Задание №16 (С2) Т/Р №89 А. Ларина

Здесь №15, №17, №18, №19

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра, равной 1, на вертикальном ребре $AA_1$ и на горизонтальном ребре $AB$ взяты точки $M$ и $N$ соответственно, причем $AM=\frac{1}{3},$ $AN=\frac{3}{4}$.

а) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки $M$ и $N$ параллельно диагонали $AC$ нижнего основания куба.

б) Найти площадь этого сечения.

Решение:

a) Строим сечение куба плоскостью через точки $M$ и $N$ параллельно $AC.$

Проводим через точку $N$ в плоскости $ABC$ прямую $NK$, параллельную $AC$ (точнее прежде отмечаем точку $K$ на ребре $BC$ так, что $BK=\frac{1}{4}$). Ведь плоскость сечения может пересечь плоскость $ABC$,  в которой лежит прямая $AC$ только по прямой, параллельной $AC$ (иначе получим противоречие).

Точно также, плоскость сечения будет пересекать плоскость $ACC_1$, в которой лежит прямая $AC$, по прямой, параллельной $AC$. Проводим $MP$ параллельно $AC$, точнее прежде на ребре $CC_1$ отмечаем точку $P$ так, что $CP=\frac{1}{3}.$

Далее пусть  прямые $KN$ и $AD$ пересекаются в точке $T$.

Прямая $TM$ принадлежит плоскости грани $AA_1D$ куба и пересекает $DD_1$ в некоторой точке $L$.

Соединяем точки $P$ и $L$.

Пятиугольник $NKPLM$ –  искомое сечение.

б) Будем искать площадь пятиугольника $NKPLM$ через разность площадей параллелограмма $PLME$  и треугольника $KNE$ ($E$ – точка пересечения прямых $KP$ и $NM$).

Параллелограмм  $PLME$ – ромб. Действительно, проекция $BD$ наклонной $LE$ на плоскость $ABC$ перпендикулярна прямой $AC$ этой плоскости (диагонали квадрата перпендикулярны), значит и сама наклонная перпендикулярна  прямой $AC$ (по теореме о трех перпендикулярах). А учитывая, что $PM$ параллельна $AC$, имеем $LE\perp PM$.

Пусть $KN$ пересекается с $BD$ в точке $Z.$ Пусть $Q$ – проекция $O$ на плоскость $ABC$. Проводим $EW$ параллельно $BD.$

Далее – кратко.

Заметим, что треугольники $BZE$, $QZO$ подобны, коэффициент подобия $\frac{1}{3}.$ Треугольники $QZO$, $DZL$ подобны, коэффициент подобия $\frac{3}{7}.$ Так как $OQ=\frac{1}{3}$, то $BE=\frac{1}{9}$, а $LD=\frac{7}{9}.$ Будем искать площадь ромба по формуле:

$S_{PLME}=\frac{1}{2}\cdot PM\cdot EL,$

где $PM=\sqrt2$

и

$EL=\sqrt{EW^2+(LD+DW)^2}=\sqrt{(\sqrt2)^2+(\frac{7}{9}+\frac{1}{9})^2}=$

$=\sqrt{2+\frac{64}{81}}=\frac{\sqrt{226}}{9}.$

$S_{PLME}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt2 \cdot \frac{\sqrt{226}}{9}=\frac{\sqrt{133}}{9}.$

Площадь треугольника $EKN$ – $\frac{1}{16}$ площади треугольника $EPM$ (в силу подобия указанных треугольников с коэффициентом подобия $\frac{1}{4}$), а значит $\frac{1}{32}$ площади ромба.

Итак, $S_{sechenie}=S_{PLME}-S_{EKN}=\frac{31}{32}S_{PLME}=\frac{31\sqrt{133}}{288}.$

Ответ: $\frac{31\sqrt{133}}{288}.$