Задание №16 Т/Р №176 А. Ларина

2016-12-21

 Смотрите также №13№14№15№17№18№19  Тренировочной работы №176 А. Ларина

16. Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается основания AC в точке M. Вторая окружность касается основания AC и продолжений боковых сторон.
А) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.
Б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен 3, а BM=8.

Решение:

a) Пусть центры вписанной, описанной окружностей – O,Q соответственно. Пусть точка касания вписанной окружности со стороной AB треугольника ABC – точка N, пусть  точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны AB – точка T.

M – середина основания AC.

Пусть радиусы малой и большой окружностей – r и R соответственно.

Замечаем, по свойству отрезков касательных, AN=AM=AT.

Рассмотрим прямоугольную трапецию ONTQ. Проведем  перпендикуляр OE к TQ.

Из треугольника OEQ:

OQ^2=OE^2+EQ^2,

то есть

OE^2=(R+r)^2-(R-r)^2;

OE^2=4Rr;

OE=\sqrt{4Rr}.

Поскольку OE=NT=AC, то AC=\sqrt{(2R)\cdot (2r)}, то есть длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.

б) Треугольники BNO,BTQ подобны по двум углам, потому

\frac{BO}{BQ}=\frac{NO}{TQ};

\frac{8-3}{8+R}=\frac{3}{R};

5R=24+3R;

R=12.

Ответ: 12.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

1 × 3 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif