Задание №14 Т/Р №176 А. Ларина

Елена Репина 2016-12-22 2016-12-22

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №176 А. Ларина

14. В правильной четырехугольной пирамиде $PABCD$ сторона основания равна $20$ , а высота пирамиды равна $11,25$ . Через ребро $AB$ под углом $\beta$ к плоскости $ABC$ проведена плоскость α. Известно, что $tg\beta =\frac{3}{4}.$
а) Докажите, что плоскость α делит ребро $PC$ в отношении $1:4$ , считая от точки $P$ .

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

Решение:

а) Так как прямая $AB$ параллельна плоскости $(PCD),$ то плоскость α, проходящая через $AB,$ пересечет $(PCD)$ по некоторой прямой $l$ , параллельной $AB$ (а значит и $CD$ ) по свойству прямой, параллельной плоскости. Пусть эта прямая $l$ пересекает ребра $PC,PD$ (а возможно, и прямые $PC,PD$ ) в точках $M$ и $N$ соответственно.

Трапеция с основаниями $AB, MN$ – равнобедренная.

Пусть $N$ проецируется в точку $T$ ( $T\in BD.$ ) Проведем $TQ$ перпендикулярно $AB,$ тогда по теореме о трех перпендикулярах и $NQ$ перпендикулярна $AB.$ То есть $\angle NQT=\beta.$

Пусть, с учетом $tg\beta =\frac{3}{4},$ $NT=3x,QT=4x.$

Пусть $TD=y.$

8786

В силу подобия треугольников $PDO,NDT$ ( $O$ – центр основания)

$y:OD=3x:PO$

или

$y:(10\sqrt2)=3x:11,25;$

$y=\frac{8\sqrt2x}{3}.$

В силу подобия треугольников $BTQ,BDA$

$BT:BD=4x:AD$

или

$(20\sqrt2-y):(20\sqrt2)=4x:20.$

С учетом того, что $y=\frac{8\sqrt2x}{3},$ получаем:

$(20\sqrt2-\frac{8\sqrt2x}{3}):\sqrt2=4x;$

$x=3.$

Откуда $y=8\sqrt2.$

(Кстати, учитывая, что $OD=10\sqrt2,$ а $y=8\sqrt2$ , понимаем, что $T$ принадлежит отрезку! $OD$ , откуда следует, что $M,N$ – точки ребер $PC,PD$ , а не просто прямых $PC,PD$ ).

Как мы уже замечали, $ND:PD=TD:OD$ или $ND:PD=8\sqrt2:10\sqrt2,$ то есть $ND:PD=4:5,$ что говорит о том, что $N$ делит $PD$ в отношении $1:4,$ считая от вершины $P.$ Но тогда и $M$ делит $PC$ в отношении $1:4,$ считая от $M$ (по теореме о пропорциональных отрезках).

Итак, плоскость α делит ребро $PC$ в отношении $1:4$ , считая от точки $P$ .

б) $S_{ABMN}=\frac{MN+AB}{2}\cdot NQ=\frac{\frac{AB}{5}+AB}{2}\cdot \sqrt{(3x)^2+(4x)^2}=\frac{\frac{20}{5}+20}{2}\cdot 15=180.$

Ответ: б) $180.$

Автор: egeMax | комментариев 8

Печать страницы

комментариев 8

Ильяс

2017-01-16 в 18:34

Здравствуйте Елена Юрьевна, помогите решить задачу:
В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 6, а ребро МА равно 6*(2)^0,5. На ребре АС находится точка Д, а на ребре АВ находится точка Е. Известно, что АД=4, ВЕ=2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, Д и середину ребра МА.
Заранее спасибо!

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2017-01-16 в 18:55
  
  Сообразили, что DE параллельна BC? Поняли из подобия AED,ABC, что DE=2/3*BC?
  Опустили из точки K, середины AM, перпендикуляр KH к ABC? Провели из точки H перпендикуляр HQ к DE? Поняли, почему KQ перпендикулярна CE?
  Площадь сечения – полупроизведение CE и KQ.
  
  [ Ответить ]
Ильяс

2017-01-17 в 09:57

А почему KQ перпендикулярна СЕ? Может быть KQ перпендикулярна ДЕ? Но нам неизвестно KQ!

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2017-01-17 в 10:15
  
  Да, не СЕ, а ДЕ – опечатка
  KQ найдите из КQH по т. Пиф
  
  [ Ответить ]
Ильяс

2017-01-17 в 16:36

Что-то я запутался, у вас точка К – середина АВ. Тогда площадь сечения – это полупроизведение ДЕ и НQ. Точка Н – середина МА.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2017-01-17 в 17:02
  
  Без картинки запуталась с буквами… и вас запутала))… К – середина АМ
  
  [ Ответить ]
Ильяс

2017-01-17 в 16:53

А у вас ответ получился 6.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2017-01-17 в 17:02
  
  ?
  
  [ Ответить ]

Задание №14 Т/Р №176 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