Задание №16 (С2) Т/Р №94 А. Ларина

Елена Репина 2014-12-04 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15 , №17, №18, №19, №20.

На основании правильной треугольной пирамиды с высотой 2 лежит шар, касающийся основания в его центре. Радиус окружности, вписанной в основание, равен 1. Плоскость $p$ , проведённая через вершину пирамиды и середины двух сторон основания, касается этого шара.
а) Постройте плоскость $p$ ;
б) Найдите радиус шара.

Решение:

а) Пусть точки $M$ и $N$ – середины сторон $AC$ и $BC$ пирамиды $SABC.$ Плоскость $p$ – есть плоскость $SMN.$

kjnkn

б) Пусть $K$ – точка касания шара и плоскости $p$ . Тогда $OK\perp p$ ( $O$ – центр шара).

Плоскость $SOK$ , содержащая $OK$ , перпендикулярна $p$ по признаку перпендикулярности плоскостей.

$OS$ (или $SH$ , где $H$ – центр основания) – наклонная к плоскости $p$ , перпендикулярная прямой $MN$ плоскости $p.$ По теореме о трех перпендикулярах проекция $SK$ указанной наклонной перпендикулярна $MN$ .

Пуcть $SK$ пересекается с $MN$ в точке $T$ .

$K$ лежит на высоте $ST$ треугольника $SMN$ .

Заметим, что и $HT\perp MN.$

$QH$ (где $Q$ – середина $AB$ ) – есть радиус окружности, вписанной в $ABC$ , то есть $QH=1.$ При этом $HC=2HQ=2$ (по свойству медиан треугольника). При этом $TC=\frac{QC}{2}$ за счет подобия треугольников $MNC$ и $ABC$ с коэффициентом подобия $1:2$ . То есть $TC=\frac{3}{2}$ и $HT=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.$