16 (С5) Планиметр. задачи | Подготовка к ЕГЭ по математике

Архив по категории: 16 (С5) Планиметр. задачи

07 Сен 2016

Путеводитель по задачам С4 (№16)

Елена Репина 2016-09-07 2021-08-27

Список всех задач №16, разобранных на сайте

(список пополняется)

-14. (Реальный ЕГЭ, 2021) Дан параллелограмм $ABCD$ с острым углом $A$ . На продолжении стороны $AD$ за точку $D$ взята точка $N$ такая, что $CN = CD$ , а на продолжении стороны $CD$ за точку $D$ взята такая точка $M$ , что $AD = AM.$

а) Докажите, что $BM = BN$ .

б) Найдите $MN,$ если $AC = 4,$ $sin\angle BAD=\frac{8}{17}.$

Ответ: $\frac{120}{17}.$ Решение

-13. (Реальный ЕГЭ, 2021)

Трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$ и высотой $BH$ вписана в окружность. Прямая $BH$ вторично пересекает эту окружность в точке $K$ .

а) Докажите, что прямые $AC$ и $AK$ перпендикулярны.

б) Прямые $CK$ и $AD$ пересекаются в точке $N$ . Найдите $AD$ , если радиус окружности равен $12$ , $\angle BAC=30^{\circ},$ а площадь четырёхугольника $BCNH$ в $8$ раз больше площади треугольника $KNH$ .

Ответ: $4\sqrt{33}.$ Решение

-12. (Реальный ЕГЭ, 2020) На сторонах $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ , $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1:C_1B= 8: 3$ , $BA_1:A_1C = 1: 2$ , $CB_1:B_1A = 3 ∶ 1$ .
Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$ .
а) Докажите, что $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
б) Найдите $CD$ , если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC=28, BC = 18$ .

Ответ: 17. Видеорешение

-11. (Демо ЕГЭ, 2020) Две окружности касаются внешним образом в точке $K.$ Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$ , а второй — в точке $B$ . Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$ , прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$ .

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника $AKB$ , если известно, что радиусы окружностей равны $4$ и $1$ .

Ответ: $3,2.$ Видеорешение

-10. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около треугольника $ABC$ описана окружность. Прямая $BO$ , где $O$ — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке $P$ .

а) Докажите, что $OP=AP.$

б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$ , если $\angle ABC=120^{\circ},$ а радиус описанной окружности равен $18$ . Ответ: $27.$ Решение

-9. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около остроугольного треугольника $ABC$ с различными сторонами описана окружность. $BN$ – диаметр. Высота $BH$ повторно пересекает окружность в точке $K$ . Угол $BAC$ равен $35^{\circ}$ , угол $ACB$ – $65^{\circ}.$
a) Докажите, что $AN=CK$ .
б) Найдите $KN$ , если радиус окружности равен $12$ . Ответ: $12.$ Решение

-8. (Реальный ЕГЭ, 2018) Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$ . Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$ , $CD$ и $AD$ .
Известно, что $AB=10,BC=9,CD=30,AD=39.$
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD.$
б) Найдите $O_1O_2$ . Ответ: $4.$ Решение

-7. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018) В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ тупой, $H$ — точка пересечения продолжений высот, угол $AHC$ равен $60$ °.
а) Докажите, что угол $ABC$ равен $120$ °.
б) Найдите $BH$ , если $AB= 7, BC = 8.$ Ответ: $\frac{13}{\sqrt3}.$ Решение

-6. (Досрочный ЕГЭ, 2018) В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны стороны и диагональ: $AB=3,BC=CD=5,AD=8,AC=7.$

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите $BD.$ Ответ: $\frac{55}{7}.$ Решение

-5. (Реальный ЕГЭ, 2017) Основания трапеции равны $4$ и $9$ , а её диагонали равны $5$ и $12$ .

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции. Ответ: $\frac{60}{13}.$ Решение

-4. (Реальный ЕГЭ, 2017) Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$ , причём точки $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $AB$ . Продолжения диаметра $CA$ первой окружности и хорды $CB$ этой окружности пересекают вторую окружности в точках $D$ и $E$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $CBD$ и $O_1AO_2$ подобны.

б) Найдите $AD$ , если $\angle DAE=\angle BAC,$ радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и $AB=3$ . Ответ: $9.$ Решение

-3. (Реальный ЕГЭ, 2017) Точка $E$ – середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD.$ На стороне $AB$ отмечена точка $K$ так, что $CK\parallel AE.$ Прямые $CK,BE$ пересекаются в точке $O.$

а) Докажите, что $CO=OK.$

б) Найдите отношение оснований трапеции $BC$ и $AD,$ если площадь треугольника $BCK$ составляет $\frac{9}{64}$ площади трапеции $ABCD.$ Ответ: $3:5.$ Решение

-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$ .

а) Докажите, что $sin AOD=sinBOC.$

б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90^{\circ}$ , а основания равны $5$ и $7$ .

Ответ: $35.$ Решение

-1. (Резервный ЕГЭ, 2017) Окружность, вписанная в трапецию $ABCD$ , касается ее боковых сторон $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AM=8MB$ и $DN=2CN.$

а) Докажите, что $AD=4BC.$

б) Найдите длину отрезка $MN$ , если радиус окружности равен $\sqrt6$ . Ответ: $4.$ Решение Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачи

14 Июл 2020

Задание №16. Реальный ЕГЭ от 10 июля 2020

Елена Репина 2020-07-14 2020-07-14

Условия заданий 1-19, ответы

Разбор заданий №13; №14; №15; №17; №18; №19 (в процессе оформления)

16. На сторонах $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ , $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1:C_1B= 8: 3$ , $BA_1:A_1C = 1: 2$ , $CB_1:B_1A = 3 ∶ 1$ .
Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$ .
а) Докажите, что $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
б) Найдите $CD$ , если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC=28, BC = 18$ .

Автор: egeMax | комментария 2

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиЕГЭ (диагностич. работы)Планиметрия

25 Сен 2019

№16 Тренировочного варианта 280 А. Ларина

Елена Репина 2019-09-25 2019-09-26

Смотрите также №14 Т/Р №280

16. В треугольнике $ABC$ провели высоты $AA_1$ и $BB_1$ . Окружность, описанная вокруг треугольника $ANA_1$ , где точка $N$ – середина стороны $AB$ , пересекла прямую $A_1B_1$ в точке $K$ .
а) Докажите, что прямая $AK$ касается окружности, описанной около треугольника $ABC$ .
б) Найдите отношение площадей четырехугольника $ABA_1B_1$ и треугольника $CA_1B_1$ , если $\angle ABC=45^{\circ}$ , $AB_1=BN=1$ .

Решение:

Ответ: $7+4\sqrt3.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиПланиметрияТ/P A. Ларина

06 Сен 2019

Теорема о длине внешней общей касательной к окружностям

Елена Репина 2019-09-06 2019-09-08

Данное утверждение может быть очень полезно при решении задач на внешне касающиеся окружности.

Теорема Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов. Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиПланиметрияСправочные материалы

21 Июн 2019

Задание №16. Реальный ЕГЭ (Дальний Восток) от 29 мая 2019

Елена Репина 2019-06-21 2019-06-21

Условия заданий 1-19, ответы

Разбор заданий №13; №14; №15; №17; №18; №19

16. Около треугольника $ABC$ описана окружность. Прямая $BO$ , где $O$ — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке $P$ .

а) Докажите, что $OP=AP.$

б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$ , если $\angle ABC=120^{\circ},$ а радиус описанной окружности равен $18$ .

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиЕГЭ (диагностич. работы)

09 Июн 2019

Задание №16. Реальный ЕГЭ 2019 от 29 мая

Елена Репина 2019-06-09 2019-06-10

Условия заданий 1-19, ответы

Разбор заданий №13; №14; №15; №17; №18; №19

16. Около треугольника $ABC$ описана окружность. Прямая $BO$ , где $O$ – центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке $P$ .
a) Докажите, что $AP=OP.$
б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$ , если угол $ABC$
равен $120^{\circ}$ , а радиус описанной окружности равен $18.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиЕГЭ (диагностич. работы)

07 Сен 2018

Задание №16. Реальный ЕГЭ 2018 от 1 июня

Елена Репина 2018-09-07 2018-09-07

Условия заданий 1-19 здесь, ответы здесь,

а также вариант 2 (13-19) и ответы к нему

Разбор заданий №13; №14; №15; №17; №18; №19

16. Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$ . Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$ , $CD$ и $AD$ .
Известно, что $AB=10,BC=9,CD=30,AD=39.$
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD.$
б) Найдите $O_1O_2$ .

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиЕГЭ (диагностич. работы)

02 Май 2018

Задание №16. Досрочная волна 2018. Резервный день

Елена Репина 2018-05-02 2018-05-03

Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15; №17; №18; №19

14. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны стороны и диагональ:

$AB=3,BC=CD=5,AD=8,AC=7.$

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите $BD.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачи

08 Фев 2018

Задание №16 Т/Р №223 А. Ларина

Елена Репина 2018-02-08 2018-02-07

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

16. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром в точке $O.$ Радиус $AO$ перпендикулярен радиусу $OB,$ а радиус $OC$ перпендикулярен радиусу $OD.$

а) Докажите, что $BC \parallel AD.$

б) Найдите площадь треугольника $AOB,$ если длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на $AD,$ равна $9,$ а длина отрезка $BC$ в два раза меньше длины отрезка $AD.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

18 Янв 2018

Задание №16 Т/Р №220 А. Ларина

Елена Репина 2018-01-18 2018-01-17

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

16. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке $K$ . Прямая $p$

касается первой окружности в точке $M$ , а второй – в точке $N$ .
а) Докажите что расстояние от точки $K$ до прямой $p$ равно $\frac{MK\cdot KN}{MN}$ .

б) Найдите площадь треугольника $MNK$ , если известно, что радиусы окружностей равны соответственно $12$ и $3$ .

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

14 Дек 2017

Задание №16 Т/Р №215 А. Ларина

Елена Репина 2017-12-14 2017-12-14

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$ . Пусть $AB$ – хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке $L$ .

а) Докажите, что $KL$ – биссектриса угла $AKB$ .
б) Найдите длину отрезка $KL$ , если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно $6$ и $2$ , а угол $AKB$ равен $90^{\circ}.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

30 Ноя 2017

Задание №16 Т/Р №213 А. Ларина

Елена Репина 2017-11-30 2017-11-28

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.

16. Точка $O$ – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$ . На луче $AO$ отмечена точка $M$ так, что $\angle BAC+\angle AMC=90^{\circ}.$

а) Докажите, что существует точка $P$ , одинаково удаленная от точек $B,O,C,M.$
б) Найдите расстояние от точки $P$ до точки $M$ , если известно, что $\angle BAC=15^{\circ}$ и $BC=15.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

23 Ноя 2017

Задание №16 Т/Р №212 А. Ларина

Елена Репина 2017-11-23 2017-11-24

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

16. В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина $AC$ .
а) Докажите, что длина отрезка $BM$ больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон $AB$ и $BC$ .
б) Окружность проходит через точки $B$ , $C$ , $M$ . Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой $AB$ , если известно, что $AB=5,BC=3,BM=2.$ Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

09 Ноя 2017

Задание №16 Т/Р №210 А. Ларина

Елена Репина 2017-11-09 2017-11-07

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №210 А. Ларина.

16. В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC.$

а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из

которых втрое больше другого.
б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD$ . Найдите расстояние от вершины $C$ до середины отрезка $OD$ , если $BC=16$ и $AB=10$ .

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

02 Ноя 2017

Задание №16 Т/Р №209 А. Ларина

Елена Репина 2017-11-02 2017-10-31

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

16. Точка $E$ – середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD.$ На стороне $AB$ отмечена точка $K$ так, что $CK\parallel AE.$ Прямые $CK,BE$ пересекаются в точке $O.$

а) Докажите, что $CO=OK.$

б) Найдите отношение оснований трапеции $BC$ и $AD,$ если площадь треугольника $BCK$ составляет $0,09$ площади трапеции $ABCD.$