Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №203 А. Ларина.
14. Дана прямая призма
а) Докажите, что линия пересечения плоскостей и
параллельна основаниям призмы.
б) Найдите угол между плоскостями и
, если известно, что
Решение:
a) Пусть пересекается с
в точке
,
с
– в точке
Тогда прямая пересечения плоскостей и
–
– прямоугольники,
– точки пересечения диагоналей (точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена от всех вершин), откуда вытекает, что отрезок
– средняя линия треугольника, например,
Тогда по свойству средней линии прямая
параллельна
Далее,
параллельна плоскости
по признаку параллельности прямой и плоскости. Плоскости оснований призмы параллельны между собой, –
параллельна каждой из плоскостей основания.
Что и требовалось доказать.
б) Треугольники равны и один переходит в другой при повороте относительно
.
Пусть – высота трапеции
– высота трапеции
Несложно заметить, прямая перпендикулярна плоскости основания.
Прямые плоскостей
и
перпендикулярны
Угол , обозначим за
.
Пусть – также высота трапеции
Пусть
тогда
Очевидно,
Из треугольников по теореме Пифагора выражаем и приравниваем квадраты катетов
Тогда
Из треугольника по теореме косинусов:
Угол оказался тупым, тогда угол между прямыми
, а значит и угол между плоскостями
и
, есть
то есть
Ответ: б)
Добавить комментарий