Задание №16 Т/Р №167 А. Ларина

2016-10-19

 Смотрите также  №13№14№15№17№18№19 Тренировочной работы №167 А. Ларина

16. В окружность с центром в точке O вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. На большем катете BC взята точка D так, что AC=BD. Точка E – середина дуги ACB.

а) Докажите, что \angle CED=90^{\circ}.
б) Найдите площадь пятиугольника AODEC, если известно, что AB=13,AC=5.

Решение:

а) Раз E – середина дуги ACB, то равнобедренные прямоугольные треугольники BEO,AEO равны по двум катетам. Откуда BE=AE.

Треугольники EBD,EAC равны по первому признаку равенства треугольников (BD=AC по условию; \angle EBD=\angle EAC как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу; BE=AE). Тогда DE=CE как соответствующие стороны равных треугольников. То есть треугольник DEC – равнобедренный.

Для того, чтобы угол CED был бы прямым, достаточно показать, что, например,  \angle ECD=45^{\circ}. Покажем это.

Действительно, так как \angle ABE=45^{\circ}, а четырехугольник ACEB вписан в окружность, то есть сумма противоположных углов B и C равна 180^{\circ}, то \angle AEC=135^{\circ}.

Откуда, в силу того, что угол ACB прямой (опирается на диаметр), получаем DCE=45^{\circ}.

Итак, равнобедренный треугольник с углами в 45^{\circ} при основании – прямоугольный.

Что и требовалось доказать.

б)

S_{AODEC}=S_{ABC}-S_{BOD}+S_{DEC}.

S_{ABC}=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{5\cdot \sqrt{13^2-5^2}}{2}=30.

S_{BOD}=\frac{BO\cdot BD\cdot sin B}{2}=\frac{6,5\cdot 5\cdot \frac{5}{13}}{2}=6,25.

Треугольники EDC,EBA подобны и k=\frac{DC}{AB}=\frac{BC-BD}{13}=\frac{7}{13}, поэтому

S_{EDC}=k^2S_{EBA}=(\frac{7}{13})^2\frac{EO\cdot AB}{2}=\frac{49}{169}\cdot \frac{169}{4}=12,25.

Итак,

S_{AODEC}=30-6,25+12,25=36.

Ответ: б) 36.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif