Задание №16 Т/Р №176 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19  Тренировочной работы №176 А. Ларина

16. Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается основания $AC$ в точке $M$. Вторая окружность касается основания $AC $ и продолжений боковых сторон.
А) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.
Б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен $3$, а $BM=8$.

Решение:

a) Пусть центры вписанной, описанной окружностей – $O,Q$ соответственно. Пусть точка касания вписанной окружности со стороной $AB$ треугольника $ABC$ – точка $N,$ пусть  точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны $AB$ – точка $T.$

$M$ – середина основания $AC.$

Пусть радиусы малой и большой окружностей – $r$ и $R$ соответственно.

Замечаем, по свойству отрезков касательных, $AN=AM=AT.$

Рассмотрим прямоугольную трапецию $ONTQ.$ Проведем  перпендикуляр $OE$ к $TQ.$

Из треугольника $OEQ:$

$OQ^2=OE^2+EQ^2,$

то есть

$OE^2=(R+r)^2-(R-r)^2;$

$OE^2=4Rr;$

$OE=\sqrt{4Rr}.$

Поскольку $OE=NT=AC,$ то $AC=\sqrt{(2R)\cdot (2r)},$ то есть длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.

б) Треугольники $BNO,BTQ$ подобны по двум углам, потому

$\frac{BO}{BQ}=\frac{NO}{TQ};$

$\frac{8-3}{8+R}=\frac{3}{R};$

$5R=24+3R;$

$R=12.$

Ответ: $12$.