Задание №18 реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

2023-07-05

Разбор задания №18 одного из вариантов

Смотрите также №15№16, №17№19, №20, №21.

Две окружности касаются внутренним образом в точке А, причем меньшая проходит через центр большей. Хода ВС большей окружности касается меньшей в точке Р. Хорды АВ и АС пересекают меньшую окружность в точках К и М соответственно.

а) Докажите, что прямые КМ и ВС параллельны.
б) Пусть L – точка пересечения отрезков КМ и АР. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а ВС=16.

Решение:

Рассмотрим случай, когда точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $O_1O_2.$ Рассуждения во втором случае схожи с рассуждениями в первом случае.

a) Пусть $O_1,O_2$ – центры малой и большой окружностей соответственно.

Углы $AKM,MAO_2$ (вписанные в малую окружность) отличаются друг от друга на $90^{\circ},$ так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет $180^{\circ}.$

Аналогично, углы $ABC,CAO_2$ (вписанные в большую окружность) отличаются друг от друга на $90^{\circ},$ так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет $180^{\circ}.$

87

Итак, углы $AKM, ABC$, одновременно большие (или меньшие) угла $MAO_2$ на $90^{\circ},$ равны между собой. А поскольку указанные равные углы – соответственные при прямых $KM,BC$ и секущей $AB$, то $KM\parallel BC$ (по признаку параллельности прямых).

Что и требовалось доказать.

б) Заметим, поскольку $\angle AMO_2$ прямой (опирается на диаметр малой окружности), то в равнобедренном треугольнике $ACO_2$ высота $MO_2$  является и медианой, то есть $M$ – середина $AC$.

Таким образом, $KM$ – средняя линия треугольника $ABC,$  откуда $AL=\frac{AP}{2}.$

Пусть $N$ – середина $BC.$ Тогда $O_2N$ – не только медиана в равнобедренном треугольнике $BO_2C$, но и высота.

j

По теореме Пифагора  из треугольника $NCO_2$ имеем $NO_2=6.$

$O_1PNO_2$ – прямоугольная трапеция. Проведем в ней из точки $O_1$ перпендикуляр $O_1D$ к основанию $O_2N.$

Из треугольника $O_1DO_2$:

$cosO_1O_2D=\frac{O_2D}{O_1O_2}=\frac{1}{5}.$

Из треугольника $APO_1$ по теореме косинусов:

$AP^2=AO_1^2+O_1P^2-2AO_1\cdot O_1P\cdot cosAO_1P;$

$AP^2=2\cdot 25-2\cdot 25\cdot \frac{1}{5};$

$AP=2\sqrt{10}.$

Наконец, $AL=\frac{AP}{2}=\sqrt{10}.$

Ответ: $\sqrt{10}.$

Печать страницы
комментариев 27
  1. Елена

    Спасибо, Елена. Задача ЕГЭ 2010 г. У Вас такой хороший подход в доказательстве. Я доказывала равенство соответственных углов С и М, у Вас проще…

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Задача, конечно, не супер сложная… Понимаешь это, когда решишь. Но столь нагроможденный чертеж (обилие хорд, секущих) отпугивает многих от задачи :(

      [ Ответить ]
      • Нодир

        Почему косинус угла O(1)O(2)D равен косинусу угла AO(1)P?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          [latexpage]Нодир, потому что $O_1PNO_2$ – трапеция, то есть $O_1N\parallel O_2N$, указанные вами углы – соответственные.

          [ Ответить ]
          • Дарья

            Здравствуйте, почему AK=KB?

            [ Ответить ]
          • egeMax

            M – середина AC. KM параллельна BC.
            По свойству о пропорциональных отрезках.

            [ Ответить ]
  2. Алина

    Почему O1P=DN?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      O_1PND – прямоугольник 

      [ Ответить ]
  3. Фаиля

    Большое спасибо за решение!(Однако,если решение мелкими буквами занимает столько места, сколько это будет занимать оно на экзамене. И сколько процентов выпускников с этим справятся?Это мысли вслух)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, Фаиля, задачка – та еще!

      [ Ответить ]
  4. Валерия

    По какой именно теореме угол АКМ отличается от угла МАО2 на 90 градусов ?

    [ Ответить ]
  5. Валерия

    По какой теореме ? Углы (вписанные в малую окружность) отличаются друг от друга на 90 так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет 180

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Валерия, я могу не видеть сразу комментарии… Задержка с ответами присутствует. Не волнуйтесь.
      Указанные углы отличаются друг от друга, [latexpage]так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет $180^{\circ}$.
      Если подробнее, то
      $\angle AKM=\frac{\breve{AO_2M}}{2};$
      $\angle MAO_2=\frac{\breve{MO_2}}{2};$
      $\breve{AO_2M}-\breve{MO_2}=180^{\circ};$
      Тогда $\angle AKM-\angle MAO_2=90^{\circ}.$

      [ Ответить ]
  6. Валерия

    Теперь понятно ! Благодарю ))

    [ Ответить ]
  7. Дмитрий

    Скажите пожалуйста почему AL=1/2AP?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      КM параллельна BC. По теореме о пропорциональных отрезках. Если K – середина AB, то и L – середина AP.

      [ Ответить ]
      • Дмитрий

        вот спасибо

        [ Ответить ]
  8. Саша

    Здесь же представлено неполное решение, не разобран случай, когда В и С лежат с разных сторон от прямой О1О2. Там же по-другому получается. Или я неправ?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Приведена картинка к одному из вариантов, но решение учитывает все варианты.

      [ Ответить ]
      • Саша

        В пункте а), углы, которые Вы сравниваете получаются в сумме 90 градусов, а не отличаются на 90 градусов. А в пункте б), косинусы не просто равны, а противоположны по знаку. Небольшие, но отличия

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Нет, углы именно отличаются на 90 градусов. В сумме никак они 90 не дают. Один из них тупой.

          [ Ответить ]
          • Таня

            Это было описано то, что меняется во втором случае

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Да, все так. Некогда было вникать вчера… Сделала пометку в решении.

            [ Ответить ]
  9. Эмиль

    Куда проще доказать что КМ средняя линяя, это делается в два шага, углы считать не очень удобно, как мне кажется.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Каждому свое. Спасибо.

      [ Ответить ]
  10. Кристина

    А это не сочтут частным случаем? Ведь представлен лишь один вариант расположения. При другом расположении решение то меняется.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Нужно рассматривать оба варианта. Здесь разобран один случай, о чем сказано вначале решения.

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




1 × 5 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif