Задание №14 Т/Р №167 А. Ларина

2016-10-18

Смотрите также  №13№15№16№17№18№19 Тренировочной работы №167 А. Ларина

14. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1. O – точка пересечения A_1D и AD_1.
а) Докажите, что плоскости OB_1C_1 и CEE_1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми B_1C_1 и CE_1, если известно, что AB=1,AA_1=3.

Решение:

a) Плоскость (CEE_1) – плоскость параллелограмма CEE_1C_1.

Так как призма правильная, то CC_1\perp B_1C_1. Также C_1E_1\perp B_1C_1 (см. рис.).

Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости B_1C_1\perp (CC_1E_1).

Далее, по признаку перпендикулярности плоскостей, (B_1C_1O)\perp (CC_1E_1).

Что и требовалось доказать.

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми – расстояние от одной из них до параллельной плоскости, в которой лежит вторая прямая:

\rho (B_1C_1;CE_1)=\rho (B_1C_1;(CE_1F_1B)).

При этом расстояние от прямой до плоскости – расстояние от любой точки прямой до плоскости. Поэтому, например,

\rho (B_1C_1;CE_1)=\rho (C_1;(CE_1F_1B)).

Плоскости CBF_1E_1, CC_1E_1E перпендикулярны, так как одна из них (CBF_1E_1) содержит прямую (BC), перпендикулярную второй плоскости (действительно, BC\parallel B_1C_1,  а в п.а мы уже говорили, что B_1C_1\perp (CC_1E_1E)).

По свойству перпендикулярных плоскостей, если в одной из них провести перпендикуляр к линии пересечения, то этот перпендикуляр к линии пересечения  плоскостей – перпендикуляр и ко второй плоскости. Построим в плоскости CC_1E_1E перпендикуляр C_1L к CE_1. Тогда C_1L\perp (CBF_1E_1).

То есть

\rho (B_1C_1;CE_1)=\rho (C_1;(CE_1F_1B))=C_1L.

Выражая площадь треугольника CC_1E_1 двумя способами, приходим к тому, что

C_1L\cdot CE_1=CC_1\cdot C_1E_1.

При этом из треугольника C_1D_1E_1 по теореме косинусов

C_1E_1=1^2+1^2-2\cdot (-\frac{1}{2})=\sqrt3.

Итак,

C_1L=\frac{CC_1\cdot C_1E_1}{CE_1}=\frac{3\cdot \sqrt3}{\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}}=1,5.

Ответ: б) 1,5.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif