Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
$\begin{cases}y^2+xy-7x-14y+49=0,\\y=ax^2+1,\\x\geq 3;&\end{cases}$
имеет ровно одно решение.
Решение:
$\begin{cases}(y^2-14y+49)+(xy-7x)=0,\\y=ax^2+1,\\x\geq 3;&\end{cases}$
$\begin{cases}(y-7)^2+x(y-7)=0,\\y=ax^2+1,\\x\geq 3;&\end{cases}$
$\begin{cases}(y-7)(y-7+x)=0,\\y=ax^2+1,\\x\geq 3;&\end{cases}$
$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}y=7,\\y=-x+7;\end{array}\right.\\y=ax^2+1,\\x\geq 3;&\end{cases}$
Найдем $a$, отвечающее за прохождение параболы $y=ax^2+1$ через т. $A(3;7)$:
$7=a\cdot 3^2+1;$
$a=\frac{2}{3}.$
Найдем $a$, отвечающее за прохождение параболы $y=ax^2+1$ через т. $B(3;4)$:
$4=a\cdot 3^2+1;$
$a=\frac{1}{3}.$
Найдем $a$, отвечающее за касание параболы $y=ax^2+1$ прямой $y=-x+7$ (т. $C$):
Уравнение $ax^2+1=-x+7$ должно иметь единственное решение, то есть нас интересуют те $a$, при которых $D=0.$
Имеем: $1-24a=0,$ то есть $a=-\frac{1}{24}.$
Исходная система имеет одно решение при таких $a$, что отвечают за положение параболы $y=ax^2+1$ внутри зоны, помеченной на рисунке синим цветом, включая верхнюю границу. Также нам подходит случай вырождения параболы в прямую ($a=0$) и случай, когда $a=-\frac{1}{24}$.
$a\in ${$-\frac{1}{24};0$}$(\frac{1}{3};\frac{2}{3}].$
Ответ: {$-\frac{1}{24};0$}$(\frac{1}{3};\frac{2}{3}].$
Почему исключаем одну третью?
Иначе не одно решение выходит! В точку В не следует наступать))