Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение 
a) Решите уравнение.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие интервалу 
Решение: + показать
а)






или 
или 
б) Отбор корней производим при помощи тригонометрического круга.

Ответ:
а) 
б) 
14. В прямоугольном параллелепипеде
Точка
– середина ребра
, точка
лежит на ребре
так, что 
а) Докажите, что прямая
параллельна плоскости
.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью
.
Решение: + показать
a) Пусть
пересекается с
в точке
.
Треугольники
подобны,
. Откуда и
(или
).

Замечаем, треугольники
подобны по двум пропорциональным сторонам (
) и углу между ними (
– общий для треугольников).
А значит, равны углы
(а они соответственные при прямых
и секущей
), то есть прямые
параллельны по признаку параллельности прямых.
Итак, в плоскости
нашлась прямая (
),параллельная
, а значит, прямая
параллельна плоскости
по признаку параллельности прямой и плоскости.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть
(
). По теореме о трех перпендикулярах и
. Тогда 
(треугольник
– проекция
на
)

Для треугольника 



Из треугольника 

Далее,
.
Наконец, 
Ответ: б) 
15. Решите неравенство: 
Решение: + показать




Применяем метод замены множителей к первой строке системы (заменяем разность
на разность
при условии
, ограничения на подлогарифмные выражения уже указаны в системе).




Ответ: 
16. Точка
лежит на диаметре
окружности с центром
.
и
– точки окружности, расположенные по одну сторону от
, причем
.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь четырехугольника
, если известно, что
.
Задачу, аналогичную данной, можно найти здесь.
Решение: + показать
а) Продлим за точку
отрезок
, обозначив точку пересечения образовавшегося луча с окружностью за
.
Пусть
– основания перпендикуляров, проведенных из центра окружности к сторонам 

По условию углы
равны, а поскольку углы
– вертикальные, то
, то есть
– биссектриса угла 
По свойству биссектрисы угла
. Тогда треугольники
равны по гипотенузе и катету. Откуда и вытекает равенство соответствующих углов, а именно 
Что и требовалось доказать.
б) Пусть
.
Поскольку
, то угол
(
– точка пересечения
и
) есть
.
Но тогда в треугольнике
.
Итак, разобьем четырехугольник
на треугольники
(прямоугольный) и
.



Нам потребуется
, длину которой найдем по теореме косинусов из треугольника 




Тогда 
Итак, 
Ответ: б) 
17. Города А и В расположены на берегу реки, причем город В лежит ниже по течению. В 6 часов утра из А в В отправился плот. В тот же момент из В в А отправилась лодка, которая встретилась с плотом в 11 часов утра. Доплыв до города А, лодка сразу же повернула обратно и приплыла в город В одновременно с плотом. Успели ли лодка и плот прибыть в город В к 6 ч вечера того же дня?
Решение: + показать
Пусть скорость течения –
км/час, собственная cкорость лодки –
км/час.
За 5 часов (с 6 до 11 утра) плот, выйдя из А, проплывет (до встречи с лодкой)
км, лодка пройдет, выйдя из В, (против течения, до встречи с плотом)
км.
Стало быть, расстояние между городами А и В –
км.
Лодка доплывает от места встречи до А за
часов.
Далее лодка доплывет от А до В (по течению) за
часов.
Плот доходит до В (от места встречи с лодкой) за
часов.
Так как доплыв до города А, лодка сразу же повернула обратно и приплыла в город В одновременно с плотом, то










Чтобы лодка и плот успели прибыть в город В к 6 ч вечера того же дня, необходимо:


Мы же имеем:


, что неверно.
Неравенство не выполняется, стало быть, лодка и плот не успели прибыть в город В к 6 ч вечера того же дня.
Ответ: нет.
18. Найдите все
, при каждом из которых функция

имеет ровно два экстремума на промежутке (‐2;3).
Решение: + показать
При

При

Заметим, при
, то есть
не имеет экстремумов на
(в частности, на
).
Тогда остается потребовать, чтобы
имело бы два экстремума на
.
Заметим, при
при 
Возможны два случая.
1)
– одна из точек экстремума. Тогда на
должна существовать еще одна точка экстремума.

2)
– не точка экстремума. Тогда на
должны существовать две точки экстремума.

В первом случае
и
То есть получаем, что 
Во втором случае
и
и
. То есть получаем, что 
Итак, объединяя оба случая, приходим к тому, что 
Ответ: 
Здравствуйте!
Поясните пожалуйста, почему в задаче №18 в случае 1 не учитывается то, что а-1=0 (т.к. x=0 является точкой экстремума функции). Если учитывать этот факт, мы получим другое решение для первого случая, а значит и другой ответ к задаче в целом.
Какое решение вы получаете в этом случае? Напишите.