Задание №16 Т/Р №203 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18 Тренировочной работы №203 А. Ларина.

16. Окружности с центрами в точках $A,B$ и $C$ и радиусами, равными $a,b$ и $c$ соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точка $K$, $M$, $P$.
а) Докажите, что отношение площади треугольника $KMP$ к площади треугольника $ABC$ равно $\large \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}.$

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KMP$, если известно, что $a=6, b=7, c=1$.

Решение:

a)

$\frac{S_{MKP}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}-(S_{AMP}+S_{BMK}+S_{CKP})}{S_{ABC}}=1-\frac {S_{AMP}+S_{BMK}+S_{CKP}}{S_{ABC}}.$

Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания.

Потому $AM=AP=a,BM=BK=b,CP=CK=c.$

$\frac{S_{AMP}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot sin A}{\frac{1}{2}\cdot (a+b)(a+c)\cdot sin A}=\frac{a^2}{(a+b)(a+c)}.$

Аналогично

$\frac{S_{BMK}}{S_{ABC}}=\frac{b^2}{(a+b)(b+c)};$

$\frac{S_{CKP}}{S_{ABC}}=\frac{c^2}{(a+c)(b+c)}.$

Итак,

$\large \frac{S_{MKP}}{S_{ABC}}=1-(\frac{a^2}{(a+b)(a+c)}+\frac{b^2}{(a+b)(b+c)}+\frac{c^2}{(a+c)(b+c)})=$

$\large=\frac{a^2b+abc+ab^2+b^2c+a^2c+ac^2+abc+bc^2-a^2b-a^2c-ab^2-b^2c-ac^2-bc^2}{(a+b)(a+c)(b+c)}=\frac{2abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}.$

б) Окружность, описанная около треугольника $MKP$, – окружность, вписанная в треугольник $ABC.$ Действительно, центр окружности, описанной около треугольника $MKP,$ равноудален от точек $M,K,P$ то есть является точкой пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $MK,KP,MP$. Но серединные перпендикуляры к указанным отрезкам (за счет того, что треугольники $AMP,BMK,CKP$ равнобедренные) лежат на биссектрисах углов $A,B,C$. Таким образом, центр окружности, описанной около треугольника $MKP,$ есть точка пересечения биссектрис углов $A,B,C$, а значит является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC.$

Используем для подсчета площади треугольника $ABC,$ необходимой для нахождения радиуса $r$ вписанной окружности, формулу Герона ($p$ – полупериметр треугольника $ABC$).

$\large r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{\sqrt{14\cdot (14-13)(14-8)(14-7)}}{14}=\sqrt3.$

Ответ: б) $\sqrt3.$