Задание №16 Т/Р №209 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

16. Точка $E$ – середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD.$ На стороне $AB$ отмечена точка $K$  так, что $CK\parallel AE.$ Прямые $CK,BE$ пересекаются в точке $O.$

а) Докажите, что $CO=OK.$

б) Найдите отношение оснований трапеции $BC$ и $AD,$ если площадь треугольника $BCK$ составляет $0,09$ площади трапеции $ABCD.$

Решение:

а) Пусть $F$– точка пересечения $AB,DC.$

Пусть $BF=x, FC=y.$

Пусть коэффициент подобия $\Delta BFC,\Delta AFD$  – $k$.

Тогда $AF=kx,FD=ky.$

С учетом того, что $E$ – середина $CD,$ имеем: $CE=ED=\frac{y(k-1)}{2}.$

Треугольники $FKC,FAE$ подобны по двум углам (угол $F$ – общий, углы $FKC,FAE$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $KC,AE$ и секущей $AB$).

Тогда

$\frac{FK}{FA}=\frac{FC}{FE};$

$\frac{FK}{kx}=\frac{y}{y+\frac{y(k-1)}{2}};$

$FK=\frac{2kx}{1+k};$

Замечаем, что $FB:FK=FE:FD.$ Действительно,

$\frac{x}{\frac{2kx}{1+k}}=\frac{y+\frac{y(k-1)}{2}}{ky};$

$\frac{x}{\frac{2kx}{1+k}}=\frac{y+yk}{2ky};$

$\frac{k+1}{2k}=\frac{k+1}{2k}.$

Учитывая, что у треугольников $FKD,FBE$ общий угол $F$ и $FB:FK=FE:FD$, получаем, что $\Delta FKD$ подобен $\Delta FBE.$ Откуда $BE\parallel KD.$

Тогда по теореме о пропорциональных отрезках $CE:ED=CO:OK.$ Так как $CE=ED,$ то и $CO=OK.$

 Что и требовалось доказать.

б) Если $S$ – площадь треугольника $BCF,$ то в силу подобия $BCF,ADF$

 $S_{AFD}=k^2S$ ($k$ – из пункта (a)).

Тогда $S_{ABCD}=S(k^2-1)$.

Согласно условию $S_{BCK}=\frac{9S(k^2-1)}{100}.$

Так как $\frac{S_{BCF}}{S_{BCK}}=\frac{BF}{BK},$  то, используя данные пункта (а), получаем:

$\frac{S_{BCF}}{S_{BCK}}=\frac{k+1}{k-1}.$

Далее,

$\frac{S}{\frac{9S(k^2-1)}{100}}=\frac{k+1}{k-1};$

$\frac{100}{9(k^2-1)}=\frac{k+1}{k-1};$

$\frac{100}{9(k+1)}=k+1;$

$(k+1)^2=\frac{100}{9};$

$k=\frac{7}{3}.$

Итак, $BC:AD=3:7.$

Ответ: $3:7.$

Аналогичную задачу можно посмотреть здесь