Архив по категории: 18 Параметры*

Путеводитель по задачам с параметром

2024-01-01

 

!! Смотрите также ПОДБОРКУ ЗАДАЧ №18 (с ответами) для подготовки к ЕГЭ !!



Системы с параметром + показать


Уравнения с параметром + показать


Неравенства с параметром + показать


Функции с параметром + показать

Задание 18 Пробник 14.12.2023

2024-01-01

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

$(a+3)cos^2x+2(a^2+3a)cosx+8a^2+8a-48=0$

имеет хотя бы один корень.

Решение:

$(a+3)cos^2x+2(a^2+3a)cosx+8a^2+8a-48=0;$

$(a+3)cos^2x+2a(a+3)cosx+8(a+3)(a-2)=0;$

$(a+3)(cos^2x+2acosx+8a-16)=0.$

Пусть $cosx=m, |m|\leq 1.$

$(a+3)(m^2-16+2a(m+4))=0$ (*)

Если (*) имеет хотя бы один корень при $|m|\leq 1,$ то и исходное также имеет один корень.

$(a+3)((m-4)(m+4)+2a(m+4))=0;$
$(a+3)(m+4)(m-4+2a)=0.$

$a=-3$ или $m=4-2a$ при $|m|\leq 1.$

Работаем в системе координат $(a;m):$

Устраивают следующие значения $a:$

$a\in${$-3$}$\cup[1,5;2,5].$

Ответ: {$-3$}$\cup[1,5;2,5].$

Задание 17 ЕГЭ 2023

2023-08-16

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых

$\begin{cases}(|x+1|+|x-3|-y)\sqrt{10-x-y}=0,\\y=x+a;&\end{cases}$

система уравнений имеет 2 различных решения.

Решение:

Рассмотрим первую строку системы:

$y=|x+1|+|x-3|$ (при условии $y\leq 10-x$) или $y=10-x.$

Множество $y=|x+1|+|x-3|$

в зоне $x<-1$ есть $y=-2x+2,$

в зоне $-1\leq x\leq 3$ есть $y=4,$

в зоне $x>3$ есть $y=2x-2.$

Вторая строка системы – семейство параллельных прямых под углом 45 градусов к оси (ох).

Заметим, $y=2x-2$ пересекается с $y=10-x$ в точке $(4;6).$ А прямая $y=x+a$ проходит через указанную точку при $a=2.$
Заметим, $y=-2x+2$ пересекается с $y=10-x$ в точке $(-8;18).$ А прямая $y=x+a$ проходит через указанную точку при $a=26.$

Прямая $y=x+a$ проходит через точку $(3;4)$ при $a=1.$

Становится видно, что система имеет ровно два решения, если $a\in${$1$}$\cup[2;26).$

Ответ: {$1$}$\cup[2;26).$

Задание 17 ЕГЭ 2023, резерв

2023-08-15

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых

$\begin{cases}x^2+x+|x^2-x-2|=y^2+y+|y^2-y-2|,\\x+y=a\end{cases}$

система уравнений имеет более двух решений.

Решение:

Рассмотрим первую строку системы.

Нули первого модуля: $x=2,x=-1,$ нули второго модуля: $y=2,y=-1.$ Нули модулей задают границы зон, в каждой из 9 образовавшихся зон свое распределение знаков подмодульных выражений. Зоны с одинаковыми знаками выделены одним цветом (см. рис.). Знаки (+,-) красного цвета относятся к первому модулю, зеленого — ко второму.

Желтая зона «++»:

$x^2+x+x^2-x-2=y^2+y+y^2-y-2;$

$x^2=y^2;$

$y=\pm x.$

Голубая зона «+-»:

$x^2+x+x^2-x-2=y^2+y-y^2+y+2;$

$y=x^2-2.$

Сиреневая зона «-+»:

$x^2+x-x^2+x+2=y^2+y+y^2-y-2;$

$x=y^2-2.$

Белая зона «- -»:

$x^2+x-x^2+x+2=y^2+y-y^2+y+2;$

$y= x.$

Множество точек красного цвета (см. рис.) задают первую строку системы.


Вторая строка системы – семейство параллельных прямых (под углом 135 градусов к оси (ох)).

Заметим, касание $y=-x+a$ и $y=x^2-2,$ как несложно проверить, происходит в точке $(-0,5;-1,75).$ Для $y=-x+a$ и $x=y^2-2$ – в точке $(-1,75;-0,5).$ То есть в точках вне зон существования кусков парабол.
Становится видно, что исходная система имеет более двух решений, если $a\in (-2;0].$


Ответ: $(-2;0].$

Задание 17 ЕГЭ 2023, резерв (ЕГЭ 2018)

2023-08-15

(ЕГЭ 2023, резерв) Найти все значения a, при каждом из которых уравнение $(2x-x^2)^2-4\sqrt{2x-x^2}=a^2-4a$ имеет хотя бы один корень.

Задание 17 ЕГЭ 23, резерв

2023-08-14

10.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^2+6x+5}=\sqrt{a-6x}$  имеет корни (хотя бы один), из которых ровно один отрицательный.

Задания 17 ЕГЭ 2023

2023-08-19

!!! Сборник задач с параметрами для подготовки к ЕГЭ !!!


1.1. (ЕГЭ 2023) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x-a}\cdot sin x=\sqrt{x-a}\cdot sin x$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;\pi]. $

Решение Ответ: $(-\infty;0)\cup [\frac{\pi}{4};\pi].$

1.2. (ЕГЭ 2023) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x+a}\cdot sin x+\sqrt{x+a}\cdot sin x=0$ имеет ровно один корень на отрезке $[-\pi;0]. $

Ответ: $(-\infty;0)\cup [\frac{\pi}{4};\pi].$



2.1. (ЕГЭ 2023) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых

$\begin{cases}(|x+1|+|x-3|-y)\sqrt{10-x-y}=0,\\y=x+a;&\end{cases}$

система уравнений имеет 2 различных решения.

Решение Ответ: {$1$}$\cup[2;26).$

2.2. (ЕГЭ 2023) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых

$\begin{cases}(|x+2|+|x-1|-y)\sqrt{10-x-y}=0,\\y=x+a;&\end{cases}$

система уравнений имеет 2 различных решения.

Ответ: {$2$}$\cup[4;32).$



3.1. (ЕГЭ 2023) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых

$\begin{cases}(x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0,\\y=a(x-2);&\end{cases}$

система уравнений имеет 2 различных решения.

Решение Ответ: $[-\frac{3}{14};\frac{1}{2}]\cup ${$\pm \frac{1}{\sqrt3}$}.

3.2. (ЕГЭ 2023) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых

$\begin{cases}(x^2+y^2+6x)\sqrt{x+y+6}=0,\\y=x+a;\end{cases}$

система уравнений имеет 2 различных решения.

Ответ: $[0;6]\cup${$3\pm3\sqrt2$}.



4.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$\sqrt{3x-5}\cdot ln(4x^2-a^2)=\sqrt{3x-5}\cdot ln(2x+a)$

имеет ровно один корень.

Решение Ответ: $(-\frac{10}{3};\frac{7}{3}]\cup [\frac{10}{3};+\infty).$

4.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$\sqrt{1-2x}\cdot ln(25x^2-a^2)=\sqrt{1-2x}\cdot ln(5x-a)$

имеет ровно один корень.

Ответ: $(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}]\cup [\frac{1}{2};\frac{5}{2}).$


5.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$\sqrt{5x-3}\cdot ln(x^2-6x+10-a^2)=0$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;3].$

Решение Ответ: $(-\frac{13}{5};-\frac{12}{5}]\cup [\frac{12}{5};\frac{13}{5}).$

5.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$\sqrt{7x-4}\cdot ln(x^2-8x+17-a^2)=0$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;4].$

Ответ: $(-\frac{25}{7};-\frac{24}{7}]\cup [\frac{24}{7};\frac{25}{7}).$


6.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства

$\large \frac{5-a-(a^2-2a+1)sinx}{cos^2x+a^2+2}<1$

содержит отрезок $[0;\frac{2\pi}{3}].$

Решение Ответ: $(-\infty;-2)\cup (\frac{1+\sqrt{17}}{4};+\infty).$

6.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства

$\large \frac{9a-(a^2-a+3)sinx+1}{2cos^2x+a^2+3}<1$

содержит отрезок $[0;\frac{2\pi}{3}].$

Ответ: $(-\infty;\frac{4}{3})\cup (3;+\infty).$


7.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) При каких значениях параметра $a$ уравнение

$\large \frac{|4x|-x-3-a}{x^2-x-a}=0$

имеет ровно 2 различных решения.

Решение Ответ: $(-3;0)\cup(0;2)\cup(2;6)\cup(6;12)\cup(12;+\infty).$

7.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) При каких значениях параметра $a$ уравнение

$\large \frac{|5x|-x-4-a}{x^2-x-a}=0$

имеет ровно 2 различных решения.

