AB=6,BC=5,KP=4.

Читать далее