Задание №20 (С5) из Т/Р №92 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15№16№17№18№19.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  

\begin{cases} y^2+xy-7x-14y+49=0,& &y=ax^2+1,& &x\geq 3;& \end{cases}

имеет ровно одно решение.

Решение:

\begin{cases} (y^2-14y+49)+(xy-7x)=0,& &y=ax^2+1,& &x\geq 3;& \end{cases}

\begin{cases} (y-7)^2+x(y-7)=0,& &y=ax^2+1,& &x\geq 3;& \end{cases}

\begin{cases} (y-7)(y-7+x)=0,& &y=ax^2+1,& &x\geq 3;& \end{cases}

\begin{cases} \left[\begin{gathered} y=7,& y=-x+7;& \end{gathered}\right& &y=ax^2+1,& &x\geq 3;& \end{cases}

Найдем a, отвечающее за прохождение параболы y=ax^2+1 через т. A(3;7):

 7=a\cdot 3^2+1;

a=\frac{2}{3}.

Найдем a, отвечающее за прохождение параболы y=ax^2+1 через т. B(3;4):

 4=a\cdot 3^2+1;

a=\frac{1}{3}.

Найдем a, отвечающее за касание параболы y=ax^2+1 прямой y=-x+7  (т. C):

Уравнение ax^2+1=-x+7 должно иметь единственное решение, то есть нас интересуют те a, при которых D=0.

Имеем: 1-24a=0, то есть a=-\frac{1}{24}.

Исходная система имеет одно решение при таких a, что отвечают за положение параболы y=ax^2+1 внутри зоны, помеченной на рисунке синим цветом, включая верхнюю границу. Также нам подходит случай вырождения параболы в прямую (a=0) и  случай, когда a=-\frac{1}{24}.

a\in{-\frac{1}{24};0}(\frac{1}{3};\frac{2}{3}].

Ответ: {-\frac{1}{24};0}(\frac{1}{3};\frac{2}{3}].

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif