В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
На основании правильной треугольной пирамиды с высотой 2 лежит шар, касающийся основания в его центре. Радиус окружности, вписанной в основание, равен 1. Плоскость , проведённая через вершину пирамиды и середины двух сторон основания, касается этого шара.
а) Постройте плоскость ;
б) Найдите радиус шара.
Решение:
а) Пусть точки и
– середины сторон
и
пирамиды
Плоскость
– есть плоскость
б) Пусть – точка касания шара и плоскости
. Тогда
(
– центр шара).
Плоскость , содержащая
, перпендикулярна
по признаку перпендикулярности плоскостей.
(или
, где
– центр основания) – наклонная к плоскости
, перпендикулярная прямой
плоскости
По теореме о трех перпендикулярах проекция
указанной наклонной перпендикулярна
.
Пуcть пересекается с
в точке
.
лежит на высоте
треугольника
.
Заметим, что и
(где
– середина
) – есть радиус окружности, вписанной в
, то есть
При этом
(по свойству медиан треугольника). При этом
за счет подобия треугольников
и
с коэффициентом подобия
. То есть
и
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора
Из треугольника
Из треугольника
Тогда
Ответ:
Добавить комментарий