Задание №16 (С2) Т/Р №89 А. Ларина

Елена Репина 2014-10-30 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра, равной 1, на вертикальном ребре $AA_1$ и на горизонтальном ребре $AB$ взяты точки $M$ и $N$ соответственно, причем $AM=\frac{1}{3},$ $AN=\frac{3}{4}$ .

а) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки $M$ и $N$ параллельно диагонали $AC$ нижнего основания куба.

б) Найти площадь этого сечения.

Решение:

a) Строим сечение куба плоскостью через точки $M$ и $N$ параллельно $AC.$

Проводим через точку $N$ в плоскости $ABC$ прямую $NK$ , параллельную $AC$ (точнее прежде отмечаем точку $K$ на ребре $BC$ так, что $BK=\frac{1}{4}$ ). Ведь плоскость сечения может пересечь плоскость $ABC$ , в которой лежит прямая $AC$ только по прямой, параллельной $AC$ (иначе получим противоречие).

Точно также, плоскость сечения будет пересекать плоскость $ACC_1$ , в которой лежит прямая $AC$ , по прямой, параллельной $AC$ . Проводим $MP$ параллельно $AC$ , точнее прежде на ребре $CC_1$ отмечаем точку $P$ так, что $CP=\frac{1}{3}.$

Далее пусть прямые $KN$ и $AD$ пересекаются в точке $T$ .

,m.

Прямая $TM$ принадлежит плоскости грани $AA_1D$ куба и пересекает $DD_1$ в некоторой точке $L$ .

Соединяем точки $P$ и $L$ .

Пятиугольник $NKPLM$ – искомое сечение.

б) Будем искать площадь пятиугольника $NKPLM$ через разность площадей параллелограмма $PLME$ и треугольника $KNE$ ( $E$ – точка пересечения прямых $KP$ и $NM$ ).

Параллелограмм $PLME$ – ромб. Действительно, проекция $BD$ наклонной $LE$ на плоскость $ABC$ перпендикулярна прямой $AC$ этой плоскости (диагонали квадрата перпендикулярны), значит и сама наклонная перпендикулярна прямой $AC$ (по теореме о трех перпендикулярах). А учитывая, что $PM$ параллельна $AC$ , имеем $LE\perp PM$ .

Пусть $KN$ пересекается с $BD$ в точке $Z.$ Пусть $Q$ – проекция $O$ на плоскость $ABC$ . Проводим $EW$ параллельно $BD.$

kjjn

Далее – кратко.

Заметим, что треугольники $BZE$ , $QZO$ подобны, коэффициент подобия $\frac{1}{3}.$ Треугольники $QZO$ , $DZL$ подобны, коэффициент подобия $\frac{3}{7}.$ Так как $OQ=\frac{1}{3}$ , то $BE=\frac{1}{9}$ , а $LD=\frac{7}{9}.$ Будем искать площадь ромба по формуле:

$S_{PLME}=\frac{1}{2}\cdot PM\cdot EL,$

где $PM=\sqrt2$

$EL=\sqrt{EW^2+(LD+DW)^2}=\sqrt{(\sqrt2)^2+(\frac{7}{9}+\frac{1}{9})^2}=$

$=\sqrt{2+\frac{64}{81}}=\frac{\sqrt{226}}{9}.$

$S_{PLME}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt2 \cdot \frac{\sqrt{226}}{9}=\frac{\sqrt{133}}{9}.$

Площадь треугольника $EKN$ – $\frac{1}{16}$ площади треугольника $EPM$ (в силу подобия указанных треугольников с коэффициентом подобия $\frac{1}{4}$ ), а значит $\frac{1}{32}$ площади ромба.

Итак, $S_{sechenie}=S_{PLME}-S_{EKN}=\frac{31}{32}S_{PLME}=\frac{31\sqrt{133}}{288}.$

Ответ: $\frac{31\sqrt{133}}{288}.$

Автор: egeMax | комментария 4

Печать страницы

комментария 4

Людмила

2014-11-03 в 14:48

Т.к. 226=2*113 ,то под корнем в ответе должно быть 113, а не 133

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2014-11-03 в 20:39
  
  Людмила, спасибо! Спешка…
  
  [ Ответить ]
Дима

2015-03-27 в 00:28

Очень красивый рисунок. Спасибо:) у Вас маааленькая опечатка в начале. Вы почему-то проводите NP||AC да еще и в плоскости (ABCD) :)

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-03-27 в 07:29
  
  Дима, спасибо. Да, вместо буквы P – K. Исправлено.
  
  [ Ответить ]

Задание №16 (С2) Т/Р №89 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