Задание №16 (С2) Т/Р №94 А. Ларина

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20

На основании правильной треугольной пирамиды с высотой 2 лежит шар, касающийся основания в его центре. Радиус окружности, вписанной в основание, равен 1. Плоскость $p$, проведённая через вершину пирамиды и середины двух сторон основания, касается этого шара.
а) Постройте плоскость $p$;
б) Найдите радиус шара.

Решение:

а) Пусть точки $M$ и $N$ – середины сторон $AC$ и $BC$ пирамиды $SABC.$ Плоскость $p$ – есть плоскость $SMN.$

б) Пусть $K$ – точка касания шара и плоскости $p$. Тогда $OK\perp p$ ($O$ – центр шара).

Плоскость $SOK$, содержащая $OK$, перпендикулярна $p$ по признаку перпендикулярности плоскостей.

$OS$ (или $SH$, где $H$ – центр основания) – наклонная к плоскости $p$, перпендикулярная прямой $MN$ плоскости $p.$ По теореме о трех перпендикулярах  проекция $SK$ указанной наклонной перпендикулярна $MN$.

Пуcть $SK$ пересекается с $MN$ в точке $T$.

$K$  лежит на высоте  $ST$ треугольника $SMN$.

Заметим, что и $HT\perp MN.$

$QH$ (где $Q$ – середина $AB$) – есть радиус окружности, вписанной в $ABC$, то есть $QH=1.$ При этом $HC=2HQ=2$ (по свойству медиан треугольника). При этом $TC=\frac{QC}{2}$ за счет подобия треугольников $MNC$ и $ABC$ с коэффициентом подобия $1:2$. То есть $TC=\frac{3}{2}$ и $HT=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.$

Из прямоугольного треугольника $HST$ по теореме Пифагора $ST=\sqrt{2^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{17}}{2}.$

Из треугольника $HTS$   $sin S=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{17}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}.$

Из треугольника $OKS$   $sin S=\frac{OK}{2-OK}.$

Тогда

$\frac{1}{\sqrt{17}}=\frac{OK}{2-OK};$

$\sqrt{17}OK=2-OK;$

$OK(\sqrt{17}+1)=2;$

$OK=\frac{2}{\sqrt{17}+1};$

$OK=\frac{\sqrt{17}-1}{8}.$

Ответ: $\frac{\sqrt{17}-1}{8}.$