Задание №20 (С5) Т/Р №96 А. Ларина

Елена Репина 2014-12-18 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система

$\begin{cases} \sqrt{x^2+2x+y^2-4y+5}+\sqrt{x^2-4x+y^2-12y+40}=5,& &y=x^2+a;& \end{cases}$

имеет ровно два решения.

Решение:

Перепишем систему следующим образом:

$\begin{cases} \sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}=5,& &y=x^2+a;& \end{cases}$

Первая строка системы задает отрезок с концами $(-1;2)$ и $(2;6).$ Действительно, левая часть уравнения – есть сумма расстояний от некоторой точки $(x;y)$ до точек $(-1;2)$ и $(2;6)$ , при этом расстояние между точками $(-1;2)$ , $(2;6)$ равно $\sqrt{(-1-2)^2+(2-6)^2}=5$ . Таким образом произвольная точка $(x;y)$ – точка отрезка с концами $(-1;2)$ , $(2;6).$

Cоставим уравнение прямой, проходящей через точки $(-1;2)$ и $(2;6)$ :

Подставляем координаты концов указанного отрезка в уравнение прямой $y=kx+b$ .

$\begin{cases} 2=- k+b,& &6=2k+b;& \end{cases}$

Откуда получаем уравнение прямой $y=\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}.$

Итак, отрезок с концами $(-1;2)$ и $(2;6)$ задается уравнением $y=\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}$ при условии $x\in [-1;2].$

Рассмотрим уравнение $x^2+a=\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}$ на отрезке $[-1;2].$

Нас интересуют значения $a$ , при которых оба корня указанного уравнения принадлежат отрезку $[-1;2].$

Пусть $f(x)=x^2-\frac{4}{3}x-\frac{10}{3}+a$ .

Заметим, какое бы $a$ мы не брали, вершина параболы $f(x)=x^2-\frac{4}{3}x-\frac{10}{3}+a$ есть $\frac{2}{3}$ , то есть вершина параболы – из отрезка $[-1;2]$ .