Разбор отдельных заданий части С. Основная волна, 2 июня 2017
13.1. а) Решите уравнение 
б) Найдите корни уравнения из отрезка ![Rendered by QuickLaTeX.com [\frac{3\pi}{2};3\pi].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e2659b5ac1eef4f9d9327922962d679_l3.svg)
Решение: + показать
а)

Наблюдаем квадратного уравнение относительно 

или 
или 
или 
или

б) Корни уравнения из отрезка ![Rendered by QuickLaTeX.com [\frac{3\pi}{2};3\pi]:](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3fca748ec54decba897241779d9d4de_l3.svg)


Ответ:
а)
;

б)
13.2. а) Решите уравнение 
б) Найдите корни уравнения из отрезка ![Rendered by QuickLaTeX.com [-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-50b97a5b1efceafe6a548815c56b655b_l3.svg)
Решение: + показать
а)






или 
или
или

б) Корни уравнения из отрезка ![Rendered by QuickLaTeX.com [-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}]:](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0d9989d028a12c1258b7736690a9b6ef_l3.svg)


Ответ:
а)
,
,

б)
14.1. Дана пирамида
, в основании которой – трапеция
, причём 
Плоскости
и
и перпендикулярны плоскости основания пирамиды.
Прямые
и
пересекаются в точке
.
а) Доказать, что 
б) Найти
если
а высота пирамиды равна 
Решение:+ показать
а) Заметим, так как
то 
Прямая
лежащая в
перпендикулярна линии пересечения перпендикулярных плоскостей
а значит, по свойству перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна плоскости 
По признаку перпендикулярности плоскостей, раз плоскость
содержит перпендикуляр
к плоскости
то плоскости
перпендикулярны, что и требовалось доказать.

б) Как уже говорилось,
значит, в частности, 
Аналогично, используя то, что
имеем, в частности, 
То есть
перпендикулярна плоскости
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Поскольку трапеция
равнобедренная, то
то есть прямоугольный треугольник
– равнобедренный, и поскольку его гипотенуза равна
согласно условию, то 
Итак, 
Ответ:
.
14.2. На ребрах
и
треугольной пирамиды
отмечены точки
и 
соответственно, причем
. Точки
и
– середины рёбер
и
соответственно.
а) Докажите, что точки
и
лежат в одной плоскости.
б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.
Решение: + показать
a)
– средняя линия треугольника

Так как
, то 
По признаку параллельности прямых
Это означает, что точки
и
лежат в одной плоскости.

б)
где
– высота, опущенная из
на 
Будем искать объем многогранника
как сумму объемов пирамид

Треугольники
подобны, коэффициент подобия –
Поэтому
то есть 
Заметим, высота пирамиды
(основание –
) –
(из подобия треугольников
с коэффициентом
(
– основания перпендикуляров к плоскости
из
)).

С другой стороны
где
– высота, опущенная из
на 
Заметим, высота пирамиды
(основание –
) –
(аналогично рассуждениям выше).
Тогда

Несложно заметить, 
Стало быть, 
Итак, 
При этом объем второго многогранника
есть 
Наконец, искомое отношение объемов многогранников – есть 
Ответ: б)
.
14.3. Основанием прямой треугольной призмы
является прямоугольный треугольник
с прямым углом
. Диагонали боковых граней
и
равны
и
соответственно, 
а) Докажите, что треугольник
прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды 
Решение: + показать
15.1. Решить неравенство

Решение: + показать






Применяем метод замены множителей:



{
}
Ответ:
{
}
15.2. Решить неравенство

Решение: + показать


Пусть 




Обратная замена:


Применяем метод замены множителей:


{
}
Ответ:
{
}
16.1. Точка
– середина боковой стороны
трапеции
На стороне
отмечена точка
так, что
Прямые
пересекаются в точке 
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение оснований трапеции
и
если площадь треугольника
составляет
площади трапеции 
Решение: + показать
а) Пусть
– точка пересечения 
Пусть 
Пусть коэффициент подобия
–
.
Тогда 
С учетом того, что
– середина
имеем: 

