Главная › 17 (С6) Параметры* › Задание № 20 Т/Р № 101 А. Ларина

15 Янв 2015

Категория: 17 (С6) Параметры*ПараметрТ/P A. Ларина

Задание № 20 Т/Р № 101 А. Ларина

Елена Репина 2015-01-15 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.
Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$a^x+1-a^2=log_a\frac{1}{x}$

имеет решение, причем любой его корень находится в промежутке $[1; 2]$ .

Решение:

Перепишем уравнение следующим образом:

$a^x+log_ax=a^2-1.$

Левая часть равенства –непрерывная возрастающая функция на $(0;+\infty)$ при $a>1$ (как сумма непрерывных возрастающих функций на $(0;+\infty)$ ) и непрерывная убывающая функция на $(0;+\infty)$ при $0<a<1$ (как сумма непрерывных убывающих функций на $(0;+\infty)$ ).

Если функция $a^x+log_ax$ монотонна на $[1;2]$ , то на $[1;2]$ уравнение $a^x+log_ax=a^2-1$ имеет не более одного корня.

При $x=1$ значение $a^x+log_ax$ равно $a$ .

При $x=2$ значение $a^x+log_ax$ равно $a^2+log_a2.$

Случай 1. $a>1.$

Потребуем, чтобы $a^2-1$ принадлежало отрезку $[a;a^2+log_a2.]$

$\begin{cases} a^2-1\geq a,& &a^2-1\leq a^2+log_a2;& \end{cases}$

$\begin{cases} a^2-a-1\geq 0,& &log_a2\geq -1;& \end{cases}$

$\begin{cases} (a-\frac{1+\sqrt5}{2})(a-\frac{1-\sqrt5}{2})\geq 0,& &log_a2\geq log_a\frac{1}{a};& \end{cases}$

$\begin{cases} (a-\frac{1+\sqrt5}{2})(a-\frac{1-\sqrt5}{2})\geq 0,& &(a-1)(2-\frac{1}{a})\geq 0,& &a>0,& &a\neq 1;& \end{cases}$

$\begin{cases} (a-\frac{1+\sqrt5}{2})(a-\frac{1-\sqrt5}{2})\geq 0,& &a(a-1)(2a-1)\geq 0,& &a>0,& &a\neq 1;& \end{cases}$

$a\in [\frac{1+\sqrt5}{2};+\infty).$

Случай 2. $0<a<1.$

Потребуем, чтобы $a^2-1$ принадлежало отрезку $[a^2+log_a2;a].$

$\begin{cases} a^2-1\geq a^2+log_a2,& &a^2-1\leq a;& \end{cases}$

$\begin{cases} log_a2\leq -1,& &a^2-a-1\leq 0;& \end{cases}$

$\begin{cases} a(a-1)(2a-1)\leq 0,& &a>0,& &a\neq 1,& &(a-\frac{1+\sqrt5}{2})(a-\frac{1-\srt5}{2})\leq 0;& \end{cases}$

$a\in [\frac{1}{2};1).$

Объединяем решения, получаем $a\in [\frac{1}{2};1)\cup [\frac{1+\sqrt5}{2};+\infty).$

Ответ: $[\frac{1}{2};1)\cup [\frac{1+\sqrt5}{2};+\infty).$

Автор: egeMax | комментариев 10

Печать страницы

комментариев 10

Дима

2015-03-18 в 18:18

Опечатка. Корень над пятеркой потерялся:)

[ Ответить ]
- Дима
  
  2015-03-18 в 18:21
  
  А зачем в системе условие, что a>0, если рассматриваем случай, когда a>1?
  
  [ Ответить ]
  - Дима
    
    2015-03-18 в 18:27
    
    И я со знаками запутался в строчке, где вы преобразовываете логарифмы. В одном месте Вы вообще не написали знак. А потом домножая на -1, кажется, не поменяли знак.
    
    [ Ответить ]
    - Дима
      
      2015-03-18 в 18:28
      
      А, это я туплю. Вы нигде не домножали на -1. Извиняюсь)
      
      [ Ответить ]
  - egeMax
    
    2015-03-18 в 20:48
    
    Да, можно бы было и не указывать. Но если бы решали самостоятельную систему, то указать, что а>0 нужно бы было обязательно.
    
    [ Ответить ]
    - Дима
      
      2015-03-19 в 16:57
      
      Понятно, Спасибо!)
      
      [ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-03-19 в 17:10
  
  Спасибо большое.
  
  [ Ответить ]
Марат

2015-05-12 в 15:36

Как в целом понимать монотонна функция или нет?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-12 в 16:33
  
  Марат, если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.
  
  [ Ответить ]
  - Марат
    
    2015-05-13 в 16:15
    
    Спасибо большое Вам
    
    [ Ответить ]

Задание № 20 Т/Р № 101 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