Задание №16 Т/Р №197 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №197 А. Ларина.

16. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ описаны около треугольников $AOB$ и $BOC$ соответственно. Пусть $O_1$ – центр окружности $\omega_1$, а $O_2$ – центр окружности $\omega_2$.
а) Докажите, что прямая $BO_1$ касается окружности $\omega_2$, а прямая $BO_2$ касается окружности $\omega_1$.
б) Найдите длину отрезка $O_1O_2$, если известно, что $AB=6,BC=8.$

Решение:

a) Так как центр описанной окружности около треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам  треугольника, то $OO_1\perp AB$ и $OO_2\perp BC.$

Но тогда $OO_1\perp OO_2.$

Из равенства треугольников $OO_1O_2,BO_1O_2$ (по третьему признаку) вытекает равенство углов $B$ и $O.$ Но тогда  угол $O_1BO_2$ – прямой, что и говорит о том, что что прямая $BO_1$ касается окружности $\omega_2$, а прямая $BO_2$ касается окружности $\omega_1$.

б)

$O_1O=\frac{AB\cdot BO\cdot AO}{4S_{ABO}}=\frac{6\cdot 5\cdot 5}{4\cdot 12}=\frac{25}{8};$

$O_2O=\frac{BC\cdot BO\cdot OC}{4S_{BCO}}=\frac{8\cdot 5\cdot 5}{4\cdot 12}=\frac{25}{6}.$

Из треугольника $OO_1O_2:$

$O_1O_2=\sqrt{OO_1^2+OO_2^2}=\sqrt{(\frac{25}{8})^2+(\frac{25}{6})^2}=\frac{125}{24}.$

Ответ: б) $\frac{125}{24}.$