Треугольники
подобны по двум углам (угол
– общий, углы
равны как соответственные углы при параллельных прямых
и секущей
).
Тогда



Замечаем, что
Действительно,



Учитывая, что у треугольников
общий угол
и
, получаем, что
подобен
Откуда 
Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
Так как
то и 
Что и требовалось доказать.
б) Если
– площадь треугольника
то в силу подобия 
(
– из пункта (a)).
Тогда
.
Согласно условию 

Так как
то, используя данные пункта (а), получаем:

Далее,





Итак, 
Ответ:
16.2. Две окружности с центрами
и
пересекаются в точках
и
, причём точки
и
лежат по разные стороны от прямой
. Продолжения диаметра
первой окружности и хорды
этой окружности пересекают вторую окружности в точках
и
соответственно.
а) Докажите, что треугольники
и
подобны.
б) Найдите
, если
радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и
.
Решение: + показать
а) Линия центров
перпендикулярна прямой
Действительно, из равенства треугольников
по трем сторонам вытекает равенство углов, например,
равенство указаных углов говорит о том, что
содержит биссектрису угла
треугольника
а поскольку треугольник
равнобедренный, то 
Угол
опирается на диаметр
первой окружности, поэтому
То есть и 
Имеем: 
Откуда 
Также замечаем, что вписанный и центральный углы
опираются на одну дугу, то есть
– биссектриса угла
потому 
Итак, треугольники
и
подобны по двум углам.

б) Очевидно,
– диаметр второй окружности (угол
– прямой, опирается на
).
Треугольники
подобны по двум углам (
по условию).



Ответ: б)
16.3. Основания трапеции равны
и
, а её диагонали равны
и
.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
Решение: + показать
17.1. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг увеличивается на
% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по
рублей, то кредит будет полностью погашен за
года, а если ежегодно выплачивать по
рублей, то кредит будет полностью погашен за
года. Найдите
.
Решение:+ показать
Пусть кредит взят на сумму
рублей.
Пусть 
Поскольку банковский процент –
, то каждый январь остаток долга будет умножаться на коэффициент
назовем его 
Первая схема
В первый год после действия процента и первой выплаты в
рублей на счету останется:
рублей,
во второй год после действия процента и выплаты в
рублей на счету останется:
рублей
и так далее.
Наконец, четвертой выплатой в
рублей кредит полностью погашается:
(1)
Вторая схема
В первый год после действия процента и первой выплаты в
рублей на счету останется:
рублей,
Второй выплатой в
рублей кредит полностью погашается:
(2)
Итак, из (1)

а из (2)

Тогда








Откуда


Ответ:
17.2. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
– в январе каждого года долг увеличивается на
% по сравнению с предыдущим годом
– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Определите, на какую сумму взяли в кредит в банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на
рублей больше суммы взятого кредита.
Решение:+ показать
Пусть кредит был взят на сумму
рублей.
После первого действия процента на счету окажется
рублей.
Пусть размер платежа –
рублей.
Тогда после первой выплаты долг составит
рублей.
Процент срабатывает второй раз, на счету –
После второй выплаты долг составит
рублей.
Процент срабатывает третий раз, на счету – 
Кредит был выплачен тремя равными платежами (за три года), потому

При этом согласно условию 
Тогда



Откуда
рублей.
Ответ:
17.3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму
млн. рублей на неко- торый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на
% по сравнению с концом преды- дущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила
млн. рублей?
Решение:+ показать
Пусть кредит был взят на
лет.
Первая выплата составила 
Вторая выплата составила 
Третья выплата составила 
И так далее…
Последняя выплата составила 
Общая сумма выплат:

По условию общая сумма выплат после полного погашения кредита составила
млн. рублей, поэтому



Ответ:
18.1. Найти все значения параметра
, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке ![Rendered by QuickLaTeX.com [0;3].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-290b1c58191b341d93213cb242a10d65_l3.svg)
Решение:+ показать
Необходимо найти значения
, при которых данная система

имеет одно решение.


