Задание №14 Т/Р №203 А. Ларина

2017-09-20

Смотрите также №13№15№16; №17№18  Тренировочной работы №203 А. Ларина.

14. Дана прямая призма ABCA_1B_1C_1.

а) Докажите, что линия пересечения плоскостей ABC_1 и A_1B_1C параллельна основаниям призмы.
б) Найдите угол между плоскостями ABC_1 и A_1B_1C, если известно, что AC=1,BC=2,AB=\sqrt5,CC_1=3.

Решение:

a) Пусть BC_1 пересекается с CB_1 в точке M,   AC_1 с AC_1 – в точке N.

Тогда прямая пересечения плоскостей ABC_1 и A_1B_1CMN.

BB_1C_1C,AA_1C_1C – прямоугольники, M,N – точки пересечения диагоналей (точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена от всех вершин), откуда вытекает, что  отрезок MN – средняя линия треугольника, например, ABC_1. Тогда по свойству средней линии  прямая MN параллельна AB. Далее, MN параллельна плоскости ABC по признаку параллельности прямой и плоскости. Плоскости оснований призмы параллельны между собой, – MN параллельна каждой из плоскостей основания.

Что и требовалось доказать.

б) Треугольники ABC_1,A_1B_1C равны и один переходит в другой при повороте относительно MN.

Пусть ME – высота трапеции ABMN, ME_1 – высота трапеции A_1B_1MN.

Несложно заметить, прямая EE_1 перпендикулярна плоскости основания.

Прямые EM,E_1M плоскостей ABC_1 и A_1B_1C перпендикулярны MN.

Угол EME_1, обозначим за \alpha.

Пусть NF – также высота трапеции ABMN. Пусть BE=x,  тогда AF=\frac{\sqrt5}{2}-x.

Очевидно, BC_1=\sqrt{BC^2+CC_1^2}=\sqrt{13},   AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2}=\sqrt{10}.

Из треугольников BME,ANF по теореме Пифагора выражаем и приравниваем квадраты катетов  ME,NF:

\frac{13}{4}-x^2=\frac{10}{4}-(\frac{\sqrt5}{2}-x)^2;

\frac{3}{4}=\sqrt5x-\frac{5}{4};

x=\frac{2}{\sqrt5}.

Тогда ME^2=\frac{13}{4}-\frac{4}{5}=\frac{49}{20}.

Из треугольника MEE_1 по теореме косинусов:

EE_1^2=2ME^2-2ME^2cos\alpha;

9=\frac{49}{10}(1-cos\alpha);

cos\alpha=-\frac{41}{49}.

Угол \alpha =MEE_1  оказался тупым, тогда угол между прямыми ME,ME_1, а значит и угол между плоскостями  ABC_1 и A_1B_1C, есть \pi -\alpha, то есть arccos\frac{41}{49}.

Ответ: б) arccos\frac{41}{49}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

19 − пятнадцать =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif