Задание №14 Т/Р №167 А. Ларина

Елена Репина 2016-10-20 2016-10-18

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №167 А. Ларина

14. Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ . $O$ – точка пересечения $A_1D$ и $AD_1.$
а) Докажите, что плоскости $OB_1C_1$ и $CEE_1$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $B_1C_1$ и $CE_1$ , если известно, что $AB=1,AA_1=3$ .

Решение:

a) Плоскость $(CEE_1)$ – плоскость параллелограмма $CEE_1C_1.$

Так как призма правильная, то $CC_1\perp B_1C_1.$ Также $C_1E_1\perp B_1C_1$ (см. рис.).

Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $B_1C_1\perp (CC_1E_1).$

Далее, по признаку перпендикулярности плоскостей, $(B_1C_1O)\perp (CC_1E_1).$

Что и требовалось доказать.

knm

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми – расстояние от одной из них до параллельной плоскости, в которой лежит вторая прямая:

$\rho (B_1C_1;CE_1)=\rho (B_1C_1;(CE_1F_1B))$ .

При этом расстояние от прямой до плоскости – расстояние от любой точки прямой до плоскости. Поэтому, например,

$\rho (B_1C_1;CE_1)=\rho (C_1;(CE_1F_1B))$ .

Плоскости $CBF_1E_1,$ $CC_1E_1E$ перпендикулярны, так как одна из них ( $CBF_1E_1$ ) содержит прямую ( $BC$ ), перпендикулярную второй плоскости (действительно, $BC\parallel B_1C_1$ , а в п.а мы уже говорили, что $B_1C_1\perp (CC_1E_1E)$ ).

По свойству перпендикулярных плоскостей, если в одной из них провести перпендикуляр к линии пересечения, то этот перпендикуляр к линии пересечения плоскостей – перпендикуляр и ко второй плоскости. Построим в плоскости $CC_1E_1E$ перпендикуляр $C_1L$ к $CE_1.$ Тогда $C_1L\perp (CBF_1E_1).$