Заметим,
удовлетворяют последней строке системы.
Случай 1
– единственное решение системы.
Тогда



![Rendered by QuickLaTeX.com a\in (-2,6;-2,4]\cup [2,4;2,6).](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-34fddf28c16135c88ca49a329ae03b47_l3.svg)
Случай 2
– единственное решение системы.
Тогда


Нет значений
, отвечающих системе.
Случай 3
– единственное решение системы.
Тогда


Нет значений
, отвечающих системе.
Итак, ![Rendered by QuickLaTeX.com a\in (-2,6;-2,4]\cup [2,4;2,6).](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d9be25f89097e07f7d7ba4f5bd47ee2d_l3.svg)
Ответ:
19.1. На доске написано
различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру
, или на цифру
. Сумма написанных чисел равна
.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на
и на
.
б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на
?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на
, может быть записано на доске?
Решение: + показать
а) Нет, на доске не может быть написано поровну чисел, оканчивающихся на
и на
. В противном случае сумма таких чисел оканчивалась бы на
(
), что противоречит условию.
б) Нет, среди чисел на доске не может ровно одно число заканчиваться на
Это бы означало, что
чисел должно оканчиваться на
. Но даже если брать
, то сумма
таких слагаемых будет
то есть
что больше 
в) Определим, какое наибольшее количество чисел, оканчивающихся на
может быть записано на доске.
Пусть на доске
чисел, оканчивающихся на
Сумма
таких чисел будет не меньше суммы набора 
Решим неравенство:




Вторая скобка неравенства положительна.

Так как
то 
Наибольшее натуральное
отвечающее неравенству, – это 
Если мы берем
то сумма всех чисел должна оканчиваться на
так как
что противоречит условию.
При
сумма всех чисел должна оканчиваться на
так как
что противоречит условию.
При
сумма всех чисел должна оканчиваться на
так как
что противоречит условию.
Подберем вариант, когда 
.
Ответ: а) нет; б) нет; в)
Здравствуйте, Елена Юрьеана! Нет ли опечатки в условии задачи 16.1? А именно: а) СО=СК?
Нина, спасибо большое! Подправила.
Спасибо большое!
Здравствуйте, Елена Юрьевна. В задании 15.1 по ОДЗ х больше 0 должен ведь быть.
Ну это только я так могу – написать одз в самом решении, пометить на картинке, но не записать в ответе…
Кошмар!
У меня проблемы с сайтом были, не выдержал нагрузку, – загружался через раз, через два… все внимание рассеялось…
Спасибо!
Добрый день, Елена Юрьевна. Хочется поделиться своим решением пункта а) задачи 14. К сожалению, у меня не получилось скопировать чертёж. Попробую “на пальцах”. Продолжим ВЕ до пересечения с АD в точке Р. Тогда получится две пары подобных треугольников ВОСи РЕА, КВО АВЕ. Из первой пары ОС = АЕ*ОВ/РЕ, из второй ОК= АЕ*ОВ/ВЕ, но РЕ=ВЕ, т. к. треугольники ВСЕ и РDE равны, значит, ОС = ОК.
.
Так как ВСЕ = PDE, то ВЕ = РЕ.
Значит, ОС = ОК.
Простите, задача-то 16.
Татьяна, спасибо большое!
Елена Юрьевна, здравствуйте! Задача 14.2: Треугольники МВС(MBN?) и АВС подобны. И далее в отношении площадей – МВN.
Спасибо Вам огромное.
Нина, спасибо большое!
а в 13.2 делить на 4 в степени х это законно? нужно ли как-то проверять на потерю корней?
Деление на 4^x не производилось! Читайте внимательней!