Задание №17 Т/Р №103 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №18, №19, №20.

Решите неравенство

$\frac{\sqrt{6+x-x^2}}{log_2(5-2x)}\leq \frac{\sqrt{6+x-x^2}}{log_2(x+4)}.$

Решение:

$\sqrt{6+x-x^2}(\frac{1}{log_2(5-2x)}-\frac{1}{log_2(x+4)})\leq 0;$

$\sqrt{6+x-x^2}(\frac{log_2(x+4)-log_2(5-2x)}{log_2(5-2x)\cdot log_2(x+4)})\leq 0;$

Случай 1.

$x=-2$ или  $x=3$ (нули квадратного трехчлена $6+x-x^2$).

Заметим,  $x=-2$  являются решениями исходного неравенства, а $x=3$ – нет.

Случай 2.

$x\neq -2, x\neq 3.$

 Мы можем обе части неравенства поделить на $\sqrt{6+x-x^2}$ (с соблюдением условия $6+x-x^2>0$):

$\begin{cases}\frac{log_2(x+4)-log_2(5-2x)}{log_2(5-2x)\cdot log_2(x+4)}\leq 0,\\6+x-x^2>0;&\end{cases}$

К первой строке неравенства применяем метод замены множителей (метод рационализации):

$\begin{cases}\frac{(x+4)-(5-2x)}{(5-2x-1)(x+4-1)}\leq 0,\\x+4>0,\\5-2x>0,\\x^2-x-6<0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{3x-1}{(4-2x)(x+3)}\leq 0,\\x>-4,\\x<2,5,\\(x+2)(x-3)<0;&\end{cases}$

Итак, во втором случае имеем:

$x\in (-2;\frac{1}{3}]\cup (2;2,5).$

Наконец, объединяя решения случаев 1 и 2, получаем:

$x\in [-2;\frac{1}{3}]\cup (2;2,5).$

Ответ: $[-2;\frac{1}{3}]\cup (2;2,5).$