Задание №20 (С5) Т/Р №96 А. Ларина

Смотрите также №15,  №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система

$\begin{cases}\sqrt{x^2+2x+y^2-4y+5}+\sqrt{x^2-4x+y^2-12y+40}=5,\\y=x^2+a;&\end{cases}$

имеет ровно два решения.

Решение:

Перепишем систему следующим образом:

$\begin{cases}\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}=5,\\y=x^2+a;&\end{cases}$

Первая строка системы задает отрезок с концами $(-1;2)$ и  $(2;6).$ Действительно, левая часть уравнения – есть сумма расстояний от некоторой точки $(x;y)$ до точек $(-1;2)$ и  $(2;6)$, при этом расстояние между  точками $(-1;2)$,  $(2;6)$ равно $\sqrt{(-1-2)^2+(2-6)^2}=5$.  Таким образом произвольная точка $(x;y)$ – точка отрезка с концами $(-1;2)$,  $(2;6).$

Cоставим уравнение прямой, проходящей через  точки $(-1;2)$ и  $(2;6)$:

Подставляем координаты концов указанного отрезка в уравнение прямой $y=kx+b$.

$\begin{cases}2=- k+b,\\6=2k+b;&\end{cases}$

Откуда получаем  уравнение прямой $y=\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}.$

Итак, отрезок с концами $(-1;2)$ и  $(2;6)$ задается уравнением  $y=\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}$ при условии $x\in [-1;2].$

Рассмотрим уравнение $x^2+a=\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}$ на отрезке $[-1;2].$

Нас интересуют значения $a$, при которых оба корня указанного уравнения принадлежат отрезку $[-1;2].$

Пусть $f(x)=x^2-\frac{4}{3}x-\frac{10}{3}+a$.

Заметим, какое бы $a$ мы не брали,  вершина параболы $f(x)=x^2-\frac{4}{3}x-\frac{10}{3}+a$ есть $\frac{2}{3}$, то есть вершина параболы – из отрезка $[-1;2]$.

Значения $a$, отвечающие требованию задачи, находим из системы:

$\begin{cases}f(-1)\geq 0,\\f(2)\geq 0,\\D>0;\end{cases}$

$\begin{cases}1+\frac{4}{3}-\frac{10}{3}+a\geq 0,\\4-\frac{8}{3}-\frac{10}{3}+a\geq 0,\\\frac{4}{9}+\frac{10}{3}-a>0;\end{cases}$

$a\in [2;\frac{34}{9}).$

Ответ: $[2;\frac{34}{9}).$