В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Приведем решение задачи С4 из диагностической работы в формате ЕГЭ от 12.12.13.
(Смотрите также часть В, С1(№15), С2(№16), С3(№17), С5(№20) диагностической работы).
Медианы ,
и
треугольника
пересекаются в точке
. Точки
,
и
– середины отрезков
,
и
соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника
.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что ,
и
.
Решение:
a) Прежде всего заметим, что площадь треугольника может быть посчитана как сумма пощадей 6 треугольников (
…
). То есть
При этом каждый из шести указанных треугольников разбивается по условию задачи на два треугольника точками
Так вот каждая пара (из шести пар) треугольников устроена так, что у них совпадают высоты, проведенные к равным сторонам, что тот час же означает равенство их площадей ( , где
– высота, проведенная к стороне
).
Так значит, площадь шестиугольника, составленная из площадей шести треугольников …
есть половина площади треугольника
:
.
б) Очевидно, что , ведь и
, и
являются средними линиями треугольников
и
c одинаковыми основаниями
.
Аналогично ,
.
То есть нас будет интересовать следующая сумма:
или
А учитывая свойство медиан , имеем
Зная все стороны треугольника, можно найти длины медиан по формуле
( – медиана, проведенная к стороне
)
Если формула забыта, нет ничего страшного, – она несложно выводится:
Итак,
Ответ: 31,5.
Замечание:
Заметим, вообще говоря, медианы треугольника разбивают его на 6 равновеликих треугольников:
Но в данной задаче мы обошлись из без этого факта.
Однако это полезное свойство может пригодится на ЕГЭ по математике (часть С). Неплохо было бы его уметь доказывать :).
Возможно, вам будет интересно аналогичное задание смежного варианта:
Добавить комментарий