Подготовка к ЕГЭ по математике

2024

1.1. (Пробник 2023) В параллелограмие $ABCD$ со сторонами $AD=12, AB=4$ и углом $A,$ равным 30°, проведены биссектрисы всех четырёх углов.

а) Докажите, что четырёхугольник, ограниченный биссектрисами, прямоугольник.

б) Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Решение Ответ: $16.$

1.2. (Пробник 2023) В параллелограмие $ABCD$ со сторонами $AD=15, AB=7$ и углом $A,$ равным 30°, проведены биссектрисы всех четырёх углов.

а) Докажите, что четырёхугольник, ограниченный биссектрисами, прямоугольник.

б) Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Ответ: $16.$

2023

1.1. (ЕГЭ 2023, резерв) В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB=4, AC=5, BC=\sqrt{61}.$  На его стороне $BC$ вне треугольника (точки $A$ и $D$ лежат в разных плоскостях относительно прямой $BC$) построим равносторонний треугольник $BCD.$

а)  Докажите, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

б)  Найдите расстояние от центра этой окружности до точки пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD.$

Решение Ответ: $\frac{\sqrt{427}}{9}.$

1.2. (ЕГЭ 2023, аналог) В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB=3, AC=5, BC=7.$  На его стороне $BC$ вне треугольника (точки $A$ и $D$ лежат в разных плоскостях относительно прямой $BC$) построим равносторонний треугольник $BCD.$

а)  Докажите, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

б)  Найдите расстояние от центра этой окружности до точки пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD.$

Ответ: $\frac{7\sqrt{19}}{8}.$

2.1. (ЕГЭ 2023) Дан ромб $ABCD.$ Прямая, перпендикулярная стороне $AD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ диагональ $BD$  — в точке $N,$ причем $AM : MC  =  1 : 2,$ $BN : ND  =  1 : 3.$

а)  Докажите, что $cosBAD=0,2.$ 

б)  Найдите площадь ромба, если $MN  =  5.$

Решение Ответ: $60\sqrt6.$

2.2. (ЕГЭ 2023) Дан ромб $ABCD.$ Прямая, перпендикулярная стороне $AD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ диагональ $BD$  — в точке $N,$ причем $AM : MC  =  1 : 2,$ $BN : ND  =  1 : 4.$

а)  Докажите, что $cosBAD=\frac{2}{7}.$ 

б)  Найдите площадь ромба, если $MN  =  7.$

Ответ: $105\sqrt5.$

3.1. (ЕГЭ 2023) $ABC$ – равносторонний треугольник. На стороне $AC$ выбрана точка $M.$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$, а сторону $BC$ в точке $K$.

a) Докажите, что угол $AEM$ равен углу $CMK$.

б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK,$ если $AM:CM=4:1.$

Решение Ответ: $\frac{9}{4}.$

3.2. (ЕГЭ 2023) $ABC$ – равносторонний треугольник. На стороне $AC$ выбрана точка $M.$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$, а сторону $BC$ в точке $K$.

a) Докажите, что угол $AEM$ равен углу $CMK$.

б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK,$ если $AM:CM=1:3.$

Ответ: $\frac{25}{49}.$

4.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Точка $B$ лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром $BC$ в точке $M$ и второй раз пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $K$. Продолжение отрезка $MB$ пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $D$.

а)  Докажите, что прямые $AD$ и $MC$ параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника $DBC$, если $AK=7$ и $MK=14.$

Решение Ответ: $\frac{147\sqrt5}{5}.$

4.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Точка $B$ лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром $BC$ в точке $M$ и второй раз пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $K$. Продолжение отрезка $MB$ пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $D$.
а)  Докажите, что прямые $AD$ и $MC$ параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника $DBC$, если $AK=4$ и $MK=12.$
Ответ: $\frac{96}{\sqrt7}.$

5.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке $K,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C.$ Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L.$

а)  Докажите, что $CN:CM=LB:LA.$

б)  Найдите длину хорды $MN,$ если $LB:LA=3:7,$  a радиус меньшей окружности равен $\sqrt{17}.$

Решение Ответ: $\frac{340}{21}.$

5.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке $K,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C.$ Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L.$

а)  Докажите, что $CN:CM=LB:LA.$

б)  Найдите длину хорды $MN,$ если $LB:LA=2:3,$  a радиус меньшей окружности равен $\sqrt{23}.$

Ответ: $\frac{115}{6}.$

6.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке $A,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P.$ Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а)  Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б)  Пусть $L$  — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP.$ Найдите $AL,$ если радиус большей окружности равен $10,$ а $BC  =  16.$

6.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P.$ Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно. 

а)  Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б)  Пусть $L$  — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP.$ Найдите длину отрезка $AL$, если радиус большей окружности равен $34,$ а $BC = 32.$

Ответ: $\sqrt{34}.$

7.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ треугольника $ABC$ переcекает сторону $AC$ в точке $D.$ Окружность с центром $O,$ вписанная в треугольник $ADB,$ касается отрезка $AD$ в точке $P,$ а прямая $OP$ пересекает сторону $AB$ в точке $K.$

а)  Докажите, что около четырёхугольника $BDOK$ можно описать окружность.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $BDOK,$ если $AB=10,BC=\sqrt{19},AC=9.$

Решение Ответ: $\frac{50\sqrt{95}}{171}.$

7.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Окружность с центром $O,$ вписанная в треугольник $ADB,$ касается отрезка $AD$ в точке $P,$ а прямая $OP$ пересекает сторону $AB$ в точке $K.$

a) Докажите, что около четырёхугольника $BDOK$ можно описать окружность.

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $BDOK,$ если $AB=8, BC=\sqrt{15}, AC=7.$

 Ответ: $\frac{64}{7\sqrt{15}}.$

8.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной $D$ в точке $E$ и пересекает вторую сторону в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $B$ и $D$). В окружности проведён диаметр $AC.$

а)  Докажите, что отрезок $BC$ вдвое больше отрезка $DE$.

б)  Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AC,$ если $AD = 4$ и $AB = 5.$

Решение Ответ: $6.$

8.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной $D$ в точке $E$ и пересекает вторую сторону в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $B$ и $D$). В окружности проведён диаметр $AC.$

а)  Докажите, что отрезок $BC$ вдвое больше отрезка $DE$.

б)  Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AC,$ если $AD = 2$ и $AB = 6.$

Ответ: $4.$

9.1. (ЕГЭ 2023, резерв) На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ и  $B_1$ соответственно. Оказалось, что $BC_1=CB_1=BC.$ 

а)  Докажите, что точки  $B,C$ и середины отрезков$BB_1$ и $CC_1$ лежат на одной окружности.

б)  Найдите косинус угла между прямыми $BB_1$ и $CC_1,$ если $BC=5, AB=12,AC=13.$ 

Решение Ответ: $\frac{\sqrt{26}}{26}.$

9.2. (ЕГЭ 2023, резерв) На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ и  $B_1$ соответственно. Оказалось, что $BC_1=CB_1=BC.$ 

а)  Докажите, что точки  $B,C$ и середины отрезков$BB_1$ и $CC_1$ лежат на одной окружности.

б)  Найдите косинус угла между прямыми $BB_1$ и $CC_1,$ если $BC=8, AB=15,AC=17.$ 

Ответ: $\frac{\sqrt{17}}{17}.$

10.1. (ЕГЭ 2023, резерв) К окружности, вписанной в квадрат $ABCD,$ проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и  $N$ соответственно.

а)  Докажите, что периметр треугольника $AMN$ равен стороне квадрата.

б)  Прямая $MN$ пересекает прямую $CD$ в точке $P.$ В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:3$?

Решение Ответ: $1:3.$

10.2. (ЕГЭ 2023, резерв) К окружности, вписанной в квадрат $ABCD,$ проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и  $N$ соответственно.

а)  Докажите, что периметр треугольника $AMN$ равен стороне квадрата.

б)  Прямая $MN$ пересекает прямую $CD$ в точке $P.$ В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:4$?

Ответ: $1:4.$

11.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Стороны $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата. 
а)  Докажите, что эта окружность разбивает диагональ $BD$ на три равных отрезка.

б)  Касательная к окружности, проведённая через точку $B,$ пересекает сторону $CD$ в точке $E.$ Найдите длину отрезка $DE,$ если сторона квадрата равна $18.$

Решение Ответ: $4,5.$

11.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Стороны $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата. 
а)  Докажите, что эта окружность разбивает диагональ $BD$ на три равных отрезка.

б)  Касательная к окружности, проведённая через точку $B,$ пересекает сторону $CD$ в точке $E.$ Найдите отношение $DE:CE,$ если сторона квадрата равна $24.$

Ответ: $1:3.$

12.1. (ЕГЭ 2023) Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и  $BC.$ Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O.$ Точки $M$ и $N$ отмечены на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно. Известно, что $AM=MO$ и $CN=NO.$

а)  Докажите, что точки $M,$ $N$ и $O$ лежат на одной прямой. 

6)  Найдите $AM:MB,$ если известно, что $AO=OC$ и $BC:AD=1:7.$

Решение Ответ: $1:2.$

12.2. (ЕГЭ 2023) Дана равнобедренная трапеция   $ABCD$ с основаниями $AD$ и  $BC.$ Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O.$ Через точку $O$ проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и пересекающая ее боковые стороны. 

а)  Докажите, что длина отрезка этой прямой с концами на боковых сторонах трапеции, равна ее боковой стороне.

б)  Найдите отношение длин оснований трапеции, если $AO=OC$ и данная прямая делит $ΑB$ в отношении $AM:ΜB=2:3.$

Ответ: $7:17.$

13.1. (ЕГЭ 2023) Биссектриса $AM$ острого угла  $A$ равнобедренной трапеции$ABCD$ делит боковую сторону $CD$ пополам. Отрезок $DN$ перпендикулярен отрезку $AM$ и делит сторону $AB$ в отношении $AN:NB =7:1.$

а)  Докажите, что прямые $BM$ и $CN$ перпендикулярны

б)  Найдите длину отрезка $MN,$ если площадь трапеции равна $4\sqrt{55}.$

Решение Ответ: $4.$

13.2. (ЕГЭ 2023) Биссектриса $AM$ острого угла  $A$ равнобедренной трапеции$ABCD$ делит боковую сторону $CD$ пополам. Отрезок $DN$ перпендикулярен отрезку $AM$ и делит сторону $AB$ в отношении $AN:NB =5:1.$

а)  Докажите, что прямые $BM$ и $CN$ перпендикулярны.

б)  Найдите длину отрезка $MN,$ если площадь трапеции равна $3\sqrt{2}.$

Ответ: $1,5.$

До 2023 Читать далее