Задание 17 Пробник 14.12.23

В параллелограмие $ABCD$ со сторонами $AD=12, AB=4$ и углом $A,$ равным 30°, проведены биссектрисы всех четырёх углов.

а) Докажите, что четырёхугольник, ограниченный биссектрисами, прямоугольник.

б) Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Решение:

а) Пусть биссектрисы соседних углов А и В пересекаются в точке Q.

$\angle A+\angle B=180^{\circ};$

$\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B=90^{\circ}.$

Тогда из треугольника $ABQ$

$\angle Q=180^{\circ}-(\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B)=90^{\circ}.$

Аналогично с биссектрисы соседних углов $A$ и $D,$ $B$ и $C,$ $C$ и $D$ образуют при пересечении прямой угол.

Таким образом, четырехугольник $QEPF$, образованный биссектрисами углов, – прямоугольник.

б) Так как биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник, то $AB=BM=4, BM=BA=4, CR=CD=4, DC=DN=4$ (см. рис.). С учетом $AD=12,$ получаем, что и $MR=TN=4$ (см. рис).

Наблюдаем 8 равных треугольников $\Delta ABQ=\Delta MBQ=…=\Delta TAQ$ (см.рис), обозначим их площадь $S.$

$S_{QEPF}=S_{ABCD}-6S+S_{MER}+S_{TFN}=S_{ABCD}-6S+2S=S_{ABCD}-4S.$

$S_{ABCD}=4\cdot 12\cdot sin 30^{\circ}=24;$

$S_{ABT}=2S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot sin 30^{\circ}=4.$

Итак, $S_{QEPF}=24-8=16.$

Ответ: $16.$