В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Смотрите также №15, №16, №17, №20.
В выпуклом четырехугольнике диагонали
и
взаимно перпендикулярны. Кроме того, вокруг него можно описать окружность. Из точек
и
опущены перпендикуляры на прямую
. Они пересекают прямые
и
соответственно в точках
и
.
а) Докажите, что – ромб
б) Найдите отношение площади четырехугольника к площади вписанного в него круга, если
Решение:
а) Углы и
(см. рис.), как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Углы и
равны как углы, дополняющие равные углы
и
до
(в треугольниках
и
соответственно).
Из равных треугольников и
(
– точка пересечения диагоналей
) (по катету и острому углу–
) следует:
и
Углы и
равны как углы, дополняющие равные углы
и
до
(в треугольниках
и
соответственно).
Из равных треугольников и
(по катету и острому углу –
,
) следует:
Из равных треугольников и
(по двум катетам –
) следует:
Итак, в четырехугольнике
, то есть
– ромб.
б) Распишем площадь треугольника двумя способами:
где
Так как по условию , то пусть
Тогда
– и есть радиус вписанного в ромб круга.
Итак,
Ответ:
Добавить комментарий