Задание №16 Т/Р №166 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №166 А. Ларина

16. Точка $K$ лежит на диаметре $AB$ окружности с центром $O$. $C$ и $D$ – точки окружности, расположенные по одну сторону от $AB$, причем $\angle OCK=\angle ODK.$

а) Докажите, что $\angle CKB=\angle DKA.$
б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках $A,B,C,D$, если известно, что $OK=3,6, BK=9,6,\angle OCK=\angle ODK=30^{\circ}.$

Задачу, аналогичную данной, можно найти здесь.

Решение:

a) Пусть для определенности $K\in [AO].$  В противном случае рассуждения аналогичные.

Назовем углы $CKB,DKA$  углами $1$ и $2$ соответственно и докажем их равенство.

Продлим отрезок $DK$ за точку $K$ до пересечения с окружностью в точке $P.$

Пусть $OH_1\perp CK,OH_2\perp DP.$

Назовем угол $OKH_2$ углом $3$.

Треугольники $OCH_1,ODH_2$ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда $OH_1=OH_2.$

Но тогда треугольники $OH_1K,OH_2K$ равны по гипотенузе и катету, откуда следует, что $\angle 2=\angle 3.$

Ну а поскольку при этом $\angle 1=\angle 3$ (как вертикальные), приходим к равенству углов $2$ и $3$.

Итак, $\angle CKB=\angle DKA$. Что и требовалось доказать.

б) Из треугольника $CH_1O$ с углом в $30^{\circ}$ и гипотенузой $CO,$ равной радиусу окружности, то есть $6,$  имеем:

$OH_1=3$

и

$CH_1=\sqrt{CO^2-OH_1^2}=\sqrt{36-9}=3\sqrt3.$

Тогда из треугольника $OKH_1:$

$sin \angle 2=\frac{3}{3,6}=\frac{5}{6}$

и

$KH_1=\sqrt{OK^2-OH_1^2}=\sqrt{(3,6-3)(3,6+3)}=\sqrt{0,6\cdot 6,6}=0,6\sqrt{11}.$

$S_{CKB}=\frac{KC\cdot KB\cdot sin \angle 2}{2}=\frac{9,6(0,6\sqrt11+3\sqrt3)\cdot \frac{5}{6}}{2}=2,4\sqrt11+12\sqrt3.$

Замечая, что $DK=CH_1=3\sqrt3,$ получаем:

$S_{ADK}=\frac{AK\cdot DK\cdot sin \angle 1}{2}=\frac{2,4\cdot (3\sqrt3-0,6\sqrt{11})\cdot \frac{5}{6}}{2}=3\sqrt3-0,6\sqrt{11}.$

Далее, $\angle DKC=180^{\circ}-2\angle 1,$ поэтому

$sin DKC=sin2\angle 1=2sin \angle 1\cdot cos\angle 1=2\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{\sqrt{11}}{6}=\frac{5\sqrt{11}}{18}.$

$S_{DKC}=\frac{KD\cdot KC\cdot sinDKC}{2}=\frac{(3\sqrt3-0,6\sqrt{11})\cdot(3\sqrt3+0,6\sqrt{11})\cdot\large\frac{5\sqrt{11}}{18}}{2}=\normalsize 3,2\sqrt{11}.$

 Итак, $S_{ABCD}=2,4\sqrt{11}+12\sqrt3+3\sqrt3-0,6\sqrt{11}+3,2\sqrt{11}=5\sqrt{11}+15\sqrt3.$

Ответ: б) $5\sqrt{11}+15\sqrt3.$