В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»
Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.
Найдите все значения , при каждом из которых система
имеет ровно два решения.
Решение:
Перепишем систему следующим образом:
Первая строка системы задает отрезок с концами и
Действительно, левая часть уравнения – есть сумма расстояний от некоторой точки
до точек
и
, при этом расстояние между точками
,
равно
. Таким образом произвольная точка
– точка отрезка с концами
,
Cоставим уравнение прямой, проходящей через точки и
:
Подставляем координаты концов указанного отрезка в уравнение прямой .
Откуда получаем уравнение прямой
Итак, отрезок с концами и
задается уравнением
при условии
Рассмотрим уравнение на отрезке
Нас интересуют значения , при которых оба корня указанного уравнения принадлежат отрезку
Пусть .
Заметим, какое бы мы не брали, вершина параболы
есть
, то есть вершина параболы – из отрезка
.
Значения , отвечающие требованию задачи, находим из системы:
Ответ:
Класс, очень здорово!
;)