Задача С4 (№18) диагностической работы от 12 декабря 2013 (11 класс)

Елена Репина 2013-12-13 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Приведем решение задачи С4 из диагностической работы в формате ЕГЭ от 12.12.13.

(Смотрите также часть В, С1(№15), С2(№16), С3(№17), С5(№20) диагностической работы).

Медианы $AA_1$ , $BB_1$ и $C C_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$ . Точки $A_2$ , $B_2$ и $C_2$ – середины отрезков $MA$ , $MB$ и $MC$ соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника $A_1B_2C_1A_2B_1C_2$ вдвое меньше площади треугольника $ABC$ .

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что $AB = 5$ , $BC = 8$ и $AC =10$ .

Решение:

a) Прежде всего заметим, что площадь треугольника $ABC$ может быть посчитана как сумма пощадей 6 треугольников ( $A_1MC,\;C_1MB,\;$ … $AMB_1$ ). То есть $S_{ABC}=S_1+S_2+...+S_6.$

При этом каждый из шести указанных треугольников разбивается по условию задачи на два треугольника точками $A_2,\;B_2,\;C_2.$

Так вот каждая пара (из шести пар) треугольников устроена так, что у них совпадают высоты, проведенные к равным сторонам, что тот час же означает равенство их площадей ( $S_{\Delta}=\frac{1}{2}ah_a$ , где $h_a$ – высота, проведенная к стороне $a$ ).

Так значит, площадь шестиугольника, составленная из площадей шести треугольников $A_2C_1M,\;C_1B_2M$ … $A_2B_1M$ есть половина площади треугольника $ABC$ :

$S_{A_1B_2C_1A_2B_1C_2}=\frac{1}{2}S_1+\frac{1}{2}S_2+...+\frac{1}{2}S_6=\frac{1}{2}S_{ABC}$ .

б) Очевидно, что $C_1B_2=B_1C_2=\frac{AM}{2}$ , ведь и $C_1B_2$ , и $B_1C_2$ являются средними линиями треугольников $ABM$ и $AMC$ c одинаковыми основаниями $AM$ .