Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.
16. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром в точке $O.$ Радиус $AO$ перпендикулярен радиусу $OB,$ а радиус $OC$ перпендикулярен радиусу $OD.$
а) Докажите, что $BC \parallel AD.$
б) Найдите площадь треугольника $AOB,$ если длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на $AD,$ равна $9,$ а длина отрезка $BC$ в два раза меньше длины отрезка $AD.$
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.
16. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке $K$. Прямая $p$
касается первой окружности в точке $M$, а второй – в точке $N$.
а) Докажите что расстояние от точки $K$ до прямой $p$ равно $\frac{MK\cdot KN}{MN}$.
б) Найдите площадь треугольника $MNK$, если известно, что радиусы окружностей равны соответственно $12$ и $3$.
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.
16. Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$. Пусть $AB$ – хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке $L$.
а) Докажите, что $KL$ – биссектриса угла $AKB$.
б) Найдите длину отрезка $KL$, если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно $6$ и $2$, а угол $AKB$ равен $90^{\circ}.$
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.
16. Точка $O$ – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. На луче $AO$ отмечена точка $M$ так, что $\angle BAC+\angle AMC=90^{\circ}.$
а) Докажите, что существует точка $P$, одинаково удаленная от точек $B,O,C,M.$
б) Найдите расстояние от точки $P$ до точки $M$, если известно, что $\angle BAC=15^{\circ}$ и $BC=15.$
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.
16. В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина $AC$.
а) Докажите, что длина отрезка $BM$ больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон $AB$ и $BC$.
б) Окружность проходит через точки $B$, $C$, $M$. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой $AB$, если известно, что $AB=5,BC=3,BM=2.$ Читать далее
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №210 А. Ларина.
16. В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC.$
а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из
которых втрое больше другого.
б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD$. Найдите расстояние от вершины $C$ до середины отрезка $OD$, если $BC=16$ и $AB=10$.
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.
16. Точка $E$ – середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD.$ На стороне $AB$ отмечена точка $K$ так, что $CK\parallel AE.$ Прямые $CK,BE$ пересекаются в точке $O.$
а) Докажите, что $CO=OK.$
б) Найдите отношение оснований трапеции $BC$ и $AD,$ если площадь треугольника $BCK$ составляет $0,09$ площади трапеции $ABCD.$
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №207 А. Ларина.
16. В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ – середина стороны $AD$. Отрезок $BE$ пересекает диагональ $AC$ в точке $P$. $AB=PD$.
а) Докажите, что отрезок $BE$ перпендикулярен диагонали $AC$.
б) Найдите площадь параллелограмма, если $AB=2$ см, $BC=3$ см.
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.
16. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Окружности, построенные на
боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках $P$ и $K$.
а) Докажите, что прямые $PK$ и $BC$ перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка $PK$, если известно, что $AD=20,BC=6,AB=16,DC=14.$
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №204 А. Ларина.
16. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $BD$ равна стороне $AD$.
а) Докажите, что прямая $CD$ касается окружности ω, описанной около треугольника $ABD$.
б) Пусть прямая $CB$ вторично пересекает ω в точке $K$. Найдите $KD:AC$ при условии, что угол $BDA$ равен $120^{\circ}.$
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18 Тренировочной работы №203 А. Ларина.
16. Окружности с центрами в точках $A,B$ и $C$ и радиусами, равными $a,b$ и $c$ соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точка $K$, $M$, $P$.
а) Докажите, что отношение площади треугольника $KMP$ к площади треугольника $ABC$ равно $\large \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}.$
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KMP$, если известно, что $a=6, b=7, c=1$.
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №202 А. Ларина.
16. В прямоугольнике $ABCD$ на стороне $BC$ отмечена точка $K$ так, что $BK=2CK$.
а) Докажите, что $BD$ делит площадь треугольника $AKC$ в отношении $3:7$.
б) Пусть $M$ – точка пересечения $AK$ и $BD$, $P$ – точка пересечения $DK$ и $AC$. Найдите длину отрезка $MP,$ если $AB=8,BC=6.$
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №197 А. Ларина.
16. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ описаны около треугольников $AOB$ и $BOC$ соответственно. Пусть $O_1$ – центр окружности $\omega_1$, а $O_2$ – центр окружности $\omega_2$.
а) Докажите, что прямая $BO_1$ касается окружности $\omega_2$, а прямая $BO_2$ касается окружности $\omega_1$.
б) Найдите длину отрезка $O_1O_2$, если известно, что $AB=6,BC=8.$
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №196 А. Ларина.
16. Дан квадрат $ABCD$. На сторонах $AB$ и $BC$ внешним и внутренним образом
соответственно построены равносторонние треугольники $ABK$ и $BCP$.
а) Докажите, что точка $P$ лежит на прямой $DK$.
б) Найдите площадь четырехугольника $PKBC$, если известно, что $AB=2$.
Смотрите также 1-12; №13; №14; №15; №17; №18; №19 профильного Досрочного ЕГЭ по математике от 31.03.17
16. В треугольнике $ABC$ точки $A_1,B_1,C1$ ‐ середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ ‐ высота, $\angle BAC=60^{\circ}, \angle BCA=45^{\circ}$.
а) Докажите, что точки $A_1,B_1,C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_1H$, если $BC=2\sqrt3.$ Читать далее
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
