Архив по категории: 16 (С4) Планиметр. задачи

Путеводитель по задачам С4 (№16)

2019-09-02
Список всех задач №16, разобранных на сайте 

(список пополняется)

-11. (Демо ЕГЭ, 2020) Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK  пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Ответ: 3,2. Видеорешение


-10. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около треугольника ABC описана окружность. Прямая BO, где O — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.

а) Докажите, что OP=AP.

б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если \angle ABC=120^{\circ}, а радиус описанной окружности равен 18. Ответ: 27. Решение


-9. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описана окружность. BN – диаметр. Высота BH повторно пересекает окружность в точке K. Угол BAC равен 35^{\circ}, угол ACB65^{\circ}.
a) Докажите, что  AN=CK.
б) Найдите KN, если радиус окружности равен 12. Ответ: 12. Решение


-8. (Реальный ЕГЭ, 2018) Окружность с центром O_1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O_2 касается сторон BC, CD и AD.
Известно, что AB=10,BC=9,CD=30,AD=39.
а) Докажите, что прямая O_1O_2 параллельна основаниям трапеции ABCD.
б) Найдите O_1O_2. Ответ: 4. Решение


-7. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018) В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB= 7, BC = 8. Ответ: \frac{13}{\sqrt3}. Решение


-6. (Досрочный ЕГЭ, 2018) В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB=3,BC=CD=5,AD=8,AC=7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD. Ответ: \frac{55}{7}. Решение


-5. (Реальный ЕГЭ, 2017) Основания трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции. Ответ: \frac{60}{13}. Решение


-4. (Реальный ЕГЭ, 2017) Две окружности с центрами O_1 и O_2 пересекаются в точках A и B, причём точки O_1 и O_2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружности в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O_1AO_2 подобны.

б) Найдите AD, если \angle DAE=\angle BAC,  радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и  AB=3. Ответ: 9. Решение


-3. (Реальный ЕГЭ, 2017) Точка E – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB отмечена точка K  так, что CK\parallel AE. Прямые CK,BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO=OK.

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет \frac{9}{64} площади трапеции ABCD. Ответ: 3:5. Решение


-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.

а) Докажите, что sin AOD=sinBOC.

б) Найдите площадь трапеции, если \angle BAD=90^{\circ}, а основания равны 5 и 7.

Ответ: 35. Решение


-1. (Резервный ЕГЭ, 2017) Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM=8MB и DN=2CN.

а) Докажите, что AD=4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен \sqrt6. Ответ: 4. Решение Читать далее

Теорема о длине внешней общей касательной к окружностям

2019-09-08

Данное утверждение  может быть очень полезно при решении задач на внешне касающиеся окружности.

Теорема Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов. Читать далее

Задание №16. Реальный ЕГЭ (Дальний Восток) от 29 мая 2019

2019-06-21

 Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15№17№18; №19

16. Около треугольника ABC описана окружность. Прямая BO, где O — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.

а) Докажите, что OP=AP.

б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если \angle ABC=120^{\circ}, а радиус описанной окружности равен 18.

Читать далее

Задание №16. Реальный ЕГЭ 2019 от 29 мая

2019-06-10

 Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15№17№18; №19

16. Около треугольника ABC описана окружность. Прямая BO, где O – центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.
a) Докажите, что AP=OP.
б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если угол ABC
равен 120^{\circ}, а радиус описанной окружности равен 18.

Читать далее

Задание №16. Реальный ЕГЭ 2018 от 1 июня

2018-09-07

Условия заданий 1-19 здесь, ответы здесь,

а также вариант 2 (13-19) и  ответы к нему

Разбор заданий №13; №14; №15№17№18; №19

16. Окружность с центром O_1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O_2 касается сторон BC, CD и AD.
Известно, что AB=10,BC=9,CD=30,AD=39.
а) Докажите, что прямая O_1O_2 параллельна основаниям трапеции ABCD.
б) Найдите O_1O_2.

Читать далее

Задание №16. Досрочная волна 2018. Резервный день

2018-05-03
Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15№17№18; №19 

14. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ:

AB=3,BC=CD=5,AD=8,AC=7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №224 А. Ларина

2018-02-14

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.

16. Радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен \frac{\sqrt{15}}{3}. Окружность радиуса \frac{5\sqrt5}{3\sqrt3} касается вписанной в треугольник ABC окружности в точке T, а также касается лучей, образующих угол ACB. Окружности касаются прямой AC в точках K и M.

а) Докажите, что треугольник KTM прямоугольный.

б) Найдите тангенс угла ABC, если площадь треугольника ABC равна 3\sqrt{15,} а наибольшей из его сторон является сторона AC.
Читать далее

Задание №16 Т/Р №223 А. Ларина

2018-02-07

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

16. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Радиус AO перпендикулярен радиусу OB, а радиус OC перпендикулярен радиусу OD.

а) Докажите, что BC \parallel AD.

б) Найдите площадь треугольника AOB, если длина перпендикуляра, опущенного из точки C на AD, равна 9, а длина отрезка BC в два раза меньше длины отрезка AD.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №220 А. Ларина

2018-01-17

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

16. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке K. Прямая p

касается первой окружности в точке M, а второй – в точке N.
а) Докажите что расстояние от точки K до прямой p равно \frac{MK\cdot KN}{MN}.

б) Найдите площадь треугольника MNK, если известно, что радиусы окружностей равны соответственно 12 и 3.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №215 А. Ларина

2017-12-14

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке K. Пусть AB – хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке L.

а) Докажите, что KL – биссектриса угла AKB.
б) Найдите длину отрезка KL, если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно 6 и 2, а угол AKB равен 90^{\circ}.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №213 А. Ларина

2017-11-28

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.

16. Точка O – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На луче AO отмечена точка M так, что \angle BAC+\angle AMC=90^{\circ}.

а) Докажите, что существует точка P, одинаково удаленная от точек B,O,C,M.
б) Найдите расстояние от точки P до точки M, если известно, что \angle BAC=15^{\circ} и BC=15.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №212 А. Ларина

2017-11-24

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

16. В треугольнике ABC точка M – середина AC.
а) Докажите, что длина отрезка BM больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон AB и BC.
б) Окружность проходит через точки B, C, M. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой AB, если известно, что AB=5,BC=3,BM=2. Читать далее

Задание №16 Т/Р №210 А. Ларина

2017-11-07

Смотрите также №13№14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №210 А. Ларина.

16. В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.

а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из

которых втрое больше другого.
б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC=16 и AB=10.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №209 А. Ларина

2017-10-31

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

16. Точка E – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB отмечена точка K  так, что CK\parallel AE. Прямые CK,BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO=OK.

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 0,09 площади трапеции ABCD.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №207 А. Ларина

2017-10-18

Смотрите также №13№14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №207 А. Ларина.

16. В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны AD. Отрезок BE пересекает диагональ AC в точке P. AB=PD.

а) Докажите, что отрезок BE перпендикулярен диагонали AC.

б) Найдите площадь параллелограмма, если AB=2 см, BC=3 см.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №205 А. Ларина

2017-10-04

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.

16. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружности, построенные на

боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках P и K.

а) Докажите, что прямые PK и BC перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка PK, если известно, что AD=20,BC=6,AB=16,DC=14.

Читать далее