Задание №15 Т/Р №197 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №197 А. Ларина.

15. Решите неравенство

$\large \frac{4^{\sqrt{x-1}}-5\cdot 2^{\sqrt{x-1}}+4}{log^2_2(7-x)}\geq 0.$

Решение:

(При решении неравенства неоднократно будет использоваться метод замены множителей)

$\large\frac{4^{\sqrt{x-1}}-5\cdot 2^{\sqrt{x-1}}+4}{log^2_2(7-x)}\geq 0;$

$\large \frac{(2^{\sqrt{x-1}}-1)(2^{\sqrt{x-1}}-4)}{log^2_2(7-x)}\geq 0;$

$\large\frac{(2^{\sqrt{x-1}}-2^0)(2^{\sqrt{x-1}}-2^2)}{(log_2(7-x)-log_21)^2}\geq 0;$

$\begin{cases}\large\frac{(\sqrt{x-1}-0)(\sqrt{x-1}-2)}{(7-x-1)^2}\geq 0,\\7-x>0;\end{cases}$

$\begin{cases}\large\frac{(\sqrt{x-1}-\sqrt0)(\sqrt{x-1}-\sqrt4)}{(6-x)^2}\geq 0,\\7-x>0;\end{cases}$

$\begin{cases}\large\frac{(x-1)(x-1-4)}{(6-x)^2}\geq 0,\\x-1\geq 0,\\7-x>0;\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{(x-1)(x-5)}{(6-x)^2}\geq 0,\\x\geq 1,\\x<7;\end{cases}$

$x\in \{1\}\cup [5;6)\cup (6;7).$

Ответ: $x\in \{1\}\cup [5;6)\cup (6;7).$