Задание №16 Т/Р №167 А. Ларина

Елена Репина 2016-10-20 2016-10-19

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №167 А. Ларина

16. В окружность с центром в точке $O$ вписан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$ . На большем катете $BC$ взята точка $D$ так, что $AC=BD$ . Точка $E$ – середина дуги $ACB$ .

а) Докажите, что $\angle CED=90^{\circ}.$
б) Найдите площадь пятиугольника $AODEC$ , если известно, что $AB=13,AC=5.$

Решение:

а) Раз $E$ – середина дуги $ACB,$ то равнобедренные прямоугольные треугольники $BEO,AEO$ равны по двум катетам. Откуда $BE=AE$ .

Треугольники $EBD,EAC$ равны по первому признаку равенства треугольников ( $BD=AC$ по условию; $\angle EBD=\angle EAC$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу; $BE=AE$ ). Тогда $DE=CE$ как соответствующие стороны равных треугольников. То есть треугольник $DEC$ – равнобедренный.

Для того, чтобы угол $CED$ был бы прямым, достаточно показать, что, например, $\angle ECD=45^{\circ}.$ Покажем это.

9087u

Действительно, так как $\angle ABE=45^{\circ}$ , а четырехугольник $ACEB$ вписан в окружность, то есть сумма противоположных углов $B$ и $C$ равна $180^{\circ}$ , то $\angle AEC=135^{\circ}.$