Задание №18 Т/Р №176 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19  Тренировочной работы №176 А. Ларина 

18. Для каждого значения параметра $a$ найдите точку максимума функции

$f(x)=x^3(3x-8a)+6(a^2-1)x^2.$

Решение:

$f(x)=3x^4-8ax^3+6(a^2-1)x^2;$

$f'(x)=12x^3-24ax^2+12(a^2-1)x;$

$f'(x)=0$  <=>  $x(x^2-2ax+a^2-1)=0.$

Заметим, $\frac{D}{4}=1$ для  $x^2-2ax+a^2-1=0.$ Тогда

$f'(x)=0$  <=>  $x(x-(a-1))(x-(a+1))=0.$

Рассмотрим случаи:

1) $a=1.$ Тогда $f'(x)=0$ <=>  $x^2(x-2)=0.$

Мы имеем следующее распределение знаков производной:

Точек максимума нет.

2) $a=-1.$ Тогда $f'(x)=0$ <=>  $x^2(x+2)=0.$

Мы имеем следующее распределение знаков производной:

Точек максимума нет.

3) $a>1.$

Мы имеем следующее распределение знаков производной:

Точка максимума – $x=a-1.$

4) $a<-1.$

Мы имеем следующее распределение знаков производной:

Точка максимума – $x=a+1.$

5) $-1<a<1.$

Мы имеем следующее распределение знаков производной:

Точка максимума – $x=0.$

Ответ: 

$a\in (-\infty;-1):$  $a+1;$

$a=-1:$ точек максимума нет;

$a\in (-1;1):$  $0;$

$a=1:$ точек максимума нет;

$a\in (1;+\infty):$  $a-1$.