Задание №14 Т/Р №176 А. Ларина

2016-12-22

Смотрите также №13№15№16№17№18№19  Тренировочной работы №176 А. Ларина 

14. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD сторона основания равна 20, а высота пирамиды равна 11,25. Через ребро AB под углом \beta к плоскости ABC проведена плоскость α. Известно, что tg\beta =\frac{3}{4}.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро PC в отношении 1:4, считая от точки P.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

Решение:

а) Так как прямая AB параллельна плоскости (PCD), то плоскость α, проходящая через AB, пересечет (PCD) по некоторой прямой l, параллельной AB (а значит и CD) по свойству прямой, параллельной плоскости. Пусть эта прямая l пересекает ребра PC,PD (а возможно, и прямые PC,PD) в точках M и N соответственно.

Трапеция с основаниями AB, MN – равнобедренная.

Пусть N проецируется в точку T (T\in BD.)  Проведем TQ перпендикулярно AB, тогда по теореме о трех перпендикулярах и NQ перпендикулярна AB. То есть \angle NQT=\beta.

Пусть, с учетом tg\beta =\frac{3}{4},  NT=3x,QT=4x.

Пусть TD=y.

В силу подобия треугольников PDO,NDT (O – центр основания)

y:OD=3x:PO

или

y:(10\sqrt2)=3x:11,25;

 y=\frac{8\sqrt2x}{3}.

В силу подобия треугольников BTQ,BDA

BT:BD=4x:AD

или

(20\sqrt2-y):(20\sqrt2)=4x:20.

С учетом того, что y=\frac{8\sqrt2x}{3}, получаем:

(20\sqrt2-\frac{8\sqrt2x}{3}):\sqrt2=4x;

x=3.

Откуда  y=8\sqrt2.

(Кстати, учитывая, что OD=10\sqrt2, а y=8\sqrt2, понимаем, что T принадлежит отрезку! OD,  откуда следует, что M,N – точки ребер PC,PD, а не просто прямых PC,PD).

Как мы уже замечали, ND:PD=TD:OD или ND:PD=8\sqrt2:10\sqrt2, то есть ND:PD=4:5, что говорит о том, что N делит PD в отношении 1:4, считая от вершины P. Но тогда и M делит PC в отношении 1:4, считая от M (по теореме о пропорциональных отрезках).

Итак, плоскость α делит ребро PC в отношении 1:4, считая от точки P.

б) S_{ABMN}=\frac{MN+AB}{2}\cdot NQ=\frac{\frac{AB}{5}+AB}{2}\cdot \sqrt{(3x)^2+(4x)^2}=\frac{\frac{20}{5}+20}{2}\cdot 15=180.

Ответ: б) 180.

Печать страницы
комментариев 8
  1. Ильяс

    Здравствуйте Елена Юрьевна, помогите решить задачу:
    В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 6, а ребро МА равно 6*(2)^0,5. На ребре АС находится точка Д, а на ребре АВ находится точка Е. Известно, что АД=4, ВЕ=2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, Д и середину ребра МА.
    Заранее спасибо!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Сообразили, что DE параллельна BC? Поняли из подобия AED,ABC, что DE=2/3*BC?
      Опустили из точки K, середины AM, перпендикуляр KH к ABC? Провели из точки H перпендикуляр HQ к DE? Поняли, почему KQ перпендикулярна CE?
      Площадь сечения – полупроизведение CE и KQ.

      [ Ответить ]
  2. Ильяс

    А почему KQ перпендикулярна СЕ? Может быть KQ перпендикулярна ДЕ? Но нам неизвестно KQ!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, не СЕ, а ДЕ – опечатка
      KQ найдите из КQH по т. Пиф

      [ Ответить ]
  3. Ильяс

    Что-то я запутался, у вас точка К – середина АВ. Тогда площадь сечения – это полупроизведение ДЕ и НQ. Точка Н – середина МА.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Без картинки запуталась с буквами… и вас запутала))… К – середина АМ

      [ Ответить ]
  4. Ильяс

    А у вас ответ получился 6.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      ?

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

один × 4 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif