Задание №18 реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

2016-04-22

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Разбор задания №18 одного из вариантов

Смотрите также №15№16, №17№19, №20, №21.
Две окружности касаются внутренним образом в точке А, причем меньшая проходит через центр большей. Хода ВС большей окружности касается меньшей в точке Р. Хорды АВ и АС пересекают меньшую окружность в точках К и М соответственно.

а) Докажите, что прямые КМ и ВС параллельны.
б) Пусть L – точка пересечения отрезков КМ и АР. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а ВС=16.

Решение:

Рассмотрим случай, когда точки B и C лежат по одну сторону от прямой O_1O_2. Рассуждения во втором случае схожи с рассуждениями в первом случае.

a) Пусть O_1,O_2 – центры малой и большой окружностей соответственно.

Углы AKM,MAO_2 (вписанные в малую окружность) отличаются друг от друга на 90^{\circ}, так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет 180^{\circ}.

Аналогично, углы ABC,CAO_2 (вписанные в большую окружность) отличаются друг от друга на 90^{\circ}, так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет 180^{\circ}.

Итак, углы AKM, ABC, одновременно большие (или меньшие) угла MAO_2 на 90^{\circ}, равны между собой. А поскольку указанные равные углы – соответственные при прямых KM,BC и секущей AB, то KM\parallel BC (по признаку параллельности прямых).

Что и требовалось доказать.

б) Заметим, поскольку \angle AMO_2 прямой (опирается на диаметр малой окружности), то в равнобедренном треугольнике ACO_2 высота MO_2  является и медианой, то есть M – середина AC.

Таким образом, KM – средняя линия треугольника ABC,  откуда AL=\frac{AP}{2}.

Пусть N – середина BC. Тогда O_2N – не только медиана в равнобедренном треугольнике BO_2C, но и высота.

По теореме Пифагора  из треугольника NCO_2 имеем NO_2=6.

O_1PNO_2 – прямоугольная трапеция. Проведем в ней из точки O_1 перпендикуляр O_1D к основанию O_2N.

Из треугольника O_1DO_2:

cosO_1O_2D=\frac{O_2D}{O_1O_2}=\frac{1}{5}.

Из треугольника APO_1 по теореме косинусов:

AP^2=AO_1^2+O_1P^2-2AO_1\cdot O_1P\cdot cosAO_1P;

AP^2=2\cdot 25-2\cdot 25\cdot \frac{1}{5};

AP=2\sqrt{10}.

Наконец, AL=\frac{AP}{2}=\sqrt{10}.

Ответ: \sqrt{10}.

Печать страницы
Комментариев: 27
  1. Елена

    Спасибо, Елена. Задача ЕГЭ 2010 г. У Вас такой хороший подход в доказательстве. Я доказывала равенство соответственных углов С и М, у Вас проще…

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Задача, конечно, не сложная… Понимаешь это, когда решишь. Но столь нагроможденный чертеж (обилие хорд, секущих) отпугивает многих от задачи :(

      [ Ответить ]
      • Нодир

        Почему косинус угла O(1)O(2)D равен косинусу угла AO(1)P?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Нодир, потому что O_1PNO_2 – трапеция, то есть O_1N\parallel O_2N, указанные вами углы – соответственные.

          [ Ответить ]
          • Дарья

            Здравствуйте, почему AK=KB?

            [ Ответить ]
          • egeMax

            M – середина AC. KM параллельна BC.
            По свойству о пропорциональных отрезках.

            [ Ответить ]
  2. Алина

    Почему O1P=DN?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      O_1PND – прямоугольник 

      [ Ответить ]
  3. Фаиля

    Большое спасибо за решение!(Однако,если решение мелкими буквами занимает столько места, сколько это будет занимать оно на экзамене. И сколько процентов выпускников с этим справятся?Это мысли вслух)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, Фаиля, задачка – та еще!

      [ Ответить ]
  4. Валерия

    По какой именно теореме угол АКМ отличается от угла МАО2 на 90 градусов ?

    [ Ответить ]
  5. Валерия

    По какой теореме ? Углы (вписанные в малую окружность) отличаются друг от друга на 90 так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет 180

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Валерия, я могу не видеть сразу комментарии… Задержка с ответами присутствует. Не волнуйтесь.
      Указанные углы отличаются друг от друга, так как опираются на дуги, разность градусных мер которых составляет 180^{\circ}.
      Если подробнее, то
      \angle AKM=\frac{\breve{AO_2M}}{2};
      \angle MAO_2=\frac{\breve{MO_2}}{2};
      \breve{AO_2M}-\breve{MO_2}=180^{\circ};
      Тогда \angle AKM-\angle MAO_2=90^{\circ}.

      [ Ответить ]
  6. Валерия

    Теперь понятно ! Благодарю ))

    [ Ответить ]
  7. Дмитрий

    Скажите пожалуйста почему AL=1/2AP?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      КM параллельна BC. По теореме о пропорциональных отрезках. Если K – середина AB, то и L – середина AP.

      [ Ответить ]
      • Дмитрий

        вот спасибо

        [ Ответить ]
  8. Саша

    Здесь же представлено неполное решение, не разобран случай, когда В и С лежат с разных сторон от прямой О1О2. Там же по-другому получается. Или я неправ?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Приведена картинка к одному из вариантов, но решение учитывает все варианты.

      [ Ответить ]
      • Саша

        В пункте а), углы, которые Вы сравниваете получаются в сумме 90 градусов, а не отличаются на 90 градусов. А в пункте б), косинусы не просто равны, а противоположны по знаку. Небольшие, но отличия

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Нет, углы именно отличаются на 90 градусов. В сумме никак они 90 не дают. Один из них тупой.

          [ Ответить ]
          • Таня

            Это было описано то, что меняется во втором случае

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Да, все так. Некогда было вникать вчера… Сделала пометку в решении.

            [ Ответить ]
  9. Эмиль

    Куда проще доказать что КМ средняя линяя, это делается в два шага, углы считать не очень удобно, как мне кажется.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Каждому свое. Спасибо.

      [ Ответить ]
  10. Кристина

    А это не сочтут частным случаем? Ведь представлен лишь один вариант расположения. При другом расположении решение то меняется.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Нужно рассматривать оба варианта. Здесь разобран один случай, о чем сказано вначале решения.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif