Задание №18 реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

Разбор задания №18 одного из вариантов

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20, №21.

Две окружности касаются внутренним образом в точке А, причем меньшая проходит через центр большей. Хода ВС большей окружности касается меньшей в точке Р. Хорды АВ и АС пересекают меньшую окружность в точках К и М соответственно.

а) Докажите, что прямые КМ и ВС параллельны.
б) Пусть L – точка пересечения отрезков КМ и АР. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а ВС=16.

Решение:

Рассмотрим случай, когда точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $O_1O_2.$ Рассуждения во втором случае схожи с рассуждениями в первом случае.

a) Пусть $O_1,O_2$ – центры малой и большой окружностей соответственно.

Углы $AKM,MAO_2$ (вписанные в малую окружность) отличаются друг от друга на $90^{\circ},$ так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет $180^{\circ}.$

Аналогично, углы $ABC,CAO_2$ (вписанные в большую окружность) отличаются друг от друга на $90^{\circ},$ так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет $180^{\circ}.$

Итак, углы $AKM, ABC$, одновременно большие (или меньшие) угла $MAO_2$ на $90^{\circ},$ равны между собой. А поскольку указанные равные углы – соответственные при прямых $KM,BC$ и секущей $AB$, то $KM\parallel BC$ (по признаку параллельности прямых).

Что и требовалось доказать.

б) Заметим, поскольку $\angle AMO_2$ прямой (опирается на диаметр малой окружности), то в равнобедренном треугольнике $ACO_2$ высота $MO_2$  является и медианой, то есть $M$ – середина $AC$.

Таким образом, $KM$ – средняя линия треугольника $ABC,$  откуда $AL=\frac{AP}{2}.$

Пусть $N$ – середина $BC.$ Тогда $O_2N$ – не только медиана в равнобедренном треугольнике $BO_2C$, но и высота.

По теореме Пифагора  из треугольника $NCO_2$ имеем $NO_2=6.$

$O_1PNO_2$ – прямоугольная трапеция. Проведем в ней из точки $O_1$ перпендикуляр $O_1D$ к основанию $O_2N.$

Из треугольника $O_1DO_2$:

$cosO_1O_2D=\frac{O_2D}{O_1O_2}=\frac{1}{5}.$

Из треугольника $APO_1$ по теореме косинусов:

$AP^2=AO_1^2+O_1P^2-2AO_1\cdot O_1P\cdot cosAO_1P;$

$AP^2=2\cdot 25-2\cdot 25\cdot \frac{1}{5};$

$AP=2\sqrt{10}.$

Наконец, $AL=\frac{AP}{2}=\sqrt{10}.$

Ответ: $\sqrt{10}.$