Задание №14 Т/Р №167 А. Ларина

Смотрите также  №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №167 А. Ларина

14. Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. $O$ – точка пересечения $A_1D$ и $AD_1.$
а) Докажите, что плоскости $OB_1C_1$ и $CEE_1$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $B_1C_1$ и $CE_1$, если известно, что $AB=1,AA_1=3$.

Решение:

a) Плоскость $(CEE_1)$ – плоскость параллелограмма $CEE_1C_1.$

Так как призма правильная, то $CC_1\perp B_1C_1.$ Также $C_1E_1\perp B_1C_1$ (см. рис.).

Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $B_1C_1\perp (CC_1E_1).$

Далее, по признаку перпендикулярности плоскостей, $(B_1C_1O)\perp (CC_1E_1).$

Что и требовалось доказать.

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми – расстояние от одной из них до параллельной плоскости, в которой лежит вторая прямая:

$\rho (B_1C_1;CE_1)=\rho (B_1C_1;(CE_1F_1B))$.

При этом расстояние от прямой до плоскости – расстояние от любой точки прямой до плоскости. Поэтому, например,

$\rho (B_1C_1;CE_1)=\rho (C_1;(CE_1F_1B))$.

Плоскости $CBF_1E_1,$ $CC_1E_1E$ перпендикулярны, так как одна из них ($CBF_1E_1$) содержит прямую ($BC$), перпендикулярную второй плоскости (действительно, $BC\parallel B_1C_1$,  а в п.а мы уже говорили, что $B_1C_1\perp (CC_1E_1E)$).

По свойству перпендикулярных плоскостей, если в одной из них провести перпендикуляр к линии пересечения, то этот перпендикуляр к линии пересечения  плоскостей – перпендикуляр и ко второй плоскости. Построим в плоскости $CC_1E_1E$ перпендикуляр $C_1L$ к $CE_1.$ Тогда $C_1L\perp (CBF_1E_1).$

То есть

$\rho (B_1C_1;CE_1)=\rho (C_1;(CE_1F_1B))=C_1L$.

Выражая площадь треугольника $CC_1E_1$ двумя способами, приходим к тому, что

$C_1L\cdot CE_1=CC_1\cdot C_1E_1$.

При этом из треугольника $C_1D_1E_1$ по теореме косинусов

$C_1E_1=1^2+1^2-2\cdot (-\frac{1}{2})=\sqrt3.$

Итак,

$C_1L=\frac{CC_1\cdot C_1E_1}{CE_1}=\frac{3\cdot \sqrt3}{\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}}=1,5.$

Ответ: б) $1,5.$