Задание № 20 Т/Р № 101 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15,  №16№17№18№19.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

a^x+1-a^2=log_a\frac{1}{x}

имеет решение, причем любой его корень находится в промежутке [1; 2].

Решение:

 Перепишем уравнение следующим образом:

a^x+log_ax=a^2-1.

Левая часть равенства –непрерывная возрастающая функция на (0;+\infty) при a>1 (как сумма непрерывных возрастающих функций на (0;+\infty)) и непрерывная убывающая функция на (0;+\infty) при 0<a<1 (как сумма непрерывных убывающих функций на (0;+\infty)).

Если функция a^x+log_ax монотонна на [1;2], то на [1;2] уравнение a^x+log_ax=a^2-1  имеет не более одного корня.

При x=1    значение a^x+log_ax   равно a.

При x=2    значение a^x+log_ax   равно  a^2+log_a2.

Случай 1. a>1.

Потребуем, чтобы a^2-1 принадлежало отрезку [a;a^2+log_a2.]

\begin{cases} a^2-1\geq a,& &a^2-1\leq a^2+log_a2;& \end{cases}

\begin{cases} a^2-a-1\geq 0,& &log_a2\geq -1;& \end{cases}

\begin{cases} (a-\frac{1+\sqrt5}{2})(a-\frac{1-\sqrt5}{2})\geq 0,& &log_a2\geq log_a\frac{1}{a};& \end{cases}

\begin{cases} (a-\frac{1+\sqrt5}{2})(a-\frac{1-\sqrt5}{2})\geq 0,& &(a-1)(2-\frac{1}{a})\geq 0,& &a>0,& &a\neq 1;& \end{cases}

\begin{cases} (a-\frac{1+\sqrt5}{2})(a-\frac{1-\sqrt5}{2})\geq 0,& &a(a-1)(2a-1)\geq 0,& &a>0,& &a\neq 1;& \end{cases}

a\in [\frac{1+\sqrt5}{2};+\infty).

Случай 2. 0<a<1.

Потребуем, чтобы a^2-1 принадлежало отрезку [a^2+log_a2;a].

\begin{cases} a^2-1\geq a^2+log_a2,& &a^2-1\leq a;& \end{cases}

\begin{cases} log_a2\leq -1,& &a^2-a-1\leq 0;& \end{cases}

\begin{cases} a(a-1)(2a-1)\leq 0,& &a>0,& &a\neq 1,& &(a-\frac{1+\sqrt5}{2})(a-\frac{1-\srt5}{2})\leq 0;& \end{cases}

a\in [\frac{1}{2};1).

Объединяем решения, получаем a\in [\frac{1}{2};1)\cup  [\frac{1+\sqrt5}{2};+\infty).

Ответ: [\frac{1}{2};1)\cup  [\frac{1+\sqrt5}{2};+\infty).

Печать страницы
Комментариев: 10
  1. Дима

    Опечатка. Корень над пятеркой потерялся:)

    [ Ответить ]
    • Дима

      А зачем в системе условие, что a>0, если рассматриваем случай, когда a>1?

      [ Ответить ]
      • Дима

        И я со знаками запутался в строчке, где вы преобразовываете логарифмы. В одном месте Вы вообще не написали знак. А потом домножая на -1, кажется, не поменяли знак.

        [ Ответить ]
        • Дима

          А, это я туплю. Вы нигде не домножали на -1. Извиняюсь)

          [ Ответить ]
      • egeMax

        Да, можно бы было и не указывать. Но если бы решали самостоятельную систему, то указать, что а>0 нужно бы было обязательно.

        [ Ответить ]
        • Дима

          Понятно, Спасибо!)

          [ Ответить ]
    • egeMax

      Спасибо большое.

      [ Ответить ]
  2. Марат

    Как в целом понимать монотонна функция или нет?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Марат, если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

      [ Ответить ]
      • Марат

        Спасибо большое Вам

        [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif