Задание №16 Т/Р №209 А. Ларина

2017-10-31

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

16. Точка E – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB отмечена точка K  так, что CK\parallel AE. Прямые CK,BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO=OK.

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 0,09 площади трапеции ABCD.

Решение:

а) Пусть F– точка пересечения AB,DC.

Пусть BF=x, FC=y.

Пусть коэффициент подобия \Delta BFC,\Delta AFD  – k.

Тогда AF=kx,FD=ky.

С учетом того, что E – середина CD, имеем: CE=ED=\frac{y(k-1)}{2}.

Треугольники FKC,FAE подобны по двум углам (угол F – общий, углы FKC,FAE равны как соответственные углы при параллельных прямых KC,AE и секущей AB).

Тогда

\frac{FK}{FA}=\frac{FC}{FE};

\frac{FK}{kx}=\frac{y}{y+\frac{y(k-1)}{2}};

FK=\frac{2kx}{1+k};

Замечаем, что FB:FK=FE:FD. Действительно,

\frac{x}{\frac{2kx}{1+k}}=\frac{y+\frac{y(k-1)}{2}}{ky};

\frac{x}{\frac{2kx}{1+k}}=\frac{y+yk}{2ky};

\frac{k+1}{2k}=\frac{k+1}{2k}.

Учитывая, что у треугольников FKD,FBE общий угол F и FB:FK=FE:FD, получаем, что \Delta FKD подобен \Delta FBE. Откуда BE\parallel KD.

Тогда по теореме о пропорциональных отрезках CE:ED=CO:OK. Так как CE=ED, то и CO=OK.

 Что и требовалось доказать.

б) Если S – площадь треугольника BCF, то в силу подобия BCF,ADF

 S_{AFD}=k^2S (k – из пункта (a)).

Тогда S_{ABCD}=S(k^2-1).

Согласно условию S_{BCK}=\frac{9S(k^2-1)}{100}.

Так как \frac{S_{BCF}}{S_{BCK}}=\frac{BF}{BK},  то, используя данные пункта (а), получаем:

\frac{S_{BCF}}{S_{BCK}}=\frac{k+1}{k-1}.

Далее,

\frac{S}{\frac{9S(k^2-1)}{100}}=\frac{k+1}{k-1};

\frac{100}{9(k^2-1)}=\frac{k+1}{k-1};

\frac{100}{9(k+1)}=k+1;

(k+1)^2=\frac{100}{9};

k=\frac{7}{3}.

Итак, BC:AD=3:7.

Ответ: 3:7.

Аналогичную задачу можно посмотреть здесь

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

восемнадцать + 5 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif