Задача С4 (№18) диагностической работы от 12 декабря 2013 (11 класс)

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Приведем решение задачи С4 из диагностической работы в формате ЕГЭ от 12.12.13.

(Смотрите также часть В, С1(№15), С2(№16), С3(№17), С5(№20) диагностической работы).

Медианы AA_1, BB_1 и C C_1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A_2, B_2 и C_2 – середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A_1B_2C_1A_2B_1C_2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5 , BC = 8 и AC =10.

 

Решение:

a) Прежде всего заметим, что площадь треугольника ABC  может быть посчитана как сумма пощадей 6 треугольников (A_1MC,\;C_1MB,\;AMB_1). То есть S_{ABC}=S_1+S_2+...+S_6.

При этом каждый из шести указанных треугольников разбивается по условию задачи на два треугольника точками A_2,\;B_2,\;C_2.

Так вот каждая пара  (из шести пар) треугольников устроена так, что у них совпадают высоты, проведенные к равным сторонам, что тот час же означает равенство их площадей ( S_{\Delta}=\frac{1}{2}ah_a, где h_a – высота, проведенная к  стороне a).

Так значит, площадь шестиугольника, составленная из площадей шести треугольников A_2C_1M,\;C_1B_2MA_2B_1M есть половина площади треугольника ABC:

S_{A_1B_2C_1A_2B_1C_2}=\frac{1}{2}S_1+\frac{1}{2}S_2+...+\frac{1}{2}S_6=\frac{1}{2}S_{ABC}.

б) Очевидно, что C_1B_2=B_1C_2=\frac{AM}{2}, ведь  и C_1B_2, и  B_1C_2 являются средними линиями треугольников ABM и AMC c одинаковыми основаниями AM.

Аналогично A_1B_2=A_2B_1=\frac{CM}{2}, A_2C_1=A_1C_2=\frac{BM}{2}.

То есть нас будет интересовать следующая сумма:

2(A_2C_1^2+C_1B_2^2+A_1B_2^2)  или 2(\frac{AM^2}{4}+\frac{BM^2}{4}+\frac{CM^2}{4})

А учитывая свойство медиан AM=\frac{2}{3}AA_1,\;BM=\frac{2}{3}BB_1,\;CM=\frac{2}{3}CC_1,  имеем

2(\frac{AM^2}{4}+\frac{BM^2}{4}+\frac{CM^2}{4})=\frac{2}{9}(AA_1^2+BB_1^2+CC_1^2)

Зная все стороны треугольника, можно найти длины медиан по формуле

m^2_a=\frac{1}{4}(2b^2+2c^2-a^2)

(AB=c,\;BC=a,\;AC=b,\;m_c – медиана, проведенная к стороне c)

Если формула забыта, нет ничего страшного, – она несложно выводится:

+ показать

Итак, \frac{2}{9}(AA_1^2+BB_1^2+CC_1^2)=\frac{2}{9}(\frac{1}{4}(2a^2+2b^2-c^2)+\frac{1}{4}(2b^2+2c^2-a^2)+

+\frac{1}{4}(2a^2+2c^2-b^2))=\frac{1}{18}(3a^2+3b^3+3c^2)=\frac{1}{6}(5^2+8^2+10^2)=31,5.

Ответ: 31,5.

Замечание:

Заметим, вообще говоря, медианы треугольника разбивают его на 6 равновеликих треугольников:

Но в данной задаче мы обошлись из без этого факта.

Однако это полезное свойство может пригодится на ЕГЭ по математике (часть С). Неплохо было бы его уметь доказывать :).

Возможно, вам будет интересно аналогичное задание смежного варианта:

+ показать

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif