Задание №20 (С5) Т/Р №96 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15 №16№17№18№19.

Найдите все значения a, при каждом из которых система

 \begin{cases} \sqrt{x^2+2x+y^2-4y+5}+\sqrt{x^2-4x+y^2-12y+40}=5,& &y=x^2+a;& \end{cases}

имеет ровно два решения.

Решение:

Перепишем систему следующим образом:

 \begin{cases} \sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}=5,& &y=x^2+a;& \end{cases}

Первая строка системы задает отрезок с концами (-1;2) и  (2;6). Действительно, левая часть уравнения – есть сумма расстояний от некоторой точки (x;y) до точек (-1;2) и  (2;6), при этом расстояние между  точками (-1;2),  (2;6) равно \sqrt{(-1-2)^2+(2-6)^2}=5.  Таким образом произвольная точка (x;y) – точка отрезка с концами (-1;2),  (2;6).

Cоставим уравнение прямой, проходящей через  точки (-1;2) и  (2;6):

Подставляем координаты концов указанного отрезка в уравнение прямой y=kx+b.

\begin{cases} 2=- k+b,& &6=2k+b;& \end{cases}

Откуда получаем  уравнение прямой y=\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}.

Итак, отрезок с концами (-1;2) и  (2;6) задается уравнением  y=\frac{4}{3}x+\frac{10}{3} при условии x\in [-1;2].

Рассмотрим уравнение x^2+a=\frac{4}{3}x+\frac{10}{3} на отрезке [-1;2].

Нас интересуют значения a, при которых оба корня указанного уравнения принадлежат отрезку [-1;2].

Пусть f(x)=x^2-\frac{4}{3}x-\frac{10}{3}+a.

Заметим, какое бы a мы не брали,  вершина параболы f(x)=x^2-\frac{4}{3}x-\frac{10}{3}+a есть \frac{2}{3}, то есть вершина параболы – из отрезка [-1;2].

Значения a, отвечающие требованию задачи, находим из системы:

\begin{cases} f(-1)\geq 0,& &f(2)\geq 0,& &D>0;& \end{cases}

\begin{cases} 1+\frac{4}{3}-\frac{10}{3}+a\geq 0,& &4-\frac{8}{3}-\frac{10}{3}+a\geq 0,& &\frac{4}{9}+\frac{10}{3}-a>0;& \end{cases}

\begin{cases} a\geq 1,& &a\geq 2,& &a<\frac{34}{9};& \end{cases}

a\in [2;\frac{34}{9}).

Ответ: [2;\frac{34}{9}).

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Ольга Себедаш

    Класс, очень здорово!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      ;)

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif