Задание №13 Т/Р №184 А. Ларина

Смотрите также  №14; №15; №16; №17; №18; №19  Тренировочной работы №184 А. Ларина

13. Дано уравнение $\sqrt{log_{\sqrt x}5x}\cdot log_5x=-2.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите натуральное число $n,$ такое, что  $x_0\in (\frac{lg2}{n+1};\frac{lg2}{n}),$  где $x_0$ – корень уравнения.

Решение:

а)

$\sqrt{log_{\sqrt x}5x}\cdot log_5x=-2;$

$\sqrt{2(log_{x}5+log_xx)}\cdot log_5x=-2;$

$\sqrt{log_{x}5+1}\cdot log_5x=-\sqrt 2;$

$\sqrt{log_{x}5+1}=-\sqrt 2log_x5;$

$log_{x}5+1=2log_x^25$ при условии $log_x5< 0;$

$2log_x5^2-log_{x}5-1=0$ при условии $log_x5< 0;$

$(log_x5-1)(log_x5+\frac{1}{2})=0$ при условии $log_x5< 0;$

$log_x5=-\frac{1}{2};$

$x=\frac{1}{25}.$

б) Найдем натуральное число $n,$ такое, что  $\frac{1}{25}\in (\frac{lg2}{n+1};\frac{lg2}{n}).$

$\frac{lg2}{n+1}<\frac{1}{25}<\frac{lg2}{n};$

$25lg2-1<n<25lg2;$

$lg\frac{2^{25}}{10}<n<lg2^{25};$

$\frac{2^{25}}{10}<10^n<2^{25};$

Так как

$2^{25}=2\cdot (2^{12})^2=2\cdot 4096^2=33554432=3,3\cdot 10^7.$

и, с другой стороны,

$2^{25}=(2^{10})^2\cdot 2^5=1024^2\cdot 32>10^6\cdot 32=3,2\cdot 10^7$,

(то есть $3,2\cdot 10^6<\frac{2^{25}}{10}$),

то

$3,2\cdot 10^6<10^n<3,3\cdot 10^7;$

$n=7.$

Ответ: а) $\frac{1}{25};$ б) $7.$