Ответ: $(-4;0)\cup(0;2)\cup(2;12)\cup(12;20)\cup(20;+\infty).$


8.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^2+6x+5}=\sqrt{a-6x}$

 имеет корни (хотя бы один), из которых ровно один отрицательный.

Решение Ответ: {$-31$}$\cup (-30;-6)\cup[5;+\infty).$

8.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^2-3x+2}=\sqrt{a+3x-2}$  имеет корни (хотя бы один), из которых ровно один положительный.

Ответ: {$-5$}$\cup (-4;-1)\cup[4;+\infty).$


9.1. (ЕГЭ 2023, резерв / ЕГЭ 2018) Найти все значения a, при каждом из которых уравнение $(2x-x^2)^2-4\sqrt{2x-x^2}=a^2-4a$ имеет хотя бы один корень.

Решение Ответ: $[0;1]\cup[3;4].$

9.2. (ЕГЭ 2023, резерв / ЕГЭ 2018) Найти все значения a, при каждом из которых уравнение $(4x-x^2)^2-32\sqrt{4x-x^2}=a^2-14a$ имеет хотя бы один корень.

Ответ: $[0;6]\cup[8;14].$


10.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых

$\begin{cases}x^2+x+|x^2-x-2|=y^2+y+|y^2-y-2|,\\x+y=a\end{cases}$

система уравнений имеет более двух решений.

Решение Ответ: $(-2;0]$


10.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых

$\begin{cases}|x^2-1|-2x-x^2=|y^2-1|-2y-y^2,\\x+y=a\end{cases}$

система уравнений имеет более двух решений.

Ответ: $(-2;-1]$

№18 Тренировочной работы 283 А. Ларина

2023-06-13

Смотрите также №13 и №15 Т/Р №283 А. Ларина

18. Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$log_{3x-4}(a+9x+5)=-1$

имеет единственный корень на промежутке $(\frac{4}{3};2].$
Читать далее

№18 Тренировочного варианта 281 А. Ларина

2023-06-13

Смотрите также №14 Т/Р №281

18. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$6\cdot (\frac{x}{x^2+1})^2-\frac{(6a+1)x}{x^2+1}-12a^2+8a-1=0$

имеет ровно $4$ корня? Читать далее

Задание №18. Реальный ЕГЭ (Дальний Восток) от 29 мая 2019

2023-06-13

Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15№16; №17№19

18. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$\frac{x^2-2x+a^2-4a}{x^2-a}=0$

имеет ровно два различных решения? Видеорешение New*

Читать далее

Задание №18. Реальный ЕГЭ 2019 от 29 мая

2023-06-13

Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15№16; №17№19

17. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$\frac{|4x|-x-3-a}{x^2-x-a}=0$

имеет ровно два различных решения?

Читать далее

Задание №18. Реальный ЕГЭ 2018 от 1 июня

2023-06-13

Условия заданий 1-19 здесь, ответы здесь,

а также вариант 2 (13-19) и  ответы к нему

Разбор заданий №13; №14; №15№16; №17№19

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
уравнений

$\begin{cases}
x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0,\\
x^2=y^2;
\end{cases}$

имеет ровно четыре решения.

Читать далее

Задание №18. Досрочный ЕГЭ 2018

2023-06-14

Смотрите также задания №1-12№13; №14; №15№16; №17№19

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
уравнений

$\begin{cases}
((x+5)^2+y^2-a^2)\cdot ln(9-x^2-y^2)=0,\\
((x+5)^2+y^2-a^2)\cdot (x+y-a+5)=0;
\end{cases}$

имеет ровно два различных решения.

Читать далее

Задание №18. Досрочная волна 2018. Резервный день

2023-06-14
Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15№16; №17№19 

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}x^2+y^2=a^2,\\xy=a^2-3a;&\end{cases}$

имеет ровно два различных решения?

Читать далее

Задание №18 Т/Р №224 А. Ларина

2023-06-14

Смотрите также №13; №14; №15№16; №17№19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых существует хотя бы одно $x,$ удовлетворяющее условию:

$\begin{cases}|x^2-5x+4|-9x^2-5x+4+10x|x|=0,\\x^2-2(a-1)x+a(a-2)=0.&\end{cases}$

Читать далее

Задание №18 Т/Р №223 А. Ларина

2023-06-14

Смотрите также №13; №14; №15№16; №17№19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых существует хотя бы одно $x,$ удовлетворяющее условию:

$\begin{cases}x^2+(5a+2)x+4a^2+2a<0,\\x^2+a^2=4.&\end{cases}$

Читать далее