Задание №20 (С5) из Т/Р №92 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

$\begin{cases}y^2+xy-7x-14y+49=0,\\y=ax^2+1,\\x\geq 3;&\end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Решение:

$\begin{cases}(y^2-14y+49)+(xy-7x)=0,\\y=ax^2+1,\\x\geq 3;&\end{cases}$

$\begin{cases}(y-7)^2+x(y-7)=0,\\y=ax^2+1,\\x\geq 3;&\end{cases}$

$\begin{cases}(y-7)(y-7+x)=0,\\y=ax^2+1,\\x\geq 3;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}y=7,\\y=-x+7;\end{array}\right.\\y=ax^2+1,\\x\geq 3;&\end{cases}$

Найдем $a$, отвечающее за прохождение параболы $y=ax^2+1$ через т. $A(3;7)$:

 $7=a\cdot 3^2+1;$

$a=\frac{2}{3}.$

Найдем $a$, отвечающее за прохождение параболы $y=ax^2+1$ через т. $B(3;4)$:

 $4=a\cdot 3^2+1;$

$a=\frac{1}{3}.$

Найдем $a$, отвечающее за касание параболы $y=ax^2+1$ прямой $y=-x+7$  (т. $C$):

Уравнение $ax^2+1=-x+7$ должно иметь единственное решение, то есть нас интересуют те $a$, при которых $D=0.$

Имеем: $1-24a=0,$ то есть $a=-\frac{1}{24}.$

Исходная система имеет одно решение при таких $a$, что отвечают за положение параболы $y=ax^2+1$ внутри зоны, помеченной на рисунке синим цветом, включая верхнюю границу. Также нам подходит случай вырождения параболы в прямую ($a=0$) и  случай, когда $a=-\frac{1}{24}$.

$a\in ${$-\frac{1}{24};0$}$(\frac{1}{3};\frac{2}{3}].$

Ответ: {$-\frac{1}{24};0$}$(\frac{1}{3};\frac{2}{3}].$