Задание №18 Т/Р №100 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также  №15№16№17№20.

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Кроме того, вокруг него можно описать окружность. Из точек B и C опущены перпендикуляры на прямую AD. Они пересекают прямые AC и BD соответственно в точках E и F.

а) Докажите, что BCEF – ромб
б) Найдите отношение площади четырехугольника BCEF к площади вписанного в него круга, если BF:CE=3:4.

Решение:

а) Углы 1 и 2 (см. рис.), как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Углы 3 и 4 равны как углы, дополняющие равные углы 1 и 2 до 90^{\circ} (в треугольниках BCT и FDH_2 соответственно).

Из равных треугольников BCT и FCT (T – точка пересечения диагоналей ABCD) (по катету и острому углу– TC=TC,  \angle 3=\angle 5) следует: BC=CF и BT=FT.

Углы 6 и 3 равны как углы, дополняющие равные углы 1 и 2 до 90^{\circ} (в треугольниках BDH_1 и BCT соответственно).

Из равных треугольников EBT и CBT (по катету и острому углу – BT=BT,  \angle 3=\angle 6) следует: BE=BC.

Из равных треугольников EBT и EFT (по двум катетам  – ET=ET,  BT=FT) следует: BE=EF.

Итак, в четырехугольнике BCEF    BC=CF=EF=EB, то есть BCEF – ромб.

б) Распишем площадь треугольника ETF двумя способами:

\frac{1}{2}\cdot ET\cdot TF=\frac{1}{2}\cdot HT\cdot EF,

где TH\perp EF.

Так как по условию BF:CE=3:4, то пусть ET=2x,TF=1,5x.

Тогда HT=\frac{2x\cdot 1,5x}{\sqrt{(2x)^2+(1,5x)^2}}=\frac{3x^2}{\frac{5}{2}x}=\frac{6}{5}x.

 HT – и есть радиус вписанного в ромб круга.

Итак,

\frac{S_{BCFE}}{S_{krug}}=\frac{\frac{1}{2}BF\cdot CE}{\pi HT^2}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 3x\cdot 4x}{\pi \cdot \frac{36}{25}x^2}=\frac{6}{\frac{36}{25}\pi}=\frac{25}{6\pi}.

Ответ: \frac{25}{6\pi}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif