Задание №20 Т/Р №100 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство

$x^2+2|x-a|-4x\leq -a$

имеет единственное целочисленное решение.   Для найденных значений $a$ выпишите это решение.

Решение:

Раскрывая модуль, переходим к совокупности, равносильной исходному неравенству:

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x-a\geq 0,\\x^2+2(x-a)-4x\leq -a;\end{cases}\\\begin{cases}x-a<0,\\x^2-2(x-a)-4x\leq -a;\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases} a\leq x,\\a\geq x^2-2x;\end{cases}\\\begin{cases}a>x,\\a\leq -\frac{1}{3}x^2+2x;\end{cases}\end{array}\right.$

Переходим к системе координат $(x0a).$

В зоне $a\leq x$ (под прямой $a=x$, включая точки самой прямой) берем все точки, лежащие не ниже параболы $a=x^2-2x.$

В зоне $a>x$ (над прямой $a=x$) берем все точки, лежащие не выше параболы $a=-\frac{1}{3}x^2+2x.$

Ордината точки параболы $a=-\frac{1}{3}x^2+2x$ с абсциссой $x=1$ есть $-\frac{1}{3}\cdot 1+2\cdot 1$, а именно $\frac{5}{3}.$

Ордината точки параболы $a=-\frac{1}{3}x^2+2x$ с абсциссой $x=2$ есть $-\frac{1}{3}\cdot 2^2+2\cdot 2$, а именно $\frac{8}{3}.$

При $a\in [-1;0)$ имеем единственное целочисленное решение $x=1.$

При $a\in (\frac{5}{3};\frac{8}{3}]$ имеем единственное целочисленное решение $x=2.$

При $a=3$ имеем единственное целочисленное решение $x=3.$

Ответ:

$a\in [-1;0)$:  $1$,

$a\in (\frac{5}{3};\frac{8}{3}]$:  $2$,

$a=3$:  $3.$