Архив по категории: 16 (С4) Планиметр. задачи

Путеводитель по задачам С4 (№16)

2017-11-08
Список всех задач №16, разобранных на сайте 

(список пополняется)


-5. (Реальный ЕГЭ, 2017) Основания трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции. Ответ: \frac{60}{13}. Решение


-4. (Реальный ЕГЭ, 2017) Две окружности с центрами O_1 и O_2 пересекаются в точках A и B, причём точки O_1 и O_2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружности в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O_1AO_2 подобны.

б) Найдите AD, если \angle DAE=\angle BAC,  радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и  AB=3. Ответ: 9. Решение


-3. (Реальный ЕГЭ, 2017) Точка E – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB отмечена точка K  так, что CK\parallel AE. Прямые CK,BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO=OK.

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет \frac{9}{64} площади трапеции ABCD. Ответ: 3:5. Решение


-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.

а) Докажите, что sin AOD=sinBOC.

б) Найдите площадь трапеции, если \angle BAD=90^{\circ}, а основания равны 5 и 7.

Ответ: 35. Решение


-1. (Резервный ЕГЭ, 2017) Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM=8MB и DN=2CN.

а) Докажите, что AD=4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен \sqrt6. Ответ: 4. Решение


0. (Досрочн. ЕГЭ, 2017)  В треугольнике ABC точки A_1,B_1,C1 ‐ середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH ‐ высота, \angle BAC=60^{\circ}, \angle BCA=45^{\circ}.

а) Докажите, что точки A_1,B_1,C_1 и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A_1H, если BC=2\sqrt3. Ответ:  1. Решение


1. (МГУ, 2015) Окружность радиуса \frac{3}{2} касается середины стороны BC треугольника ABC и пересекает сторону AB в точках D и E, так что AD:DE:EB=1:2:1. Чему может равняться AC, если \angle BAC=30^{\circ}? Ответ: \sqrt3\pm \sqrt{2}. Решение


2. (Резервн. ЕГЭ, 2016) В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C точки M и N – середины катетов AC и BC соответственно, CH – высота.

а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны.

б) Пусть P – точка пересечения прямых AC и NH, а Q – точка пересечения прямых BC и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если AH=4,BH=2. Ответ: 18\sqrt2. Решение


3. (ЕГЭ, 2016) В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH. На стороне AB отмечена точка E так, что прямые CD и CE перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые BH и ED параллельны.

б) Найдите отношение BH:ED, если угол BCD равен 135^{\circ}. Ответ: 1:2. Решение


4. (ЕГЭ, 2016) В треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME,KH.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH:AC, если угол ABC равен 30^{\circ}. Ответ: 3:4. Решение Читать далее

Задание №16 Т/Р №210 А. Ларина

2017-11-07

Смотрите также №13№14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №210 А. Ларина.

16. В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.

а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из

которых втрое больше другого.
б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC=16 и AB=10.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №209 А. Ларина

2017-10-31

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

16. Точка E – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB отмечена точка K  так, что CK\parallel AE. Прямые CK,BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO=OK.

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 0,09 площади трапеции ABCD.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №207 А. Ларина

2017-10-18

Смотрите также №13№14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №207 А. Ларина.

16. В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны AD. Отрезок BE пересекает диагональ AC в точке P. AB=PD.

а) Докажите, что отрезок BE перпендикулярен диагонали AC.

б) Найдите площадь параллелограмма, если AB=2 см, BC=3 см.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №205 А. Ларина

2017-10-04

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.

16. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружности, построенные на

боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках P и K.

а) Докажите, что прямые PK и BC перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка PK, если известно, что AD=20,BC=6,AB=16,DC=14.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №204 А. Ларина

2017-09-28

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №204 А. Ларина.

16. В параллелограмме ABCD диагональ BD равна стороне AD.

а) Докажите, что прямая CD касается окружности ω, описанной около треугольника ABD.

б) Пусть прямая CB вторично пересекает ω в точке K. Найдите KD:AC при условии, что угол BDA равен 120^{\circ}.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №203 А. Ларина

2017-09-21

Смотрите также №13; №14; №15№17№18 Тренировочной работы №203 А. Ларина.

16. Окружности с центрами в точках A,B и C и радиусами, равными a,b и c соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точка K, M, P.
а) Докажите, что отношение площади треугольника KMP к площади треугольника ABC равно \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KMP, если известно, что a=6, b=7, c=1.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №202 А. Ларина

2017-09-14

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

16. В прямоугольнике ABCD на стороне BC отмечена точка K так, что BK=2CK.

а) Докажите, что BD делит площадь треугольника AKC в отношении 3:7.

б) Пусть M – точка пересечения AK и BD, P – точка пересечения DK и AC. Найдите длину отрезка MP, если AB=8,BC=6.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №197 А. Ларина

2017-05-17

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №197 А. Ларина.

16. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Окружности \omega_1 и \omega_2 описаны около треугольников AOB и BOC соответственно. Пусть O_1 – центр окружности \omega_1, а O_2 – центр окружности \omega_2.
а) Докажите, что прямая BO_1 касается окружности \omega_2, а прямая BO_2 касается окружности \omega_1.
б) Найдите длину отрезка O_1O_2, если известно, что AB=6,BC=8.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №196 А. Ларина

2017-05-08

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №196 А. Ларина.

16. Дан квадрат ABCD. На сторонах AB и BC внешним и внутренним образом

соответственно построены равносторонние треугольники ABK и BCP.

а) Докажите, что точка P лежит на прямой DK.
б) Найдите площадь четырехугольника PKBC, если известно, что AB=2.

Читать далее

С4 (№16). Досрочный ЕГЭ по математике от 31 марта 2017

2017-04-04

Смотрите также 1-12№13№14№15№17№18№19 профильного Досрочного ЕГЭ по математике от 31.03.17

16. В треугольнике ABC точки A_1,B_1,C1 ‐ середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH ‐ высота, \angle BAC=60^{\circ}, \angle BCA=45^{\circ}.

а) Докажите, что точки A_1,B_1,C_1 и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A_1H, если BC=2\sqrt3. Читать далее

Задание №16 Т/Р №184 А. Ларина

2017-02-15

 Смотрите также №13№14№15№17№18№19  Тренировочной работы №184 А. Ларина 

16. В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C опущены высоты AP и CQ на стороны BC и AB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка Q равна 2\sqrt2.
а) Доказать, что треугольники QBP и CBA подобны.
б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №183 А. Ларина

2017-02-12

 Смотрите также №13№14№15№17№18№19 Тренировочной работы №183 А. Ларина 

16. Окружность касается прямых AB и BC соответственно в точках D и E. Точка  A лежит между B и D, а тока C – между B и E. Точки A, D, E, C лежат на одной окружности.

a) Доказать, что треугольники ABC и DBE подобны.
б) Найти площадь ABC, если AC=8 и радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 1.

Читать далее

Тренировочная работа от 26.01.2017. Часть С, №16

2017-02-01

Разбор заданий части С
(разбор заданий 1-12, также №13№14№15№17№18№19)

16. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла  BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC=12,BD=6,5.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №181 А. Ларина

2017-01-24

 Смотрите также №13№14№15№17№18№19 Тренировочной работы №181 А. Ларина 

16. В треугольнике ABC стороны AB:BC:AC=3:4:5. Первая окружность вписана в треугольник ABC, а вторая касается AB и продолжения сторон BC и AC.

А) Доказать, что отношение радиусов окружностей равно 2:1.
Б) Найти расстояние между точками касания окружностей стороны AB, если AC=15.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №173 А. Ларина

2016-12-01

 Смотрите также  №13№14№15№17№18 Тренировочной работы №173 А. Ларина

16. Хорда AB окружности параллельна касательной, проходящей через точку C, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку C и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке P.
А) Докажите, что треугольник ABP равнобедренный.
Б) Найдите отношение, в котором хорда AB делит диаметр CP, если известно, что \angle APB=150^{\circ}.

Читать далее