В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
В кубе с длиной ребра, равной 1, на вертикальном ребре
и на горизонтальном ребре
взяты точки
и
соответственно, причем
.
а) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки и
параллельно диагонали
нижнего основания куба.
б) Найти площадь этого сечения.
Решение:
a) Строим сечение куба плоскостью через точки и
параллельно
Проводим через точку в плоскости
прямую
, параллельную
(точнее прежде отмечаем точку
на ребре
так, что
). Ведь плоскость сечения может пересечь плоскость
, в которой лежит прямая
только по прямой, параллельной
(иначе получим противоречие).
Точно также, плоскость сечения будет пересекать плоскость , в которой лежит прямая
, по прямой, параллельной
. Проводим
параллельно
, точнее прежде на ребре
отмечаем точку
так, что
Далее пусть прямые и
пересекаются в точке
.
Прямая принадлежит плоскости грани
куба и пересекает
в некоторой точке
.
Соединяем точки и
.
Пятиугольник – искомое сечение.
б) Будем искать площадь пятиугольника через разность площадей параллелограмма
и треугольника
(
– точка пересечения прямых
и
).
Параллелограмм – ромб. Действительно, проекция
наклонной
на плоскость
перпендикулярна прямой
этой плоскости (диагонали квадрата перпендикулярны), значит и сама наклонная перпендикулярна прямой
(по теореме о трех перпендикулярах). А учитывая, что
параллельна
, имеем
.
Пусть пересекается с
в точке
Пусть
– проекция
на плоскость
. Проводим
параллельно
Далее – кратко.
Заметим, что треугольники ,
подобны, коэффициент подобия
Треугольники
,
подобны, коэффициент подобия
Так как
, то
, а
Будем искать площадь ромба по формуле:
где
и
Площадь треугольника –
площади треугольника
(в силу подобия указанных треугольников с коэффициентом подобия
), а значит
площади ромба.
Итак,
Ответ:
Т.к. 226=2*113 ,то под корнем в ответе должно быть 113, а не 133
Людмила, спасибо! Спешка…
Очень красивый рисунок. Спасибо:) у Вас маааленькая опечатка в начале. Вы почему-то проводите NP||AC да еще и в плоскости (ABCD) :)
Дима, спасибо. Да, вместо буквы P – K. Исправлено.