Задание №16 Т/Р №166 А. Ларина

2016-10-13

 Смотрите также №13№14№15№17№18№19 Тренировочной работы №166 А. Ларина

16. Точка K лежит на диаметре AB окружности с центром O. C и D – точки окружности, расположенные по одну сторону от AB, причем \angle OCK=\angle ODK.

а) Докажите, что \angle CKB=\angle DKA.
б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках A,B,C,D, если известно, что OK=3,6, BK=9,6,\angle OCK=\angle ODK=30^{\circ}.

Задачу, аналогичную данной, можно найти здесь.

Решение:

a) Пусть для определенности K\in [AO].  В противном случае рассуждения аналогичные.

Назовем углы CKB,DKA  углами 1 и 2 соответственно и докажем их равенство.

Продлим отрезок DK за точку K до пересечения с окружностью в точке P.

Пусть OH_1\perp CK,OH_2\perp DP.

Назовем угол OKH_2 углом 3.

Треугольники OCH_1,ODH_2 равны по гипотенузе и острому углу. Тогда OH_1=OH_2.

Но тогда треугольники OH_1K,OH_2K равны по гипотенузе и катету, откуда следует, что \angle 2=\angle 3.

Ну а поскольку при этом \angle 1=\angle 3 (как вертикальные), приходим к равенству углов 2 и 3.

Итак, \angle CKB=\angle DKA. Что и требовалось доказать.

б) Из треугольника CH_1O с углом в 30^{\circ} и гипотенузой CO, равной радиусу окружности, то есть 6,  имеем:

OH_1=3

и

CH_1=\sqrt{CO^2-OH_1^2}=\sqrt{36-9}=3\sqrt3.

Тогда из треугольника OKH_1:

sin \angle 2=\frac{3}{3,6}=\frac{5}{6}

и

KH_1=\sqrt{OK^2-OH_1^2}=\sqrt{(3,6-3)(3,6+3)}=\sqrt{0,6\cdot 6,6}=0,6\sqrt{11}.

S_{CKB}=\frac{KC\cdot KB\cdot sin \angle 2}{2}=\frac{9,6(0,6\sqrt11+3\sqrt3)\cdot \frac{5}{6}}{2}=2,4\sqrt11+12\sqrt3.

Замечая, что DK=CH_1=3\sqrt3, получаем:

S_{ADK}=\frac{AK\cdot DK\cdot sin \angle 1}{2}=\frac{2,4\cdot (3\sqrt3-0,6\sqrt{11})\cdot \frac{5}{6}}{2}=3\sqrt3-0,6\sqrt{11}.

Далее, \angle DKC=180^{\circ}-2\angle 1, поэтому

sin DKC=sin2\angle 1=2sin \angle 1\cdot cos\angle 1=2\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{\sqrt{11}}{6}=\frac{5\sqrt{11}}{18}.

S_{DKC}=\frac{KD\cdot KC\cdot sin DKC}{2}=\frac{(3\sqrt3-0,6\sqrt11)\cdot (3\sqrt3+0,6\sqrt11)\cdot \frac{5\sqrt{11}}{18}}{2}=3,2\sqrt{11}.

 Итак, S_{ABCD}=2,4\sqrt11+12\sqrt3+3\sqrt3-0,6\sqrt{11}+3,2\sqrt{11}=5\sqrt{11}+15\sqrt3.

Ответ: б) 5\sqrt{11}+15\sqrt3.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif