22 Янв 2015

Категория: 18 (С6) Параметры*ПараметрТ/P A. Ларина

Задание №20 Т/Р №100 А. Ларина

Елена Репина 2015-01-22 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18.

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

$x^2+2|x-a|-4x\leq -a$

имеет единственное целочисленное решение. Для найденных значений $a$ выпишите это решение.

Решение:

Раскрывая модуль, переходим к совокупности, равносильной исходному неравенству:

$\left[\begin{gathered} \begin{cases} x-a\geq 0,& &x^2+2(x-a)-4x\leq -a;& \end{cases}& \begin{cases} x-a<0,& &x^2-2(x-a)-4x\leq -a;& \end{cases}& \end{gathered}\right&$

$\left[\begin{gathered} \begin{cases} a\leq x,& &a\geq x^2-2x;& \end{cases}& \begin{cases} a>x,& &a\leq -\frac{1}{3}x^2+2x;& \end{cases}& \end{gathered}\right&$

Переходим к системе координат $(x0a).$

В зоне $a\leq x$ (под прямой $a=x$ , включая точки самой прямой) берем все точки, лежащие не ниже параболы $a=x^2-2x.$

В зоне $a>x$ (над прямой $a=x$ ) берем все точки, лежащие не выше параболы $a=-\frac{1}{3}x^2+2x.$

oij

Ордината точки параболы $a=-\frac{1}{3}x^2+2x$ с абсциссой $x=1$ есть $-\frac{1}{3}\cdot 1+2\cdot 1$ , а именно $\frac{5}{3}.$

Ордината точки параболы $a=-\frac{1}{3}x^2+2x$ с абсциссой $x=2$ есть $-\frac{1}{3}\cdot 2^2+2\cdot 2$ , а именно $\frac{8}{3}.$

При $a\in [-1;0)$ имеем единственное целочисленное решение $x=1.$

При $a\in (\frac{5}{3};\frac{8}{3}]$ имеем единственное целочисленное решение $x=2.$

При $a=3$ имеем единственное целочисленное решение $x=3.$

Ответ:

$a\in [-1;0)$ : $1$ ,

$a\in (\frac{5}{3};\frac{8}{3}]$ : $2$ ,

$a=3$ : $3.$

Автор: egeMax | комментариев 6

Печать страницы

комментариев 6

Елена

2015-02-08 в 20:21

Елена, будем надеяться, что на ЕГЭ 2015 будет задание. которое решается графическим методом в плоскости хОа. Спасибо за решение, у меня такое же!

[ Ответить ]
Виктория

2015-04-02 в 15:54

Почему в ответе значения а даются промежутком? Разве там не точки? И почему после 8/3 стоит квадратная скобка?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-04-02 в 20:48
  
  Не точки. Целые промежутки нам годятся. Возьмите, например, a=2. Имеем мы при таком a одно целое решение?
  Квадратные скобки стоят потому, что мы берем 8/3 в ответ.
  
  [ Ответить ]
Марат

2015-04-21 в 19:12

Подскажите, пожалуйста, как я должен был догадаться, что необходимо взять промежуток от 5/3 до 8/3, ведь на экзамене не будет всё так наглядно и красиво.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-04-21 в 22:23
  
  Марат, можете применить аналитическое решение в этой задаче.
  
  [ Ответить ]
  - Марат
    
    2015-04-23 в 19:16
    
    Спасибо большое
    
    [ Ответить ]

Задание №20 Т/Р №100 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