Задание №16 Т/Р №220 А. Ларина

2018-01-17

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

16. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке K. Прямая p

касается первой окружности в точке M, а второй – в точке N.
а) Докажите что расстояние от точки K до прямой p равно \frac{MK\cdot KN}{MN}.

б) Найдите площадь треугольника MNK, если известно, что радиусы окружностей равны соответственно 12 и 3.

Решение:

a) Пусть O_1,O_2 – центры первой и второй окружностей соответственно.

Пусть \angle O_1MK=\alpha.

Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то O_1M\perp MN и O_2K\perp MN  (p=(MN)).

Стало быть, \angle KMN=90^{\circ}-\alpha.

Треугольник O_1MK – равнобедренный, \angle O_1=180^{\circ}-2\alpha.

Углы MO_1O_2, NO_2O_1 – внутренние односторонние углы при параллельных  O_1M,O_2N и секущей O_1O_2. Тогда \angle NO_2O_1=2\alpha.

Треугольник O_2KN – равнобедренный, \angle KNO_2=90^{\circ}-\alpha.

Наконец, \angle MNK=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha.

Таким образом, треугольник MNK – прямоугольный (\angle K=90^{\circ}).

Пусть KT – расстояние от точки K до прямой MN.

Так как

S_{MNK}=\frac{MK\cdot KN}{2}=\frac{KT\cdot MN}{2},

то

KT=\frac{MK\cdot KN}{MN}.

б) Пусть O_2E\perp O_1M.

EO_2=MN=\sqrt{O_1O_2^2-O_1E^2}=\sqrt{(12+3)^2-(12-3)^2}=12.

S_{MNO_2O_1}=\frac{NO_2+MO_1}{2}\cdot MN=\frac{3+12}{2}\cdot 12=90.

S_{MKO_1}=\frac{12^2\cdot sin(180^{\circ}-2\alpha)}{2}=72sin2\alpha.

S_{NKO_2}=\frac{3^2\cdot sin2\alpha}{2}=4,5sin2\alpha.

sin(180^{\circ}-2\alpha)=sin2\alpha=\frac{12}{15}=\frac{4}{5} (из треугольника O_1EO_2)

Тогда

S_{MNK}=S_{MNO_2O_1}-(S_{MKO_1}+S_{NKO_2})=90-76,5\cdot 0,8=28,8.

Ответ: б) 28,8.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

четыре × три =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif