Архив по категории: 16 (С4) Планиметр. задачи

Путеводитель по задачам С4 (№16)

2018-09-10
Список всех задач №16, разобранных на сайте 

(список пополняется)


-8. (Реальный ЕГЭ, 2018) Окружность с центром O_1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O_2 касается сторон BC, CD и AD.
Известно, что AB=10,BC=9,CD=30,AD=39.
а) Докажите, что прямая O_1O_2 параллельна основаниям трапеции ABCD.
б) Найдите O_1O_2. Ответ: 4. Решение


-7. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018) В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB= 7, BC = 8. Ответ: \frac{13}{\sqrt3}. Решение


-6. (Досрочный ЕГЭ, 2018) В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB=3,BC=CD=5,AD=8,AC=7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD. Ответ: \frac{55}{7}. Решение


-5. (Реальный ЕГЭ, 2017) Основания трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции. Ответ: \frac{60}{13}. Решение


-4. (Реальный ЕГЭ, 2017) Две окружности с центрами O_1 и O_2 пересекаются в точках A и B, причём точки O_1 и O_2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружности в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O_1AO_2 подобны.

б) Найдите AD, если \angle DAE=\angle BAC,  радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и  AB=3. Ответ: 9. Решение


-3. (Реальный ЕГЭ, 2017) Точка E – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB отмечена точка K  так, что CK\parallel AE. Прямые CK,BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO=OK.

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет \frac{9}{64} площади трапеции ABCD. Ответ: 3:5. Решение


-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.

а) Докажите, что sin AOD=sinBOC.

б) Найдите площадь трапеции, если \angle BAD=90^{\circ}, а основания равны 5 и 7.

Ответ: 35. Решение


-1. (Резервный ЕГЭ, 2017) Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM=8MB и DN=2CN.

а) Докажите, что AD=4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен \sqrt6. Ответ: 4. Решение


0. (Досрочн. ЕГЭ, 2017)  В треугольнике ABC точки A_1,B_1,C1 ‐ середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH ‐ высота, \angle BAC=60^{\circ}, \angle BCA=45^{\circ}.

а) Докажите, что точки A_1,B_1,C_1 и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A_1H, если BC=2\sqrt3. Ответ:  1. Решение


1. (МГУ, 2015) Окружность радиуса \frac{3}{2} касается середины стороны BC треугольника ABC и пересекает сторону AB в точках D и E, так что AD:DE:EB=1:2:1. Чему может равняться AC, если \angle BAC=30^{\circ}? Ответ: \sqrt3\pm \sqrt{2}. Решение


2. (Резервн. ЕГЭ, 2016) В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C точки M и N – середины катетов AC и BC соответственно, CH – высота.

а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны.

б) Пусть P – точка пересечения прямых AC и NH, а Q – точка пересечения прямых BC и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если AH=4,BH=2. Ответ: 18\sqrt2. Решение


3. (ЕГЭ, 2016) В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH. На стороне AB отмечена точка E так, что прямые CD и CE перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые BH и ED параллельны.

б) Найдите отношение BH:ED, если угол BCD равен 135^{\circ}. Ответ: 1:2. Решение


4. (ЕГЭ, 2016) В треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME,KH.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH:AC, если угол ABC равен 30^{\circ}. Ответ: 3:4. Решение Читать далее

Задание №16. Реальный ЕГЭ 2018 от 1 июня

2018-09-07

Условия заданий 1-19 здесь, ответы здесь,

а также вариант 2 (13-19) и  ответы к нему

Разбор заданий №13; №14; №15№17№18; №19

16. Окружность с центром O_1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O_2 касается сторон BC, CD и AD.
Известно, что AB=10,BC=9,CD=30,AD=39.
а) Докажите, что прямая O_1O_2 параллельна основаниям трапеции ABCD.
б) Найдите O_1O_2.

Читать далее

Задание №16. Досрочная волна 2018. Резервный день

2018-05-03
Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15№17№18; №19 

14. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ:

AB=3,BC=CD=5,AD=8,AC=7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №224 А. Ларина

2018-02-14

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.

16. Радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен \frac{\sqrt{15}}{3}. Окружность радиуса \frac{5\sqrt5}{3\sqrt3} касается вписанной в треугольник ABC окружности в точке T, а также касается лучей, образующих угол ACB. Окружности касаются прямой AC в точках K и M.

а) Докажите, что треугольник KTM прямоугольный.

б) Найдите тангенс угла ABC, если площадь треугольника ABC равна 3\sqrt{15,} а наибольшей из его сторон является сторона AC.
Читать далее

Задание №16 Т/Р №223 А. Ларина

2018-02-07

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

16. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Радиус AO перпендикулярен радиусу OB, а радиус OC перпендикулярен радиусу OD.

а) Докажите, что BC \parallel AD.

б) Найдите площадь треугольника AOB, если длина перпендикуляра, опущенного из точки C на AD, равна 9, а длина отрезка BC в два раза меньше длины отрезка AD.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №220 А. Ларина

2018-01-17

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

16. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке K. Прямая p

касается первой окружности в точке M, а второй – в точке N.
а) Докажите что расстояние от точки K до прямой p равно \frac{MK\cdot KN}{MN}.

б) Найдите площадь треугольника MNK, если известно, что радиусы окружностей равны соответственно 12 и 3.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №215 А. Ларина

2017-12-14

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке K. Пусть AB – хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке L.

а) Докажите, что KL – биссектриса угла AKB.
б) Найдите длину отрезка KL, если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно 6 и 2, а угол AKB равен 90^{\circ}.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №213 А. Ларина

2017-11-28

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.

16. Точка O – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На луче AO отмечена точка M так, что \angle BAC+\angle AMC=90^{\circ}.

а) Докажите, что существует точка P, одинаково удаленная от точек B,O,C,M.
б) Найдите расстояние от точки P до точки M, если известно, что \angle BAC=15^{\circ} и BC=15.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №212 А. Ларина

2017-11-24

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

16. В треугольнике ABC точка M – середина AC.
а) Докажите, что длина отрезка BM больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон AB и BC.
б) Окружность проходит через точки B, C, M. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой AB, если известно, что AB=5,BC=3,BM=2. Читать далее

Задание №16 Т/Р №210 А. Ларина

2017-11-07

Смотрите также №13№14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №210 А. Ларина.

16. В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.

а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из

которых втрое больше другого.
б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC=16 и AB=10.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №209 А. Ларина

2017-10-31

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

16. Точка E – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB отмечена точка K  так, что CK\parallel AE. Прямые CK,BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO=OK.

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 0,09 площади трапеции ABCD.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №207 А. Ларина

2017-10-18

Смотрите также №13№14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №207 А. Ларина.

16. В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны AD. Отрезок BE пересекает диагональ AC в точке P. AB=PD.

а) Докажите, что отрезок BE перпендикулярен диагонали AC.

б) Найдите площадь параллелограмма, если AB=2 см, BC=3 см.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №205 А. Ларина

2017-10-04

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.

16. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружности, построенные на

боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках P и K.

а) Докажите, что прямые PK и BC перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка PK, если известно, что AD=20,BC=6,AB=16,DC=14.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №204 А. Ларина

2017-09-28

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №204 А. Ларина.

16. В параллелограмме ABCD диагональ BD равна стороне AD.

а) Докажите, что прямая CD касается окружности ω, описанной около треугольника ABD.

б) Пусть прямая CB вторично пересекает ω в точке K. Найдите KD:AC при условии, что угол BDA равен 120^{\circ}.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №203 А. Ларина

2017-09-21

Смотрите также №13; №14; №15№17№18 Тренировочной работы №203 А. Ларина.

16. Окружности с центрами в точках A,B и C и радиусами, равными a,b и c соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точка K, M, P.
а) Докажите, что отношение площади треугольника KMP к площади треугольника ABC равно \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KMP, если известно, что a=6, b=7, c=1.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №202 А. Ларина

2017-09-14

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

16. В прямоугольнике ABCD на стороне BC отмечена точка K так, что BK=2CK.

а) Докажите, что BD делит площадь треугольника AKC в отношении 3:7.

б) Пусть M – точка пересечения AK и BD, P – точка пересечения DK и AC. Найдите длину отрезка MP, если AB=8,BC=6.

Читать далее