Подготовка к ЕГЭ по математике

В кошельке у Коли было $n$ монет достоинством $2, 5$ или $10$ рублей. Коля сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

a) Могли ли покупками быть альбом за $56$ рублей и кисточка за $29$ рублей, если $n=14?$

б) Могли ли покупками быть тетрадь за $10$ рублей, линейка за $15$ рублей и карандаш за $20$ рублей, если $n=19$?

в) Какое наименьшее количество пятирублевых монет могло быть в кошельке, если Коля купил только набор фломастеров за 85 рублей, а $n=24?$

Решение:

а) Да. Например,

$56=5\cdot 10+3\cdot 2$

($5$ монет по $10$ и $3$ монеты по $2$ рубля, итого – $8$ монет)

$29=1\cdot 10+2\cdot 2+3\cdot 5$

($1$ монета по $10$ рублей, $2$ монеты по $2$ рубля и $3$ монеты по $5$ рублей, итого – $6$ монет)

2) Пусть

кол-во 2-х рублевых монет – $m,$

кол-во 5-ти рублевых – $p,$

кол-во 10-ти рублевых – $k.$

Имеем

$2m+5p+10k=45$ при $m+p+k=19.$

Тогда

$2(19-p-k)+5p+10k=45,$

Откуда

$3p+8k=7.$

Если $k\geq 1,$

то

$8k=7-3p\geq 8,$ – противоречие.

Нельзя купить тетрадь за $10$ рублей, линейку за $15$ рублей и карандаш за $20$ рублей, если $n=19.$

3) Имеем

$\begin{cases}m+p+k=24,\\2m+5p+10k=85;&\end{cases}$

$\begin{cases}m+p+k=24,\\2(24-p-k)+5p+10k=85;&\end{cases}$

$\begin{cases}m+p+k=24,\\3p+8k=37;&\end{cases}$

Из $3p+8k=37$ видим: $k\leq 4.$ Найдем наибольшее возможное целое $k,$ ему будет соответствовать наименьшее $p.$

Если $k=4,$ то $3p=5$ – противоречие.

Если $k=3,$ то $3p=13$ – противоречие.

Если $k=2$ то $3p=21,$ откуда $p=7.$

Итак, $7 $ – наименьшее количество пятирублевых монет, которое могло могло быть в кошельке у Коли.

Ответ: а) да; б) нет; в) $7.$

Задание 18, ЕГЭ 2023, резерв

Есть контейнеры массой 7 тонн и массой 2 тонны и корабли грузоподъемностью 10 тонн.

а)  Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 14 кораблях?

б)  Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 12 кораблях?

в)  На каком наименьшем количестве кораблей можно увести за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 77 контейнеров массой 2 тонны?

Решение:

б) 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 12 кораблях грузоподъемностью 10 тонн увезти за один раз нельзя, так как суммарная масса контейнеров – $11\cdot 7+22\cdot 2=121$ тонны, а общая грузоподъемность 12 кораблей – $12\cdot 10=120$ тонн.

а) 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 14 кораблях увезти можно, например, так:

1 контейнер 7 тонн + 1 контейнер 2 тонны – таких 11 кораблей;

5 контейнеров по 2 тонны – таких 2 корабля;

1 контейнер 2 тонны – такой 1 корабль.

в) На один корабль не получится загрузить более 1-го контейнера 7 тонн. Поэтому, как минимум, потребуется 11 кораблей.
Далее, в каждый из 11 указанных выше кораблей мы не можем разместить более одного контейнера 2 тонны, поэтому у нас после загрузки 11 кораблей, остается для погрузки как минимум, 66 контейнеров по 2 тонны. Собственно, остается выяснить, какое минимальное количество кораблей потребуется для погрузки 66 контейнеров по 2 тонны. Мы можем по максимуму (по 5 контейнеров) загрузить 13 кораблей. Остается непогруженным 1 контейнер 2 тонны. Для него потребуется еще один корабль.
Итак, наименьшее количество кораблей для перевозки указанного груза, – 25.

Ответ: а) да; б) нет; в) 25.

В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21%.

а)  Может ли в этом классе быть 5 девочек?

б)  Может ли доля девочек составить 30%, если в этот класс придёт новая девочка?

в)  В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Решение:

а) Да, в классе может быть 5 девочек, если мальчиков, например, 20.

Действительно,

$\frac{5}{5+20}=\frac{1}{5}=20$%$<21$%.

б) Пусть девочек было $d,$ мальчиков – $m.$

Тогда $\frac{d+1}{m+d+1}=0,3,$ откуда

$10d+10=3m+3d+3;$

$7(d+1)=3m$ (*)

Из условия $\frac{d}{m+d}<21$% имеем:

$100d<21m+21d;$

$79d<21m$ (**)

Тогда с учетом (*):

$49(d+1)=21m>79d,$

то есть

$49d+49>79d;$

$d<\frac{49}{30};$

$d\leq 1.$

Но в этом случае равенство (*) не выполняется. Действительно, – $m=\frac{7(d+1)}{3}$ – не натурально при $d\leq 1.$

в) Учитывая $m+d\leq 26$ и (**), получаем:

$\frac{79d}{21}+d\leq 26;$

$d\leq 5.$

Новый процент девочек: $p=\frac{(d+1)\cdot 100}{m+d+1}.$

Пусть $d=5$. Тогда из (**) $m>\frac{79\cdot 5}{21}\geq 19$ и $p=\frac{600}{m+6}\leq \frac{600}{25}=24<25.$

Пусть $d=4$. Тогда $m>\frac{79\cdot 4}{21}\geq 16$ и $p=\frac{500}{m+5}\leq \frac{500}{21}<25.$

Пусть $d=3$. Тогда $m>\frac{79\cdot 3}{21}\geq 12$ и $p=\frac{400}{m+4}\leq \frac{400}{16}=25.$

Пусть $d=2$. Тогда $m\geq 9,$ так как $m+d>10$ и $p=\frac{300}{12}=25.$

Пусть $d=1$. Тогда $m\geq 10$ и $p=\frac{200}{11}<25.$

Итак, наибольшее число процентов, что может составить доля девочек в классе после прихода одной девочки, – 25%. Достигается, например, если в классе было 2 девочки и 9 мальчиков.

Ответ: а) да; б) нет; в) 25.

Задание 18 ЕГЭ 2023

Дана правильная несократимая дробь $\frac{a}{b}.$ За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель на два числителя, т. е. получить несократимую дробь $\frac{a+b}{b+2a}.$

а)  Можно ли из дроби $\frac{2}{3}$ получить дробь $\frac{29}{41}$?

б)  Можно ли из некоторой дроби получить дробь $\frac{6}{7}$ за 2 хода.

в)  Дробь  $\frac{c}{d}$ больше  $\frac{7}{10}.$ Найдите минимальную дробь $\frac{c}{d},$ которую нельзя получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода.

Решение:

а) $\frac{2}{3}\to \frac{2+3}{3+2\cdot 2}=\frac{5}{7}\to \frac{5+7}{7+2\cdot 5}=\frac{12}{17}\to \frac{12+17}{17+2\cdot 17}=\frac{29}{41}.$

б) Так как $\frac{a}{b}\to \frac{a+b}{b+2a}\to \frac{3a+2b}{4a+3b}.$

Заметим, если дробь $\frac{a}{b}$ несократима, то и дробь $\frac{3a+2b}{4a+3b}$ несократима.
Действительно, $NOD(3a+2b;4a+3b)=NOD(3a+2b;a+b)=NOD(2a+b;a+b)=NOD(a;a+b)=NOD(a; b)=1.$

Тогда

$\frac{6}{7}=\frac{3a+2b}{4a+3b};$

$24a+18b=21a+14b;$

$3a+4b=0,$

что невозможно для натуральных $a,b.$

в) Пусть $0,7<x=\frac{3a+2b}{4a+3b}.$

Тогда

$4ax+3bx=3a+2b;$

$a(4x-3)=b(2-3x);$

$\frac{a}{b}=\frac{2-3x}{4x-3}$ или $\frac{a}{b}=\frac{3x-2}{3-4x}.$

Останавливаемся, очевидно, на втором варианте, где $x\in (\frac{2}{3};\frac{3}{4}).$

Имеем: $x\in (0,7;0,75).$

Следует учесть также, что дробь $\frac{a}{b}$ правильная, то есть

$3x-2<3-4x,$

откуда

$x<\frac{5}{7}.$

Итак, $0,7<x<\frac{5}{7}.$

Если $x=\frac{5}{7},$ то $\frac{a}{b}=\frac{3\cdot \frac{5}{7}-2}{3-4\cdot \frac{5}{7}}=1,$ что невозможно.

Каждый $x\in (0,7;\frac{5}{7})$ мы можем получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода, a $x=\frac{5}{7}$ нет.

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{5}{7}.$

ЕГЭ 2023, резерв

Квадратное уравнение $x^2-px+q=0$  с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.

а)  Найдите все возможные значения p, если q  =  5.

б)  Могут ли одновременно выполняться неравенства p  <  10 и q  >  30?

в)  Найдите наименьшее значение p при q  >  30.

Решение:

а) Так как $x_1\cdot x_2=5,x_1\in N,x_2\in N, $ то корнями $x_1,x_2$ могут быть только числа 1 и 5. Тогда $q=x_1+x_2=6.$

б) Допустим, неравенства p  <  10 и q  >  30 выполняются.
Заметим,

$p=x_1+x_2\geq2\sqrt{x_1x_2}>2\sqrt{30}=\sqrt{120}>10.$

Итак, $p>10,$ что противоречит допустимому условию $p<10.$

Указанные в условии неравенства одновременно выполняться не могут.

в) $q>30,$ тогда, учитывая, что $q\in N,$ получаем $q\geq 31.$

Имеем:

$p=x_1+x_2\geq2\sqrt{x_1x_2}\geq 2\sqrt{31}=\sqrt{124}>11.$

Итак, $p>11.$

Пусть $p=12.$ Попробуем подобрать $q>30$ из натуральных значений.

$x^2-12x+q=0;$

$x=6\pm\sqrt{36-q}.$

Возьмем на роль $q,$ например, $32.$
Тогда $x_1=8,x_2=4$ (при этом $p=12$).

Ответ: а) 6; б) нет; в) 12.

1.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Есть контейнеры массой 7 тонн и массой 2 тонны и корабли грузоподъемностью 10 тонн.

а)  Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 14 кораблях?

б)  Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 12 кораблях?

в)  На каком наименьшем количестве кораблей можно увести за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 77 контейнеров массой 2 тонны?

Решение Ответ: а)  да; б)  нет; в)  25.

1.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Есть контейнеры массой 7 тонн и массой 2 тонны и корабли грузоподъемностью 10 тонн.

а)  Можно ли увезти за один раз 12 контейнеров массой 7 тонн и 24 контейнера массой 2 тонны на 15 кораблях?

б)  Можно ли увезти за один раз 12 контейнеров массой 7 тонн и 18 контейнера массой 2 тонны на 13 кораблях?

в)  На каком наименьшем количестве кораблей можно увести за один раз 12 контейнеров массой 7 тонн и 45 контейнеров массой 2 тонны?

Ответ: а) да; б) нет; в) 19.

3.1. (ЕГЭ 2023) Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A  =  7, B  =  11.

а)  Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?

б)  За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?

в)  Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?

Решение Ответ: а) нет; б) 582; в) 81.

3.2. (ЕГЭ 2023) Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A  =  4, B  =  5.

a) Можно ли получить число 200 за 100 ходов?
б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму равную 300.

в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает 200.

Ответ: а) нет; б) 291; в) 390.

4.1. (ЕГЭ 2023) На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.

а)  Может ли быть верным уравнение A=B•C  если A>140

б)  Может ли быть верным уравнение A=B•C, если 440$\leq $A<500.

в)  Найдите наибольшее число A до 900 для которого выполняется A=B•C.

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 810.

4.2. (ЕГЭ 2023) Есть трёхзначное число A, которое написал Петя. Костя и Ваня вычёркивают по одной цифре в числе, получаются двухзначные числа B и C, причём и Костя и Ваня могут вычеркнуть одинаковые цифры

а)  Может ли быть верно равенство A=B•C, если A>130.

б)  Может ли быть верно равенство  A=B•C, если 540<A$\leq$ 600.

в)  Какое максимальное A соответствует условию A=B•C.

Ответ: а) да; б) нет; в) 910.

5.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.

а)  Можно ли получить из числа 128 число 29?

б)  Можно ли получить из числа 128 число 31?

в)  Какое наименьшее число можно было получить из числа 128?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 2.

5.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Дано натуральное число. На каждом ходе из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, так, что полученное число остается натуральным.

a)  Могло ли из числа 65 получиться число 41?

б)  Могло ли из числа 65 получиться число 43?

в)  Какое наименьшее двузначное число можно получить из 65?

Ответ: а) да; б) нет; в) 11.

6.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Трёхзначное натуральное число, в десятичной записи которого нет нулей, разделили на произведение его цифр.

а)  Может ли получившееся частное быть равным 5?

