Задание №20 Т/Р №100 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15№16№17№18.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

x^2+2|x-a|-4x\leq -a

имеет единственное целочисленное решение.   Для найденных значений a выпишите это решение.

Решение:

Раскрывая модуль, переходим к совокупности, равносильной исходному неравенству:

 \left[\begin{gathered} \begin{cases} x-a\geq 0,& &x^2+2(x-a)-4x\leq -a;& \end{cases}& \begin{cases} x-a<0,& &x^2-2(x-a)-4x\leq -a;& \end{cases}& \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases}  a\leq x,& &a\geq x^2-2x;& \end{cases}& \begin{cases} a>x,& &a\leq -\frac{1}{3}x^2+2x;& \end{cases}& \end{gathered}\right&

Переходим к системе координат (x0a).

В зоне a\leq x (под прямой a=x, включая точки самой прямой) берем все точки, лежащие не ниже параболы a=x^2-2x.

В зоне a>x (над прямой a=x) берем все точки, лежащие не выше параболы a=-\frac{1}{3}x^2+2x.

Ордината точки параболы a=-\frac{1}{3}x^2+2x с абсциссой x=1 есть -\frac{1}{3}\cdot 1+2\cdot 1, а именно \frac{5}{3}.

Ордината точки параболы a=-\frac{1}{3}x^2+2x с абсциссой x=2 есть -\frac{1}{3}\cdot 2^2+2\cdot 2, а именно \frac{8}{3}.

При a\in [-1;0) имеем единственное целочисленное решение x=1.

При a\in (\frac{5}{3};\frac{8}{3}] имеем единственное целочисленное решение x=2.

При a=3 имеем единственное целочисленное решение x=3.

Ответ:

a\in [-1;0):  1,

a\in (\frac{5}{3};\frac{8}{3}]:  2,

a=3:  3.

 

Печать страницы
Комментариев: 6
  1. Елена

    Елена, будем надеяться, что на ЕГЭ 2015 будет задание. которое решается графическим методом в плоскости хОа. Спасибо за решение, у меня такое же!

    [ Ответить ]
  2. Виктория

    Почему в ответе значения а даются промежутком? Разве там не точки? И почему после 8/3 стоит квадратная скобка?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Не точки. Целые промежутки нам годятся. Возьмите, например, a=2. Имеем мы при таком a одно целое решение?
      Квадратные скобки стоят потому, что мы берем 8/3 в ответ.

      [ Ответить ]
  3. Марат

    Подскажите, пожалуйста, как я должен был догадаться, что необходимо взять промежуток от 5/3 до 8/3, ведь на экзамене не будет всё так наглядно и красиво.

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif