Задание №16 (С2) Т/Р №89 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Здесь №15, №17, №18, №19.

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 с длиной ребра, равной 1, на вертикальном ребре AA_1 и на горизонтальном ребре AB взяты точки M и N соответственно, причем AM=\frac{1}{3}, AN=\frac{3}{4}.

а) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M и N параллельно диагонали AC нижнего основания куба.

б) Найти площадь этого сечения.

Решение:

a) Строим сечение куба плоскостью через точки M и N параллельно AC.

Проводим через точку N в плоскости ABC прямую NK, параллельную AC (точнее прежде отмечаем точку K на ребре BC так, что BK=\frac{1}{4}). Ведь плоскость сечения может пересечь плоскость ABC,  в которой лежит прямая AC только по прямой, параллельной AC (иначе получим противоречие).

Точно также, плоскость сечения будет пересекать плоскость ACC_1, в которой лежит прямая AC, по прямой, параллельной AC. Проводим MP параллельно AC, точнее прежде на ребре CC_1 отмечаем точку P так, что CP=\frac{1}{3}.

Далее пусть  прямые KN и AD пересекаются в точке T.

Прямая TM принадлежит плоскости грани AA_1D куба и пересекает DD_1 в некоторой точке L.

Соединяем точки P и L.

Пятиугольник NKPLM –  искомое сечение.

б) Будем искать площадь пятиугольника NKPLM через разность площадей параллелограмма PLME  и треугольника KNE (E – точка пересечения прямых KP и NM).

Параллелограмм  PLME – ромб. Действительно, проекция BD наклонной LE на плоскость ABC перпендикулярна прямой AC этой плоскости (диагонали квадрата перпендикулярны), значит и сама наклонная перпендикулярна  прямой AC (по теореме о трех перпендикулярах). А учитывая, что PM параллельна AC, имеем LE\perp PM.

Пусть KN пересекается с BD в точке Z. Пусть Q – проекция O на плоскость ABC. Проводим EW параллельно BD.

Далее – кратко.

Заметим, что треугольники BZE, QZO подобны, коэффициент подобия \frac{1}{3}. Треугольники QZO, DZL подобны, коэффициент подобия \frac{3}{7}. Так как OQ=\frac{1}{3}, то BE=\frac{1}{9}, а LD=\frac{7}{9}. Будем искать площадь ромба по формуле:

S_{PLME}=\frac{1}{2}\cdot PM\cdot EL,

где PM=\sqrt2

и

EL=\sqrt{EW^2+(LD+DW)^2}=\sqrt{(\sqrt2)^2+(\frac{7}{9}+\frac{1}{9})^2}=

=\sqrt{2+\frac{64}{81}}=\frac{\sqrt{226}}{9}.

S_{PLME}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt2 \cdot \frac{\sqrt{226}}{9}=\frac{\sqrt{133}}{9}.

Площадь треугольника EKN\frac{1}{16} площади треугольника EPM (в силу подобия указанных треугольников с коэффициентом подобия \frac{1}{4}), а значит \frac{1}{32} площади ромба.

Итак, S_{sechenie}=S_{PLME}-S_{EKN}=\frac{31}{32}S_{PLME}=\frac{31\sqrt{133}}{288}.

Ответ: \frac{31\sqrt{133}}{288}.

Печать страницы
Комментариев: 4
  1. Людмила

    Т.к. 226=2*113 ,то под корнем в ответе должно быть 113, а не 133

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Людмила, спасибо! Спешка…

      [ Ответить ]
  2. Дима

    Очень красивый рисунок. Спасибо:) у Вас маааленькая опечатка в начале. Вы почему-то проводите NP||AC да еще и в плоскости (ABCD) :)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Дима, спасибо. Да, вместо буквы P – K. Исправлено.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif