Задание №16 Т/Р №203 А. Ларина

2017-09-21

Смотрите также №13; №14; №15№17№18 Тренировочной работы №203 А. Ларина.

16. Окружности с центрами в точках A,B и C и радиусами, равными a,b и c соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точка K, M, P.
а) Докажите, что отношение площади треугольника KMP к площади треугольника ABC равно \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KMP, если известно, что a=6, b=7, c=1.

Решение:

a)

\frac{S_{MKP}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}-(S_{AMP}+S_{BMK}+S_{CKP})}{S_{ABC}}=1-\frac {S_{AMP}+S_{BMK}+S_{CKP}}{S_{ABC}}.

Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания.

Потому AM=AP=a,BM=BK=b,CP=CK=c.

\frac{S_{AMP}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot sin A}{\frac{1}{2}\cdot (a+b)(a+c)\cdot sin A}=\frac{a^2}{(a+b)(a+c)}.

Аналогично

\frac{S_{BMK}}{S_{ABC}}=\frac{b^2}{(a+b)(b+c)};

\frac{S_{CKP}}{S_{ABC}}=\frac{c^2}{(a+c)(b+c)}.

Итак,

\frac{S_{MKP}}{S_{ABC}}=1-(\frac{a^2}{(a+b)(a+c)}+\frac{b^2}{(a+b)(b+c)}+\frac{c^2}{(a+c)(b+c)})=

=\frac{a^2b+abc+ab^2+b^2c+a^2c+ac^2+abc+bc^2-a^2b-a^2c-ab^2-b^2c-ac^2-bc^2}{(a+b)(a+c)(b+c)}=\frac{2abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}.

б) Окружность, описанная около треугольника MKP, – окружность, вписанная в треугольник ABC. Действительно, центр окружности, описанной около треугольника MKP, равноудален от точек M,K,P то есть является точкой пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам MK,KP,MP. Но серединные перпендикуляры к указанным отрезкам (за счет того, что треугольники AMP,BMK,CKP равнобедренные) лежат на биссектрисах углов A,B,C. Таким образом, центр окружности, описанной около треугольника MKP, есть точка пересечения биссектрис углов A,B,C, а значит является центром окружности, вписанной в треугольник ABC.

Используем для подсчета площади треугольника ABC, необходимой для нахождения радиуса r вписанной окружности, формулу Герона (p – полупериметр треугольника ABC).

r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{\sqrt{14\cdot (14-13)(14-8)(14-7)}}{14}=\sqrt3.

Ответ: б) \sqrt3.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

двадцать − одиннадцать =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif