Задание №17 (С3) Т/Р №92 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №18, №19, №20

Решите неравенство $log_x(1-2x)\leq 3-log _{\frac{1}{x}-2}x.$

 Решение:

$log_x(1-2x)\leq 3-\frac{1}{log _x (\frac{1}{x}-2)};$

$log_x(1-2x)\leq 3-\frac{1}{log _x \frac{1-2x}{x}};$

$log_x(1-2x)\leq 3-\frac{1}{log _x (1-2x)-1};$

$log_x(1-2x)-3+\frac{1}{log _x (1-2x)-1}\leq 0;$

$\frac{log^2_x(1-2x)-4log _x (1-2x)+4}{log _x (1-2x)-1}\leq 0;$

$\frac{(log_x(1-2x)-2)^2}{log _x (1-2x)-1}\leq 0;$

$log_x(1-2x)<1$ или $log_x(1-2x)=2$

Переходим к следующей совокупности (решать последнее указанное неравенство будем методом рационализации):

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}(x-1)(1-2x-x)<0,\\x>0,\\x\neq 1,\\1-2x>0;\end{cases}\\log_x(1-2x)=2;\end{array}\right.$

или, что тоже самое:

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}(x-1)(1-2x-x)<0,\\1-2x=x^2;\end{array}\right.\\x>0,\\x\neq 1,\\1-2x>0;\\log_x(1-2x)=2;\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}(x-1)(1-3x)<0,\\1-2x=x^2;\end{array}\right.\\x>0,\\x\neq 1,\\1-2x>0;\\x<\frac{1}{2};\end{cases}$

$x\in (0;\frac{1}{3})\cup${$-1+\sqrt2$}.

Ответ:  $(0;\frac{1}{3})\cup${$-1+\sqrt2$}.