Задание №16 (С2) Т/Р №94 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17№18№19№20.

На основании правильной треугольной пирамиды с высотой 2 лежит шар, касающийся основания в его центре. Радиус окружности, вписанной в основание, равен 1. Плоскость p, проведённая через вершину пирамиды и середины двух сторон основания, касается этого шара.
а) Постройте плоскость p;
б) Найдите радиус шара.

Решение:

а) Пусть точки M и N – середины сторон AC и BC пирамиды SABC. Плоскость p – есть плоскость SMN.

б) Пусть K – точка касания шара и плоскости p. Тогда OK\perp p (O – центр шара).

Плоскость SOK, содержащая OK, перпендикулярна p по признаку перпендикулярности плоскостей.

OS (или SH, где H – центр основания) – наклонная к плоскости p, перпендикулярная прямой MN плоскости p. По теореме о трех перпендикулярах  проекция SK указанной наклонной перпендикулярна MN.

Пуcть SK пересекается с MN в точке T.

K  лежит на высоте  ST треугольника SMN.

Заметим, что и HT\perp MN.

QH (где Q – середина AB) – есть радиус окружности, вписанной в ABC, то есть QH=1. При этом HC=2HQ=2 (по свойству медиан треугольника). При этом TC=\frac{QC}{2} за счет подобия треугольников MNC и ABC с коэффициентом подобия 1:2. То есть TC=\frac{3}{2} и HT=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.

Из прямоугольного треугольника HST по теореме Пифагора ST=\sqrt{2^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{17}}{2}.

Из треугольника HTS   sin S=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{17}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}.

Из треугольника OKS   sin S=\frac{OK}{2-OK}.

Тогда

\frac{1}{\sqrt{17}}=\frac{OK}{2-OK};

\sqrt{17}OK=2-OK;

OK(\sqrt{17}+1)=2;

OK=\frac{2}{\sqrt{17}+1};

OK=\frac{\sqrt{17}-1}{8}.

Ответ: \frac{\sqrt{17}-1}{8}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif