Задание № 20 Т/Р № 101 А. Ларина

Смотрите также №15,  №16, №17, №18, №19
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$a^x+1-a^2=log_a\frac{1}{x}$

имеет решение, причем любой его корень находится в промежутке $[1; 2]$.

Решение:

 Перепишем уравнение следующим образом:

$a^x+log_ax=a^2-1.$

Левая часть равенства –непрерывная возрастающая функция на $(0;+\infty)$ при $a>1$ (как сумма непрерывных возрастающих функций на $(0;+\infty)$) и непрерывная убывающая функция на $(0;+\infty)$ при $0<a<1$ (как сумма непрерывных убывающих функций на $(0;+\infty)$).

Если функция $a^x+log_ax$ монотонна на $[1;2]$, то на $[1;2]$ уравнение $a^x+log_ax=a^2-1$  имеет не более одного корня.

При $x=1$    значение $a^x+log_ax$   равно $a$.

При $x=2$    значение $a^x+log_ax$   равно  $a^2+log_a2.$

Случай 1. $a>1.$

Потребуем, чтобы $a^2-1$ принадлежало отрезку $[a;a^2+log_a2.]$

$\begin{cases}a^2-1\geq a,\\a^2-1\leq a^2+log_a2;&\end{cases}$

$\begin{cases}a^2-a-1\geq 0,\\log_a2\geq -1;&\end{cases}$

$\begin{cases}(a-\frac{1+\sqrt5}{2})(a-\frac{1-\sqrt5}{2})\geq 0,\\log_a2\geq log_a\frac{1}{a};&\end{cases}$

$\begin{cases}(a-\frac{1+\sqrt5}{2})(a-\frac{1-\sqrt5}{2})\geq 0,\\(a-1)(2-\frac{1}{a})\geq 0,\\a>0,\\a\neq 1;&\end{cases}$

$\begin{cases}(a-\frac{1+\sqrt5}{2})(a-\frac{1-\sqrt5}{2})\geq 0,\\a(a-1)(2a-1)\geq 0,\\a>0,\\a\neq 1;&\end{cases}$

$a\in [\frac{1+\sqrt5}{2};+\infty).$

Случай 2. $0<a<1.$

Потребуем, чтобы $a^2-1$ принадлежало отрезку $[a^2+log_a2;a].$

$\begin{cases}a^2-1\geq a^2+log_a2,\\a(a-1)(2a-1)\geq 0,\\a^2-1\leq a;\end{cases}$

$\begin{cases}log_a2\leq -1,\\a(a-1)(2a-1)\geq 0,\\a^2-a-1\leq 0;\end{cases}$

$\begin{cases}a(a-1)(2a-1)\leq 0,\\a>0,\\a\neq 1,\\(a-\frac{1+\sqrt5}{2})(a-\frac{1-\sqrt5}{2})\leq 0;)\end{cases}$

$a\in [\frac{1}{2};1).$

Объединяем решения, получаем $a\in [\frac{1}{2};1)\cup  [\frac{1+\sqrt5}{2};+\infty).$

Ответ: $[\frac{1}{2};1)\cup  [\frac{1+\sqrt5}{2};+\infty).$