6)  Может ли получившееся частное быть равным 1?

в)  Какое наименьшее значение может принимать это частное?

Решение Ответ: а)  да; б)  нет; в)  37/27.

6.2. (ЕГЭ 2016) Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 113/27. 
б) Может ли это частное равняться 125/27?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?

 Ответ: а) пример: 339; б) нет; в) 931/27.

7.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Бесконечная геометрическая прогрессия b₁, b₂, …, b_n, … состоит из различных натуральных чисел. Пусть S₁  =  b₁ и S_n  =  b₁ + b₂ + … + b_n при всех натуральных n$\geq$2.

а)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ которой ровно два числа делятся на 60?

б)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ которой ровно три числа делятся на 60?

в)  Какое наибольшее количество чисел среди S₁, S₂, …, S₁₂ может делиться на 60, если известно, что S₁ на 60 не делится?

Решение Ответ: а)  да; б)  нет; в)  6.

7.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Бесконечная геометрическая прогрессия b₁, b₂, …, b_n, … состоит из различных натуральных чисел. Пусть S₁  =  b₁ и S_n  =  b₁ + b₂ + … + b_n при всех натуральных n$\geq$2.

а)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ которой ровно два числа делятся на 40?

б)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ которой ровно три числа делятся на 40?

в)  Какое наибольшее количество чисел среди S₁, S₂, …, S₈ может делиться на 40, если известно, что S₁ на 40 не делится?

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  4.

8.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а)  Может ли Егор за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см?

б)  Может ли Егор за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см?

в)  За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в 300 см на части по 1 см?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 9.

8.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а)  Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 32 см на куски длиной 1 см?

б)  Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной в 50 см на куски длиной 1 см?

в)  Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?

Ответ: а) да; б) нет; в) 8.

9. (ЕГЭ 2023, Досрок) У Пети есть монеты номиналом 1, 2, 5 и 10 рублей. Каждого вида монет у него по 100 штук. Цена пирожного в рублях выражается целым числом. Петя хочет купить пирожное без сдачи, но до покупки не знает сколько оно стоит. 

а)  Может ли Петя выбрать дома 16 монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более 100  рублей?

б)  Может ли Петя выбрать дома 5 монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более 25  рублей?

в)  Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если известно, что пирожное стоит не более 100  рублей?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 13.

10.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Квадратное уравнение $x^2-px+q=0$  с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.

а)  Найдите все возможные значения p, если q  =  5.

б)  Могут ли одновременно выполняться неравенства p  <  10 и q  >  30?

в)  Найдите наименьшее значение p при q  >  30.

Решение Ответ: а) 6; б) нет; в) 12.

10.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Квадратное уравнение $x^2-px+q=0$  с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.

а)  Найдите все возможные значения p, если q  =  13.

б)  Могут ли одновременно выполняться неравенства p < 8  и q > 20?

в)  Найдите наименьшее значение p при  q > 20.

Ответ: а) 14; б) нет; в) 10.

11.1. (ЕГЭ 2023) В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21%.

а)  Может ли в этом классе быть 5 девочек?

б)  Может ли доля девочек составить 30%, если в этот класс придёт новая девочка?

в)  В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 25.

11.2. (ЕГЭ 2023) В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 36%.

а)  Может ли в этом классе быть 7 девочек?

б)  Может ли доля девочек составить 45%, если в этот класс придёт новая девочка?

в)  В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Ответ: а) да; б) нет; в) 40.

12. (ЕГЭ 2023) Дана правильная несократимая дробь $\frac{a}{b}.$ За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель на два числителя, т. е. получить несократимую дробь $\frac{a+b}{b+2a}.$

а)  Можно ли из дроби $\frac{2}{3}$ получить дробь $\frac{29}{41}$?

б)  Можно ли из некоторой дроби получить дробь $\frac{6}{7}$ за 2 хода.

в)  Дробь  $\frac{c}{d}$ больше  $\frac{7}{10}.$ Найдите минимальную дробь $\frac{c}{d},$ которую нельзя получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода.

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 5/7.

Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15; №16; №17; №18 

19. а) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что

$|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\leq \frac{1}{100}?$

б) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что

$|\frac{m^2}{n^2}-2|\leq \frac{1}{10000}?$

в) Найдите все возможные значения натурального числа $n,$ при каждом из которых значение выражения $|\frac{n+10}{n}-\sqrt2|$ будет наименьшим.

Читать далее